Stammfunktion

In diesem Artikel lernst du die Stammfunktion anhand eines Beispiels kennen.

Eine Stammfunktion FF einer ursprünglichen, stetigen Funktion ff ist eine differenzierbare Funktion, deren Ableitung wieder die ursprüngliche Funktion ff ist. Es gilt also

F′(x)=f(x)\displaystyle F'(x)=f(x)

Umgekehrt ergibt das unbestimmte Integral über eine Funktion ff alle Stammfunktionen FF. Es gilt also

∫f(x)dx=F(x)+C mit C∈R\displaystyle \int f(x)\mathrm{d}x=F(x)+C \text{ mit } C\in\mathbb{R}

Zu einer Stammfunktion FF kann man jede beliebige Zahl addieren und erhält wieder eine Stammfunktion, da eine konstante Zahl beim Ableiten wegfällt. Gibt man die allgemeine Stammfunktion an, so muss man ein "+C+C" hinzufügen, wobei CC für diese beliebige, konstante Zahl steht.

Beispiel

Hat man die Funktion f(x)=x2+2x−1f(x)=x^2+2x-1 gegeben, so lautet die allgemeine Stammfunktion zu f(x)f(x):

Fc(x)=∫x2+2x−1  dx=13x3+x2−x+C\displaystyle F_c(x)=\int x^2+2x-1\;\mathrm{d}x=\frac13x^3+x^2-x+C

Somit ist z.B. sowohl die Funktion

F1(x)=13x3+x2−x+1F_1(x)=\dfrac13x^3+x^2-x+1 , als auch

F2(x)=13x3+x2−x−2F_2(x)=\dfrac13x^3+x^2-x-2

eine Stammfunktion von f(x)f(x). Das lässt sich nachprüfen, indem man beide Stammfunktionen ableitet:

F1′(x)=x2+2x−1+0=x2+x−1=f(x)F{_1}'(x)=x^2+2x-1+0=x^2+x-1=f(x)

F2′(x)=x2+2x−1−0=x2+x−1=f(x)F{_2}'(x)=x^2+2x-1-0=x^2+x-1=f(x)

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