Mit Determinanten lassen sich Flächeninhalte von Dreiecken und Parallelogrammen gut ausrechnen.

Mit %%\begin{vmatrix}{a}_{11}&{a}_{12}\\{a}_{21}&{a}_{22}\end{vmatrix}=\det\begin{pmatrix}{a}_{11}&{a}_{12}\\{a}_{21}&{a}_{22}\end{pmatrix}%% wird hier die Determinante bezeichnet.

Inhalt eines Dreiecks ABC

Im Zweidimensionalen

Fläche %%F = \frac{1}{2}\left|\mathrm{det}\begin{pmatrix}\overrightarrow{{{AB}}}&\overrightarrow{{AC}}\end{pmatrix}\right|%%

Herleitung:

Die Fläche des aufgespannten Dreiecks lässt sich als halbe Fläche eines Parallelogramms (unten) berechnen.

Seien dazu die Punkte %%A, B%% und %%C%% in der Ebene gegeben.

Seien %%\overrightarrow{{AB}}=\begin{pmatrix}{x}_1\\{x}_2\end{pmatrix}%% und %%\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}{y}_1\\{y}_2\end{pmatrix}%%, dann ist %%{A}_{ABC}=\frac12\left|\det\begin{pmatrix}\overrightarrow{AB}&\overrightarrow{AC}\end{pmatrix}\right|=\frac12\left|\det\begin{pmatrix}{x}_1&{y}_1\\{x}_2&{y}_2\end{pmatrix}\right|=\frac12\left|x_1y_2-y_1x_2\right|%%

Die Reihenfolge der Vektoren ist egal, solange der Ausdruck in Betragsstrichen steht.

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7175_sJk8fsSkQY.xml

Im Dreidimensionalen

                                Fläche %%F=\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right|%%

Die Fläche des aufgespannten Dreiecks lässt sich als halbe Fläche eines Parallelogramms (unten) berechnen.

%%\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}{x}_1\\{x}_2\\{x}_3\end{pmatrix}, \quad \overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}{y}_1\\{y}_2\\{y}_3\end{pmatrix}%%

%%{A}_{ABC}=\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right|=\frac12\left|\begin{pmatrix}x_2y_3-x_3y_2\\x_3y_1-x_1y_3\\x_1y_2-x_2y_1\end{pmatrix}\right|=\frac12\sqrt{\left(x_2y_3-x_3y_2\right)^2+\left(x_3y_1-x_1y_3\right)^2+\left(x_1y_2-x_2y_1\right)^2}%%

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7291_Fauk6FBOR3.xml

Inhalt eines Parallelogramms

Im Zweidimensionalen

Inhalt eines Parallelogramms, welches von den Punkten %%A,B,C%% und deren Verbindungsvektoren %%\overrightarrow{{AB}}, \overrightarrow{{AC}}%%.

Fläche %%F =\left|\det\begin{pmatrix}\overrightarrow{{AB}}&\overrightarrow{AC}\end{pmatrix}\right|%%

Herleitung:

Die Fläche des aufgespannten Parallelogramms lässt sich mit dem Betrag der Determinante der aufspannenden Vektoren berechnen.

Seien dazu die Punkte %%A%%, %%B%% und %%C%% in der Ebene gegeben.

Seien %%\overrightarrow{{AB}}=\begin{pmatrix}{x}_1\\{x}_2\end{pmatrix}%% und %%\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}{y}_1\\{y}_2\end{pmatrix}%%, dann ist %%{A}_{ABC}=\left|\det \begin{pmatrix}\overrightarrow{AB}&\overrightarrow{AC}\end{pmatrix}\right|=\left|\det\begin{pmatrix}{x}_1&{y}_1\\{x}_2&{y}_2\end{pmatrix}\right|=\left|x_1y_2-y_1x_2\right|%%

Die Reihenfolge der Vektoren ist egal, solange der Ausdruck in Betragsstrichen steht.

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/5553_Lw8wToEYIX.xml

Im Dreidimensionalen

Inhalt eines Parallelogramms, welches von den Punkten %%A, B, C%% und ihren Verbindungsvektoren %%\overrightarrow{AB}%% und %%\overrightarrow{AC}%% im 3-Dimensionalen aufgespannt wird.

Fläche %%F=\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right|%%

Herleitung:

Die Fläche des aufgespannten Parallelogramms lässt sich mit dem Betrag des Vektorprodukts der aufspannenden Vektoren berechnen.

%%\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}{x}_1\\{x}_2\\{x}_3\end{pmatrix}, \quad \overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}{y}_1\\{y}_2\\{y}_3\end{pmatrix}%%

%%{A}_{ABC}=\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right|=\left|\begin{pmatrix}x_2y_3-x_3y_2\\x_3y_1-x_1y_3\\x_1y_2-x_2y_1\end{pmatrix}\right|=\sqrt{\left(x_2y_3-x_3y_2\right)^2+\left(x_3y_1-x_1y_3\right)^2+\left(x_1y_2-x_2y_1\right)^2}%%

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7293_oBCs9F4kRc.xml

                       

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Verbesserungsvorschläge:
- Spoiler-Titel Beispielaufgaben durch den Titel Übungsaufgaben ersetzen (siehe Richtlinie Artikel: Gliederung)
- Im Spoiler sollten max. 4 (ausgewählte) Aufgaben eingebunden und immer am Ende eine Verlinkung zum Aufgabenordner vorhanden sein (siehe Richtlinie Artikel: Gliederung)

LG,
Nish
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