Aufgaben

Addiere die Vektoren:

%%\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix}%%

%%\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix} =%%

Um die beiden Vektoren zu addieren, addierst du einfach ihre Koordinaten.

%%= \begin{pmatrix} 2+5 \\ 3+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 4 \end{pmatrix}%%

Nun musst du nur noch vereinfachen.

Skizze der Vektoren: skizze der Vektoren

%%\begin{pmatrix} 1 \\ 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}%%

%%\begin{pmatrix} -2 \\ 7 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \end{pmatrix}%%

%%\pmatrix{-2\\7} + \pmatrix{-1\\5} + \pmatrix{4\\-3}=%%

Um die drei Vektoren zu addieren, addierst du einfach ihre Koordinaten.

%%= \pmatrix{-2-1+4\\7+5-3} = \pmatrix{1\\9}%%

Nun musst du nur noch vereinfachen.

Skizze der Vektoren: Vektoren addieren

Subtrahiere die Vektoren.

%%\pmatrix{5\\2} - \pmatrix{2\\5}%%

Komponentenweise Subtraktion:

%%\pmatrix{5\\2} - \pmatrix{2\\5} = \pmatrix{5-2\\2-5} = \pmatrix{3\\-3}%%

Du subtrahierst die Vektoren voneinander, indem du ihre Koordinaten subtrahierst.

Graphische Subtraktion:

subtraktion1

Den Lösungsvektor erhältst du, indem du den Gegenvektor des zweiten an die Spitze des ersten Vektors zeichnest.


Du siehst links auch, dass du den gleichen Vektor erhältst, wenn du die Spitzen der beiden Vektoren verbindest. Bei dieser Methode musst du allerdings aufpassen, in welche Richtung der Lösungsvektor zeigt.

%%\pmatrix{2\\7} - \pmatrix{3\\-3} - \pmatrix{-4\\9}%%

Komponentenweise Subtraktion:

%%\pmatrix{2\\7} - \pmatrix{3\\-3} - \pmatrix{-4\\9} = \pmatrix{2-3-(-4)\\7-(-3)-9} = \pmatrix{3\\1}%%

Du subtrahierst die Vektoren voneinander, indem du ihre Koordinaten subtrahierst.

Graphische Subtraktion:

subtraktion

Den Lösungsvektor erhältst du, indem du den Gegenvektor des zweiten an die Spitze des ersten und den Gegenvektor des dritten an die Spitze dieses Vektors zeichnest.

%%\left(\pmatrix{7\\1} - \pmatrix{4\\-5} \right) - \left(\pmatrix{-2\\2} - \pmatrix{-5\\-4} \right)%%

Komponentenweise Subtraktion:

%%\left( \pmatrix{7\\1} − \pmatrix{4\\−5} \right) − \left( \pmatrix{−2\\2} − \pmatrix{−5\\−4} \right) = \pmatrix{7-4\\1-(-5)} - \pmatrix{-2-(-5)\\2-(-4)}= \pmatrix{3-3\\6-6} = \pmatrix{0\\0}%%

Du subtrahierst die Vektoren voneinander, indem du ihre Koordinaten subtrahierst.

Graphische Subtraktion:

subtraktion3

Addiere die Vektoren.

%%\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\6\end{pmatrix}%%

%%\begin{pmatrix}3\\1\\\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\6\\\end{pmatrix}\\%%

Addiere die Vektoren komponentenweise.

%%=\begin{pmatrix}3+2\\1+6\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\7\\\end{pmatrix}%%

Geometrische Anschauung

%%u=\begin{pmatrix}3\\1\\\end{pmatrix}%%, %%v=\begin{pmatrix}2\\6\\\end{pmatrix}%%, %%w=\begin{pmatrix}5\\7\\\end{pmatrix}%% (Lösungsvektor)

Anhand der unten stehenden Skizze erkennt man, dass die Addition kommutativ ist.

Geometrische Anschauung: Addition zweier Vektoren ist kommutativ

%%\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}%%

%%\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}4,5\\1,5\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}%%

%%\begin{pmatrix}2\\0\\\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}4,5\\1,5\\\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-2\\1\\\end{pmatrix}\\%%

Addiere die Vektoren komponentenweise.

%%\begin{pmatrix}2+4,5-2\\0+1,5+1\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4,5\\2,5\\\end{pmatrix}%%

Geometrische Anschauung

Die roten Vektoren entsprechen dem Vektor %%\begin{pmatrix}-2\\1\\\end{pmatrix}%% .

Die orangen Vektoren entsprechen dem Vektor %%\begin{pmatrix}2\\0\\\end{pmatrix}%% .

Die grünen Vektoren entsprechen dem Vektor %%\begin{pmatrix}4,5\\1,5\\\end{pmatrix}%% .

Der türkise Vektor ist der Lösungsvektor.

In der untenstehenden Skizze sind alle Möglichkeiten eingezeichnet in welcher Reihenfolge man die Vektoren addieren kann. Mit dem Schieberegler findest du alle Wege mit denen man den Lösungsvektor erreicht.

%%\begin{pmatrix}-3\\3\\-3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\\-3\\3\end{pmatrix}%%

%%\begin{pmatrix}-3\\3\\-3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\\-3\\3\end{pmatrix}\\%%

Addiere die Vektoren komponentenweise.

%%\begin{pmatrix}-3+3\\3-3\\-3+3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\\%%

Da der erste Vektor das negative des zweiten Vektors ist, addieren sie sich zum Nullvektor.

%%\left(\begin{pmatrix}4\\8\\16\\32\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}5\\8\\-10\\7\end{pmatrix}\right)+\left(\begin{pmatrix}-5\\-8\\10\\-7\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}6\\111\\90\\-45\end{pmatrix}\right)%%

%%\left(\begin{pmatrix}4\\8\\16\\32\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}5\\8\\-10\\7\end{pmatrix}\right)+\left(\begin{pmatrix}-5\\-8\\10\\-7\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}6\\111\\90\\-45\end{pmatrix}\right)\\%%

Addiere zuerst die Vektoren in den Klammern komponentenweise.

%%=\begin{pmatrix}4+5\\8+8\\16-10\\32+7\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-5+6\\-8+111\\10+90\\-7-45\end{pmatrix}\\%%

%%=\begin{pmatrix}9\\16\\6\\39\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\103\\100\\-52\end{pmatrix}%%

Addiere die Vektoren komponentenweise.

%%=\begin{pmatrix}10\\119\\106\\-13\end{pmatrix}%%

Alternativer Lösungsweg

%%\left(\begin{pmatrix}4\\8\\16\\32\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}5\\8\\-10\\7\end{pmatrix}\right)+\left(\begin{pmatrix}-5\\-8\\10\\-7\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}6\\111\\90\\-45\end{pmatrix}\right)\\%%

Durch Umklammern erkennst du, dass der zweite und dritte Vektor sich zu Null addieren.

%%\begin{pmatrix}4\\8\\16\\32\end{pmatrix}+\left(\begin{pmatrix}5\\8\\-10\\7\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-5\\-8\\10\\-7\end{pmatrix}\right)+\begin{pmatrix}6\\111\\90\\-45\end{pmatrix}\\%%

Addiere die restlichen Vektoren.

%%\begin{pmatrix}4+6\\8+111\\16+90\\32-45\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10\\119\\106\\-13\end{pmatrix}\\%%

Subtrahiere die Vektoren.

%%\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}%%

%%\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}=%%

Subtrahiere die Vektoren komponentenweise.

%%=\begin{pmatrix}1-2\\2-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}%%

Geometrische Anschauung

%%u=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}, v=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}, w=\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}%% (Lösungsvektor) Geometrische Anschauung: Subtraktion zweier Vektoren

%%\begin{pmatrix}67\\44\\-91\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}101\\50\\3\end{pmatrix}%%

%%\begin{pmatrix}5\\7\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}%%

%%\begin{pmatrix}5\\7\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}%%

Subtrahiere die Vektoren komponentenweise.

%%=\begin{pmatrix}5-4-(-1)\\7-3-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}%%

Geometrische Anschauung

%%u=\begin{pmatrix}5\\7\end{pmatrix}, v=\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}, w=\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}, a=u-v=\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}, \\z=a-w=\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}\text{(Lösungsvektor)}%% Geometrische Anschauung: Subtraktion von Vektoren

%%\left(\begin{pmatrix}34\\85\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\66\\-72\end{pmatrix}\right)-\begin{pmatrix}31\\19\\73\end{pmatrix}%%

%%\left(\begin{pmatrix}34\\85\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\66\\-72\end{pmatrix}\right)-\begin{pmatrix}31\\19\\73\end{pmatrix}%%

Subtrahiere die Vektoren komponentenweise in der Klammer.

%%=\begin{pmatrix}34-3\\85-66\\1-(-72)\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}31\\19\\73\end{pmatrix}%%

Subtrahiere die Vektoren komponentenweise.

%%=\begin{pmatrix}34-3-31\\85-66-19\\1-(-72)-73\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}%%

%%\left(\begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\-3\end{pmatrix}\right)-\left(\begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-2\\-1\end{pmatrix}\right)%%

%%\left(\begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\-3\end{pmatrix}\right)-\left(\begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-2\\-1\end{pmatrix}\right)%%

Subtrahiere die Vektoren komponentenweise.

%%=\begin{pmatrix}5-3\\1-(-3)\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2-(-2)\\-2-(-1)\end{pmatrix}%%

Vereinfache und subtrahiere die Vektoren wieder komponentenweise.

%%=\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2-4\\4-(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\5\end{pmatrix}%%

Geometrische Anschauung

%% u=\begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix}, v=-\begin{pmatrix}3\\-3\end{pmatrix}, w=u-v=\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}, a=\begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix}, b=-\begin{pmatrix}-2\\-1\end{pmatrix},\\ c=a-b=\begin{pmatrix}4\\-1\end{pmatrix}, z=w-c=\begin{pmatrix}-2\\5\end{pmatrix}\text{(Lösungsvektor)}%% Geometrische Anschauung: Subtraktion von Vektoren

Kommentieren Kommentare