Aufgaben
Welche Eigenschaften haben sowohl das Quadrat als auch das Parallelogramm?
gegenüberliegende Seiten sind parallel
die Vierecke sind punktsymmetrisch
benachbarte Winkel sind gleich groß
die Vierecke sind achsensymmetrisch
Prüfe folgende Aussagen auf ihren Wahrheitsgehalt. Begründe kurz oder gib ein Gegenbeispiel an.
Jede Raute ist ein Parallelogramm.
Ja!
Nein!

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vierecke

Die Aussage stimmt.
Nach Definition ist die Raute ein spezielles Parallelogramm, nämlich eines, bei dem mindestens eine der Diagonalen Symmetrieachse der Figur ist.
Somit ist jede Raute ein Parallelogramm.
Jedes Parallelogramm ist eine Raute.
Nein!
Ja!

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vierecke

Die Aussage stimmt nicht.
Eine Raute ist symmetrisch bzgl ihrer Diagonalen. Dies ist bei einem Parallelogramm nicht zwingend der Fall.
Die Abbildung zeigt zwei Parallelogramme, von denen das linke eine Raute ist und das rechte nicht:
Image Title
Jedes Parallelogramm ist ein Trapez.
Ja!
Nein!

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vierecke

Die Aussage stimmt. Jedes Parallelogramm ist ein Trapez.
Dies folgt unmittelbar aus der Definition eines Parallelogramms. In einem Parallelogramm sind alle gegenüberliegenden Seiten zueinander parallel. Für ein Trapez gilt die schwächere Bedingung, dass mindestens zwei gegenüberliegende Seiten zueinander parallel sind.
Somit ist ein Parallelogramm ein spezielles Trapez.
Jedes Viereck mit vier gleich langen Seiten ist ein Quadrat.
Nein!
Ja!

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vierecke

Das ist falsch! Ein Viereck mit vier gleich langen Seiten heißt Raute. In einem Quadrat sind zusätzlich alle Winkel gleich groß.
Vierecke, Quadrat und Raute
Jedes Quadrat ist auch ein Trapez, Parallelogramm und ein Rechteck.
Ja!
Nein!

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vierecke

Das ist richtig!
  • Ein Trapez hat zwei gegenüberliegende parallele Seiten.
  • In einem Parallelogramm sind alle gegenüberliegenden Seiten zueinander parallel.
  • Ein Rechteck ist ein Viereck mit vier gleichgroßen Innenwinkeln.
All diese Eigenschaften treffen ebenfalls auf ein Quadrat zu.
Die Summe aller Innenwinkel in einem Viereck ist 380°380°.
Nein!
Ja!
Wähle die richtige Antwort aus.
Welches der folgenden Vierecke ist kein Parallelogramm?
Vierecke Trapez unbeschriftet

Vierecke Rechteck unbeschriftet

Vierecke Raute unbeschriftet

Vierecke Quadrat unbeschriftet


Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelogramm

Benutze deine Formelsammlung oder schau im Internet nach (siehe Grundwissen!). Präge dir die Merkmale gut ein, denn Figuren und ihre Eigenschaften sind Grundwissen in der Geometrie.



In einem Parallelogramm sind die gegenüberliegenden Seiten parallel. Das ist beim Trapez in dieser Aufgabe nicht so. Die rechte und linke Seite vom Trapez sind nicht parallel.
Vierecke Trapez unbeschriftet

Die Ordnungskraft der Mittelpunkte

%%ABCD%% sei ein allgemeines Viereck ohne jede Besonderheit. Es seien also Seiten weder parallel noch gleich lang.

Verbindet man die Mittelpunkte der Vierecksseiten zu einem neuen Viereck, seinem "Mittelpunktsviereck", so ist dieses stets ein Parallelogramm.

Ganz erstaunlich - oder nicht?

Begründe die "Ordnungskraft" der Seitenmittelpunkte eines Vierecks. Erkläre also, warum das Mittelpunktsviereck eines beliebigen Vierecks stets ein Parallelogramm ist.
Tipp: Der Strahlensatz hilft!
In der Strahlensatzfigur ADCADC (Teildreieck des Vierecks ABCDABCD) teilen die Mittelpunkte die Strahlen [DA[DA und [DC[DC im gleichen Verhältnis 1:1. Die Seite [M1M2][M_1M_2] ist demnach parallel zu [AC][AC], der Diagonalen des Vierecks.
Gleiches gilt für die drei anderen Seiten des Mittelpunktsvierecks. Dessen Seiten sind somit paarweise parallel zu einer Diagonalen des Vierecks (und im Übrigen gerade halb so lang wie diese.)
Das Mittelpunktsviereck ist also stets ein Parallelogramm.
Da die Seiten des Mittelpunktsvierecks parallel zu den Diagonalen des ursprünglichen Vierecks sind, ist der spitze Eckwinkel des Mittelpunktsvierecks so groß wie der spitze Winkel, in dem sich die Diagonalen des ursprünglichen Vierecks schneiden. Also gilt: α=β\alpha=\beta.

Von welcher Form sind die Mittelpunktsvierecke von Quadraten? Begründe deine Antwort!

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Das Mittelpunktsviereck eines Quadrats ist wieder ein Quadrat.

Begründung:

Die Diagonalen des (ursprünglichen) Quadrats sind gleich lang und stehen aufeinander senkrecht.

Damit sind die Seiten des Mittelpunktsvierecks auch gleich lang (halb so lang wie die ursprünglichen Diagonalen) und stehen aufeinander senkrecht.

Damit ist das Mittelpunktsviereck eines Quadrats wieder ein Quadrat.

(Zusatz: Mit halb so großem Flächeninhalt wie das ursprüngliche Quadrat.)

Von welcher Form sind die Mittelpunktsvierecke von Rechtecken? Begründe deine Anwort!

%%\quad \quad \quad%%

Das Mittelpunktsviereck eines Rechtecks ist eine Raute.

Begründung:

Die Diagonalen eines Rechtecks sind gleich lang, stehen aber nicht aufeinander senkrecht.

Damit sind die vier Seiten des Mittelpunktsvierecks gleich lang. Die Eckwinkel sind aber nicht 90°.

Damit ist das Mittelpunktsviereck eines Rechtecks eine Raute (und kein Quadrat.)

(Zusatz: Der Flächeninhalt der Raute ist halb so groß wie der des ursprünglichen Rechtecks.)

Von welcher Form sind die Mittelpunktsvierecke von Rauten? Begründe deine Anwort!

%%\quad \quad \quad%%

Das Mittelpunktsviereck einer Raute ist ein Rechteck.

Begründung:

Die Diagonalen einer Raute stehen aufeinander senkrecht, sind aber nicht gleich lang.

Damit sind die Eckwinkel des Mittelpunktsvierecks rechte Winkel und die Seiten paarweise verschieden lang.

Das Mittelpunktsviereck einer Raute ist somit ein Rechteck.

(Zusatz: Der Flächeninhalt des Rechtecks ist halb so groß wie der der ursprünglichen Raute.)

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