Aufgaben

Kreuze die zutreffenden Aussagen an

Welche Vierecke haben zwei Symmetrieachsen?
Raute
Rechteck
Parallelogramm
symmetrischer Drachen
Bei welchen Vierecken sind mindestens zwei Winkel gleich groß?
Quadrat
symmetrischer Drache
Parallelogramm
allgemeines Trapez
Welche Eigenschaften haben sowohl das Quadrat als auch das Parallelogramm?
gegenüberliegende Seiten sind parallel
die Vierecke sind punktsymmetrisch
benachbarte Winkel sind gleich groß
die Vierecke sind achsensymmetrisch
Was ist ein Rechteck gleichzeitig immer auch?
allgemeines Trapez
Parallelogramm
Drachenviereck
Quadrat

Prüfe folgende Aussagen auf ihren Wahrheitsgehalt. Begründe kurz oder gib ein Gegenbeispiel an.

Jede Raute ist ein Parallelogramm.

Leider nein. Probier's nochmal!

Richtig!

Die Aussage stimmt.

Nach Definition ist die Raute ein spezielles Parallelogramm, nämlich eines, bei dem mindestens eine der Diagonalen Symmetrieachse der Figur ist.

Somit ist jede Raute ein Parallelogramm.

Wähle die richtige Antwort aus.

Welches der folgenden Vierecke ist kein Parallelogramm?

Falsch. Das ist eine Raute. In einer Raute sind die gegenüberliegenden Seiten parallel und damit ist es ein Parallelogramm.

Falsch. Das ist ein Quadrat. Quadrate sind Parallelogramme, denn alle gegenüberliegenden Seiten sind parallel zueinander.

Leider falsch! Das ist ein Rechteck. Die gegenüberliegenden Seiten parallel und deswegen sind alle Rechtecke auch Parallelogramme.

Richtig! Das ist ein Trapez. In einem Trapez müssen nur zwei gegenüberliegende Seiten parallel sein, die anderen zwei jedoch nicht.

Die Ordnungskraft der Mittelpunkte

%%ABCD%% sei ein allgemeines Viereck ohne jede Besonderheit. Es seien also Seiten weder parallel noch gleich lang.

Verbindet man die Mittelpunkte der Vierecksseiten zu einem neuen Viereck, seinem "Mittelpunktsviereck", so ist dieses stets ein Parallelogramm.

Ganz erstaunlich - oder nicht?

Begründe die "Ordnungskraft" der Seitenmittelpunkte eines Vierecks. Erkläre also, warum das Mittelpunktsviereck eines beliebigen Vierecks stets ein Parallelogramm ist.
Tipp: Der Strahlensatz hilft!
In der Strahlensatzfigur ADCADC (Teildreieck des Vierecks ABCDABCD) teilen die Mittelpunkte die Strahlen [DA[DA und [DC[DC im gleichen Verhältnis 1:1. Die Seite [M1M2][M_1M_2] ist demnach parallel zu [AC][AC], der Diagonalen des Vierecks.
Gleiches gilt für die drei anderen Seiten des Mittelpunktsvierecks. Dessen Seiten sind somit paarweise parallel zu einer Diagonalen des Vierecks (und im Übrigen gerade halb so lang wie diese.)
Das Mittelpunktsviereck ist also stets ein Parallelogramm.
Da die Seiten des Mittelpunktsvierecks parallel zu den Diagonalen des ursprünglichen Vierecks sind, ist der spitze Eckwinkel des Mittelpunktsvierecks so groß wie der spitze Winkel, in dem sich die Diagonalen des ursprünglichen Vierecks schneiden. Also gilt: α=β\alpha=\beta.

Von welcher Form sind die Mittelpunktsvierecke von Quadraten? Begründe deine Antwort!

%%\quad \quad \quad \quad%%

Das Mittelpunktsviereck eines Quadrats ist wieder ein Quadrat.

Begründung:

Die Diagonalen des (ursprünglichen) Quadrats sind gleich lang und stehen aufeinander senkrecht.

Damit sind die Seiten des Mittelpunktsvierecks auch gleich lang (halb so lang wie die ursprünglichen Diagonalen) und stehen aufeinander senkrecht.

Damit ist das Mittelpunktsviereck eines Quadrats wieder ein Quadrat.

(Zusatz: Mit halb so großem Flächeninhalt wie das ursprüngliche Quadrat.)

Von welcher Form sind die Mittelpunktsvierecke von Rechtecken? Begründe deine Anwort!

%%\quad \quad \quad%%

Das Mittelpunktsviereck eines Rechtecks ist eine Raute.

Begründung:

Die Diagonalen eines Rechtecks sind gleich lang, stehen aber nicht aufeinander senkrecht.

Damit sind die vier Seiten des Mittelpunktsvierecks gleich lang. Die Eckwinkel sind aber nicht 90°.

Damit ist das Mittelpunktsviereck eines Rechtecks eine Raute (und kein Quadrat.)

(Zusatz: Der Flächeninhalt der Raute ist halb so groß wie der des ursprünglichen Rechtecks.)

Von welcher Form sind die Mittelpunktsvierecke von Rauten? Begründe deine Anwort!

%%\quad \quad \quad%%

Das Mittelpunktsviereck einer Raute ist ein Rechteck.

Begründung:

Die Diagonalen einer Raute stehen aufeinander senkrecht, sind aber nicht gleich lang.

Damit sind die Eckwinkel des Mittelpunktsvierecks rechte Winkel und die Seiten paarweise verschieden lang.

Das Mittelpunktsviereck einer Raute ist somit ein Rechteck.

(Zusatz: Der Flächeninhalt des Rechtecks ist halb so groß wie der der ursprünglichen Raute.)

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