In diesem Artikel geht es um Dreiecke, die man in der Ebene zeichnen kann. Für diese Dreiecke gilt:

Die Summe aller Innenwinkel beträgt immer 180°.

Ein Beispiel für Dreiecke mit einer anderen Winkelsumme findest du am Ende des Artikels.

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/1902.xml

Begründung

Man kann sich diesen Satz zu Hause ganz einfach begreiflich machen:

Man schneidet irgendein Dreieck aus einem Stück Papier oder Pappe.

dreieck

Anschließend reißt (oder schneidet) man zwei Ecken des Dreiecks ab.

dreieck2

Nun legt man die Ecken an die dritte und stellt fest, dass die drei Ecken zusammen eine gerade Linie bzw. einen gestreckten Winkel (das heißt 180°) ergeben.

dreieck3

Das funktioniert bei jedem Dreieck mit geraden Seiten!

Begründung mit Winkelsätzen

Man kann die Aussage nachvollziehen, indem man sich eine Gerade parallel zu einer der Seiten vorstellt. In der Zeichnung rechts ist das die gestrichelte Linie.

Da diese beiden Geraden parallel sind, kann man die Wechselwinkel) zu %%\alpha%% und %%\beta%% neben %%\gamma%% zeichnen. Man erkennt so, dass %%\alpha+\beta+\gamma=180°%% gilt.

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/1904.xml

Es gibt Dreiecke mit Innenwinkelsumme ungleich %%180°%%!

Dreiecke Innenwinkelsumme Kugelgeometrie

Betrachtet man nicht-ebene Dreiecke, ist die Summe der Innenwinkel oft nicht %%180°%%. Im oberen Beispiel hat das Dreieck auf der Kugel eine Innenwinkelsumme von %%3 \cdot 90° = 270°%%.

Wenn du mehr dazu wissen möchtest empfehlen wir dir über Euklidische Geometrie und über sphärische Geometrie zu lesen.

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Zu article Winkelsumme im Dreieck: Es stimmt leider nicht, dass die Winkelsumme bei allen Dreiecken 180 Grad ist.
Trofremi 2016-03-08 14:40:00
Hier wird erklärt, die Winkelsumme eines Dreiecks betrage 180°. Und dies gelte für "alle" Dreiecke.
Tatsächlich gilt dies aber nur für euklidische Dreiecke.
Ich kann ohne Probleme ein Dreieck zeichnen, welches eine Winkelsumme von 270° hat-und habe es meinen Schülern auch immer wieder gerne gezeigt.
niklasgee 2016-03-17 09:41:08
Hallo Trofremi,
Vielen Dank für den Hinweis!

Das Problem ist, dass wir eine möglichst leichte Verständlichkeit erreichen wollen. Führt man den Begriff euklidisch ein, führt das zur Frage, was nicht euklidisch ist. Das führt dann zum Normbegriff. Schüler lernen jedoch nur Aussagen innerhalb der euklidischen Geometrie. Zum Beispiel erwähnt man für gewöhnlich nicht, dass der Satz des Pythagoras nur für euklidische rechtwinklige Dreiecke gilt, da die Schüler eine andere Geometrie nicht kennen.

Ich habe jetzt unten im Artikel eine Bemerkung mit einem Beispiel aus der sphärischen Geometrie hinzugefügt. So bekommen die Leser eine Idee davon, dass es noch weitere Geometrien gibt.

Wie finden Sie den Vorschlag?
Wir freuen uns über jede Kritik und weitere Verbesserungsvorschläge!

Viele Grüße,
Niklas
Trofremi 2016-03-31 16:26:17
Ist es denn nicht im Sinne der Aufklärung, dass Schülerinnen und Schüler erfahren dürfen, dass sie nur die euklidische Geometrie in der Schule kennen lernen?
Die Erkenntnis, dass "da noch mehr ist" ist eine wertvolle Bereicherung auf dem Weg zur Mündigkeit. Man darf etwas vereinfacht darstellen, aber ich wehre mich vehement dagegen etwas schlicht und einfach falsch zu sagen. Ich habe selber als Vertretungs- und Nachhilfelehrer gearbeitet-und immer wieder mein Dreieck mit der Winkelsumme von 270° gezeigt.-Auf meinem Ball...Und auch gesagt, dass wir im Prinzip auf einer (Beinahe) Kugel leben. Und würde man die Entfernungen berücksichtigen, die wir für einen Urlaub zurücklegen, dann befinden wir uns sehr schnell in der nicht-euklidischen Trigonometrie wieder...
Ich habe wirklich niemals den Eindruck gehabt, dass meine SuS den Unterschied nicht verstanden hätten oder dass es sie überfordert hätte. Eher habe ich den Eindruck einer Erleichterung ausmachen können, wenn ich ihnen versicherte, dass im Unterricht nur die euklidische Geometrie bedeutung hat.
Auch kann ich mir vorstellen, dass sich SuS auch schnell nicht ernst genommen fühlen, wenn man ihnen Informationen vorenthält und Wissen verschweigt. Hin und wieder kommt es auch vor, dass SuS von alleine darauf kommen, dass eine nicht euklidische Geometrie existiert. -Beispielsweise gibt es solche Rätselaufgaben wie " An welchem Punkt der Erde kann ich 20.000km geradeaus gehen, dann mich um 90° nach rechts drehen, wieder 20.000 km geradeaus laufe, mich nochmal um 90° nach rechts drehen und nochmal 20.000 km geradeaus laufe, um wieder dort zu sein, wo ich angefanfen habe."

Wenn ich mich schon um den Erhalt und die Weitergabe von Mathematik kümmern möchte, dann würde ich als Letzter versuchen, solche Rätselfragen vor meinen SuS zu verbergen.
Ich könnte es mit meinem Gewissen vereinbaren, wenn in der Erklärung das Wort "euklidisch" stünde-und man "euklidisch" direkt im Anschluss vereinfacht erklärt mit "Der Geometrie, die uns in der Schule begegnet"-oder ähnliches.

Auch wenn Mathematik vielen Leuten sehr fremd ist, so gibt es doch einen nicht unerheblichen Anteil unter uns Menschen, denen Sie einen zuverlässigen halt durch ihre korrekte, eindeutige und ein für allemal bewiesene Formulierung bietet.
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