Aufgaben

Beschreibe die gekennzeichnete Strecke bzw. Fläche.

Geogebra File: /uploads/legacy/5419_bacDvuG8pp.xml

Gesucht ist eine mathematische Beschreibung der Punktmenge, die in der Zeichnung rot gekennzeichnet ist.

Überlege dir, was das für die Koordinaten der Punkte der Strecke bedeutet.

Das ist die Strecke, die bei x=3 nach oben geht und 2 Längeneinheiten lang ist. Die Endpunkte der Strecke gehören beide dazu.

Es gehören alle Punkte zu dem Bereich, die einen x-Wert von 3 haben und deren y-Wert zwischen 0 und 2 liegt, wobei die y-Werte 0 und 2 auch angenommen werden dürfen.

Beschreibe dies nun in mathematischer Formelschreibweise.

Für alle Punkt %%(x|y)%% im angegebenen Bereich gilt: $$x=3\wedge0\leq y\leq2$$

Kennzeichnen Sie im Koordinatensystem alle Punkte, deren Koordinaten die gegebenen Bedingungen erfüllen.

Bestimmen Sie die Lage der Punkte:

Für welche Werte von %%t\in\mathbb{R}%% liegt der Punkt %%P_t\left(\left.t-1\;\right|\;\frac1{1+t}\right)%% im 1. Quadranten?

Der 1.Quadrant schließt alle Werte ein, bei denen die x und y Werte beide nicht-negativ (positiv sowie die Null) sind.

Überprüfe welche Bedinung erfüllt sein muss, damit dies zutrifft.

%%t-1\geq0\wedge\frac1{t+1}\geq0%%

Nur wenn t größer ist als 1, ist die x-Koordinate nicht-negativ. Für die y-Koordinate gilt, dass t kleiner als -1 sein muss (denn bei %%t = -1%% ist der Ausdruck nicht definiert). Nun betrachtest du nur den 1. Quadranten, d.h. die Bedingung für die y-Koordinate ist hier egal.

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Damit der Punkt im 1. Quadranten liegt, muss %%t>1%% sein.

Für welche Werte von %%t\in\mathbb{R}%% liegt der Punkt %%Q_t\left(\left.t\;\right|\;t^2-1\right)%% unterhalb der x-Achse?

Alle Punkte, die einen y-Wert haben, der kleiner als 0 ist, liegen unterhalb der x-Achse.

Überprüfe, welche Bedingungen erfüllt sein müssen, damit dies zutrifft. Untersuche also den y-Wert. Dies trifft nur zu, wenn %%t^2%% kleiner als %%1%% ist.

%%t^2-1 < 0 \;\ \ \ \Leftrightarrow \ \ \ t^2< 1%%

Damit müssen die Werte zwischen 1 und -1 liegen.

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Der Punkt liegt unterhalb der x-Achse, wenn %%t \in [-1;1]%%.

Stelle die angegebenen Punktmenge in einem Koordinatensystem dar:

%%M\;=\;\left\{P\left(x\vert y\right)\;\vert\;\overline{\mathrm{PA}}\;=\;\overline{\mathrm{PB}}\right\},\;\mathrm{wobei}\;A\left(0\vert1\right)\;\mathrm{und}\;B\left(2\vert0\right)%%

 

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