Aufgaben

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kegel

Teilaufgabe 1

Vorüberlegungen

Wenn Du den Rand deiner Eistüte betrachtest erkennst du einen Kreis. Die Spitze der Eistüte denkst Du dir als einen Punkt. Bei deiner Eistüte handelt es sich um einen Kegel.

Volumen eines Kegels

Du benötigst den Radius rr und die Höhe hh des Kegels. Die Höhe ist direkt gegeben und der Radius ist der halbe Durchmesser:
Berechne damit nun das Volumen.


Umrechnen

Für das Umrechnen von Litern gilt 1l=1dm31\,\text{l} = 1 \,\text{dm}^3 und 1dm3=1000cm31\,\text{dm}^3 = 1000\,\text{cm}^3
Beides zusammen ergibt

1l=1000cm311000l=1cm3\begin{array}{lcl} 1\,\text{l} &=& 1000\,\text{cm}^3\\ \dfrac{1}{1000} \,\text{l} &=& 1 \,\text{cm}^3 \end{array}

Rechne damit das Volumen der Eistüte um.
VEistu¨te150,8cm3=150,81000l=0,1508l0,15l\displaystyle V_{Eistüte}\approx 150,8 \,\text{cm}^3 = \dfrac{150,8}{1000} \,\text{l} = 0,1508 \,\text{l} \approx 0,15 \,\text{l}
In die Eistüte passen also etwa 0,150,15 Liter Eis.

Teilaufgabe 2

Vorüberlegungen

Du kannst die Eistüte auf verschiedene Arten vergrößern. Du kannst
  • das Verhältnis von rr und hh so belassen wie bei deiner ursprünglichen Eistüte. Dabei würdest du rr und hh mit dem gleichen Faktor aa multiplizieren, also rr durch ara\cdot r und hh durch aha \cdot h ersetzen.
  • das Verhältnis von rr und hh verändern und die Form deiner Eistüte verzerren. Zum Beispiel könntest du den dreifachen Radius 3r3r und die halbe Höhe h2\dfrac{h}{2} nehmen.
Nimm hier an, dass du die ursprüngliche Form der Eistüte beibehalten möchtest.

Aufstellen einer Gleichung

Du kannst bereits das Volumen einer Eistüte berechnen, wenn du rr und hh kennst.
Nun ist der Radius und die Höhe der größeren Eistüte aber unbekannt. Du multiplizierst Höhe und Radius mit einer Zahl aa, die du noch nicht kennst.
Du musst aa so wählen, dass das Volumen genau 1l=1000cm31\,\text{l} = 1000\,\text{cm}^3 ist, was zu folgender Gleichung führt:

Lösen einer Gleichung mit einer Unbekannten

13π(ar)2(ah)=1000cm3Vereinfache die linke Seiteπ3r2ha3=1000cm3:(π3rh)a3=3000cm3πr2h Werte aus Teil 1 einsetzena3=3000cm3π(3cm)216cma36,633a1,88\begin{array}{rcll}\dfrac{1}{3} \pi (ar)^2 (ah) & = & 1000 \,\text{cm}^3 & \left|\quad \text{Vereinfache die linke Seite}\right. \\\dfrac{\pi}{3} r^2h \cdot a^3 & = & 1000 \,\text{cm}^3 & \left| :(\dfrac{\pi}{3} rh) \right. \\a^3 & = & \dfrac{3000 \, \text{cm}^3}{\pi r^2h} & \left| \quad\ \text{Werte aus Teil 1 einsetzen} \right. \\a^3 & = & \dfrac{3000\, \text{cm}^3}{\pi\cdot (3\,\mathrm{cm})^2\cdot 16\, \mathrm{cm}} & \\a^3 & \approx & 6,63 & \left|\sqrt[3]{}\right. \\a & \approx & 1,88&\end{array}
Also müsstest du dir deine Eiswaffel mit einem Volumen von 0,150,15 Litern etwas weniger als doppelt so breit und hoch vorstellen, um das Volumen auf 11 Liter zu erhöhen!

Du hast bald Geburtstag und möchtest coole Partyhüte basteln. Die Hüte sollen möglichst hoch sein, da das Motto deiner Party ist: "Je höher desto besser". Zunächst misst deine Mama den Umfang deines Kopfes, dieser beträgt %%66 \;\mathrm{cm}%%. Du entscheidest dich für eine Höhe von %%30 \;\mathrm{cm}%%.

Am Ende der Party darf jeder Gast seinen Hut mit Süßigkeiten füllen.
Wie schaffst du es, dass jeder gleich viel Platz für seine Süßigkeiten hat, wenn aber nicht alle den gleichen Kopfumfang haben?

Volumen eines Kegels

Wie gehst du vor?

Du musst dir überlegen wie alle den gleichen Platz für ihre Süßigkeiten bekommen.
Dies ist am fairsten, wenn alle Hüte das gleiche Volumen haben. Dazu musst du zuerst das Volumen deines Hutes ausrechnen.

Gegebene Maße

  • Dein Kopfumfang: %%U_{Du} = 66 \; \mathrm{cm}%%
  • Höhe des Hutes: %%h = 30\; \mathrm{cm}%%

$$U = 2 \cdot \pi \cdot r$$

Stelle nach %%r%% um.

$$r_{Du} = \frac{U_{Du}}{2 \cdot \pi}$$

Setze die Werte ein.

$$r_{Du} = \frac{66\;\mathrm{cm}}{2 \cdot \pi}$$

$$r_{Du} \approx 10,50 \;\mathrm{cm}$$

$$V = \frac{1}{3} \cdot r^2 \cdot \pi \cdot h$$

Setze deine Werte ein und berechne das Volumen deines Hutes.

$$V_{Du} = \frac{1}{3} \cdot {(10,50 \; \mathrm{cm})}^2 \cdot \pi \cdot 30 \;\mathrm{cm} = \frac{1}{3} \cdot 110,25\;\mathrm{cm}^3\cdot \pi \cdot 30\;\mathrm{cm} = 1102,5\;\mathrm{cm^3} \cdot \pi$$ $$\approx 3463,61\; \mathrm{cm}^3$$

Dein Hut hat also ein Volumen von ungefähr %%3463,61\; \mathrm{cm}^3%%

Weiter geht es

… mit den Volumina der Hüte deiner Freunde. Wir wissen, dass alle das gleiche Volumen haben sollen.
Den Umfang der Köpfe kann man messen und damit den Radius bestimmen (siehe Schritt 1). Was fehlt jetzt noch in der Formel %%V_{Kegel} = \frac{1}{3} \cdot r^2 \cdot \pi \cdot h%%?
Richtig, die Höhe!

$$V_{Kegel} = \frac{1}{3} \cdot r^2 \cdot \pi \cdot h$$

Stelle nach h um.

$$h = \frac {V_{Kegel} \cdot 3}{r^2 \cdot \pi}$$

Und fertig! :-)
Alles was du jetzt noch tun musst, ist das Volumen deines Hutes einsetzen, den Umfang der Köpfe deiner Freunde messen und den Radius ausrechnen und schon weißt du wie hoch der Hut deiner Freunde sein muss, damit jeder gleich viel Platz für seine Süßigkeiten hat.

Lösung: Man kann die Höhe der Hüte berechnen durch:$$h = \frac {3463,61\;\mathrm{cm^3} \cdot 3}{r^2 \cdot \pi}$$

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