Aufgaben

Die Cheops-Pyramide hat ungefähr die Länge 230m,
die Breite 230m und die Höhe 139m.
Wie groß ist ihr Volumen?

Pyramide

Gegeben:
%%l=230\,\mathrm m%%
%%b=230\,\mathrm m%%
%%h=139\,\mathrm m%%

Gesucht:
%%V={?}%%

Du brauchst die Formel für das Volumen einer Pyramide.

$$V=\frac13\cdot G\cdot h$$

Das ist die Formel für eine Pyramide. In diese Formel kannst du dann die Zahlen einsetzen.

$$V=\frac13\cdot(230\,\mathrm m)^2\cdot139\,\mathrm m$$

Das rechnest du aus und rundest das Ergebnis.

$$V=2\,451\,033\,\mathrm m^3$$

In ländlichen Gebieten dürfen Gebäude nur %%50 \, \mathrm{m}%% hoch sein, da man sonst eine spezielle Baugenehmigung braucht.
Der Kirchturm ist bis zum Dach %%30 \, \mathrm{m}%% hoch mit einer quadratischen Grundfläche von %%3025 \, \mathrm{dm}^2%%. Das Gesamtvolumen des Kirchturms beträgt %%1058{,}75 \, \mathrm{m}^3%%.

Braucht die Gemeinde eine Sonderbaugenehmigung?

Volumen einer Pyramide

Gegebene Maße

  • Höhe bis zum Dach: %%30 \, \mathrm{m}%%
  • Quadratische Grundfläche: %%3025 \, \mathrm{dm}^2%%
  • Gesamtvolumen des Kirchturms: %%1058{,}75 \, \mathrm{m}^3%%

$$3025 \, \mathrm{dm}^2 = 30{,}25 \, \mathrm{m}^2$$

Es gilt: $$10 \, \mathrm{dm} = 1 \, \mathrm{m}$$ $$100 \, \mathrm{dm}^2 = 1 \, \mathrm{m}^2$$ Deswegen musst du dein Komma bei %%3025{,}00 \, \mathrm{dm}%% um zwei Stellen nach links verschieben.

$$V_\mathrm{Quader} = G \cdot h$$

Setze die Werte aus der Angabe ein.

$$V_\mathrm{Quader} = 30{,}25 \, \mathrm{m}^2 \cdot 30 \, \mathrm{m}$$

Beachte, dass sich die Einheiten multiplizieren: %%\mathrm{m}^2 \cdot \mathrm{m} = \mathrm{m}^3%%.

$$V_\mathrm{Quader} = 907{,}5 \, \mathrm{m}^3$$

3. Schritt: Berechne das Volumen des Daches

Das Gesamtvolumen lässt sich aus dem Volumen des Daches und des Quaders berechnen. Dazu muss man diese addieren.

$$V_\mathrm{gesamt} = V_\mathrm{Dach} + V_\mathrm{Quader}$$

Stelle nach %%V_\mathrm{Dach}%% um.

$$V_\mathrm{Dach} = V_\mathrm{gesamt} - V_\mathrm{Quader}$$

Setze die Werte aus der Angabe ein.

$$V_\mathrm{Dach} = 1058{,}75 \, \mathrm{m}^3 - 907{,}5 \, \mathrm{m}^3$$

$$V_\mathrm{Dach} = 151{,}25 \, \mathrm{m}^3$$

Das Dach ist eine Pyramide. Stelle die Volumenformel für die Pyramide auf.

$$V_\mathrm{Dach} = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h_\mathrm{Dach}$$

Stelle nach %%h_\mathrm{Dach}%% um, indem du erst auf beiden Seiten durch %%G%% teilst und anschließend mit %%3%% multiplizierst, um den Bruch wegzubekommen.

$$3 \cdot \frac{V_\mathrm{Dach}}{G} = h_\mathrm{Dach}$$

Setze die Werte aus der Angabe ein.

$$h_\mathrm{Dach} = 3 \cdot \frac{151{,}25 \, \mathrm{m}^3}{30{,}25 \, \mathrm{m}^2}$$

$$h_\mathrm{Dach} = 15 \, \mathrm{m}$$

Die Höhe des Daches beträgt %%15 \, \mathrm{m}%%.

5. Schritt: Bestimme die Gesamthöhe

Die Gesamthöhe setzt sich aus der Höhe des Quaders und des Daches zusammen. Dazu muss man diese addieren.

$$h_\mathrm{gesamt} = h_\mathrm{Quader} + h_\mathrm{Dach}$$

Setze die Werte aus der Angabe ein.

$$h_\mathrm{gesamt} = 30 \, \mathrm{m} + 15 \, \mathrm{m}$$

$$h_\mathrm{gesamt} = 45 \, \mathrm{m}$$

Die Gesamthöhe des Kirchturmes beträgt %%45 \, \mathrm{m}%%. Deswegen braucht die Gemeinde keine spezielle Baugenehmigung.

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