Aufgaben zum Volumen einer Pyramide

In ländlichen Gebieten dürfen Gebäude nur $50 \, \mathrm{m}$ hoch sein, da man sonst eine spezielle Baugenehmigung braucht. Der Kirchturm ist bis zum Dach $30 \, \mathrm{m}$ hoch mit einer quadratischen Grundfläche von $3025 \, \mathrm{dm}^2$ . Das Gesamtvolumen des Kirchturms beträgt $1058{,}75 \, \mathrm{m}^3$ .

Braucht die Gemeinde eine Sonderbaugenehmigung?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumen einer Pyramide

Gegebene Maße

Höhe bis zum Dach: $30 \, \mathrm{m}$
Quadratische Grundfläche: $3025 \, \mathrm{dm}^2$
Gesamtvolumen des Kirchturms: $1058{,}75 \, \mathrm{m}^3$

1. Schritt: Vereinheitliche die Größen

\displaystyle 3025 \, \mathrm{dm}^2 = 30{,}25 \, \mathrm{m}^2

Es gilt:Deswegen musst du dein Komma bei $3025{,}00 \, \mathrm{dm}$ um zwei Stellen nach links verschieben.

2. Schritt: Berechne das Volumen des Quaders

\displaystyle V_\mathrm{Quader} = G \cdot h

Setze die Werte aus der Angabe ein.

\displaystyle V_\mathrm{Quader} = 30{,}25 \, \mathrm{m}^2 \cdot 30 \, \mathrm{m}

Beachte, dass sich die Einheiten multiplizieren: $\mathrm{m}^2 \cdot \mathrm{m} = \mathrm{m}^3$ .

\displaystyle V_\mathrm{Quader} = 907{,}5 \, \mathrm{m}^3

3. Schritt: Berechne das Volumen des Daches

Das Gesamtvolumen lässt sich aus dem Volumen des Daches und des Quaders berechnen. Dazu muss man diese addieren.

\displaystyle V_\mathrm{gesamt} = V_\mathrm{Dach} + V_\mathrm{Quader}

Stelle nach $V_\mathrm{Dach}$ um.

\displaystyle V_{\mathrm{Dach}}=V_{\mathrm{gesamt}}-V_{\mathrm{Quader}}^{ }

Setze die Werte aus der Angabe ein.

\displaystyle V_\mathrm{Dach} = 1058{,}75 \, \mathrm{m}^3 - 907{,}5 \, \mathrm{m}^3

\displaystyle V_\mathrm{Dach} = 151{,}25 \, \mathrm{m}^3

4. Schritt: Berechne die Höhe des Daches

Das Dach ist eine Pyramide. Stelle die Volumenformel für die Pyramide auf.

\displaystyle V_\mathrm{Dach} = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h_\mathrm{Dach}

Stelle nach $h_\mathrm{Dach}$ um, indem du erst auf beiden Seiten durch $G$ teilst und anschließend mit $3$ multiplizierst, um den Bruch wegzubekommen.

\displaystyle 3 \cdot \frac{V_\mathrm{Dach}}{G} = h_\mathrm{Dach}

Setze die Werte aus der Angabe ein.

\displaystyle h_\mathrm{Dach} = 3 \cdot \frac{151{,}25 \, \mathrm{m}^3}{30{,}25 \, \mathrm{m}^2}

\displaystyle h_\mathrm{Dach} = 15 \, \mathrm{m}

Die Höhe des Daches beträgt $15 \, \mathrm{m}$ .

5. Schritt: Bestimme die Gesamthöhe

Die Gesamthöhe setzt sich aus der Höhe des Quaders und des Daches zusammen. Dazu muss man diese addieren.

\displaystyle h_{\mathrm{gesamt}}=h_{\mathrm{Quader}}+h_{\mathrm{Dach}}^{ }

Setze die Werte aus der Angabe ein.

\displaystyle h_\mathrm{gesamt} = 30 \, \mathrm{m} + 15 \, \mathrm{m}

\displaystyle h_\mathrm{gesamt} = 45 \, \mathrm{m}

Die Gesamthöhe des Kirchturmes beträgt $45 \, \mathrm{m}$ . Deswegen braucht die Gemeinde keine spezielle Baugenehmigung.

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