Aufgaben zum Volumen einer Pyramide

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In ländlichen Gebieten dürfen Gebäude nur $50 m$ hoch sein, da man sonst eine spezielle Baugenehmigung braucht. Der Kirchturm ist bis zum Dach $30 m$ hoch mit einer quadratischen Grundfläche von $3025 {dm}^{2}$ . Das Gesamtvolumen des Kirchturms beträgt $1058,75 m^{3}$ .

Braucht die Gemeinde eine Sonderbaugenehmigung?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumen einer Pyramide

Gegebene Maße

Höhe bis zum Dach: $30 m$
Quadratische Grundfläche: $3025 {dm}^{2}$
Gesamtvolumen des Kirchturms: $1058,75 m^{3}$

1. Schritt: Vereinheitliche die Größen

3025 {dm}^{2} = 30,25 m^{2}

Es gilt:Deswegen musst du dein Komma bei $3025,00 dm$ um zwei Stellen nach links verschieben.

2. Schritt: Berechne das Volumen des Quaders

V_{Quader} = G \cdot h

Setze die Werte aus der Angabe ein.

V_{Quader} = 30,25 m^{2} \cdot 30 m

Beachte, dass sich die Einheiten multiplizieren: $m^{2} \cdot m = m^{3}$ .

V_{Quader} = 907,5 m^{3}

3. Schritt: Berechne das Volumen des Daches

Das Gesamtvolumen lässt sich aus dem Volumen des Daches und des Quaders berechnen. Dazu muss man diese addieren.

V_{gesamt} = V_{Dach} + V_{Quader}

Stelle nach $V_{Dach}$ um.

V_{Dach} = V_{gesamt} - V_{Quader}^{}

Setze die Werte aus der Angabe ein.

V_{Dach} = 1058,75 m^{3} - 907,5 m^{3}

V_{Dach} = 151,25 m^{3}

4. Schritt: Berechne die Höhe des Daches

Das Dach ist eine Pyramide. Stelle die Volumenformel für die Pyramide auf.

V_{Dach} = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h_{Dach}

Stelle nach $h_{Dach}$ um, indem du erst auf beiden Seiten durch $G$ teilst und anschließend mit $3$ multiplizierst, um den Bruch wegzubekommen.

3 \cdot \frac{V_{Dach}}{G} = h_{Dach}

Setze die Werte aus der Angabe ein.

h_{Dach} = 3 \cdot \frac{151,25 m^{3}}{30,25 m^{2}}

h_{Dach} = 15 m

Die Höhe des Daches beträgt $15 m$ .

5. Schritt: Bestimme die Gesamthöhe

Die Gesamthöhe setzt sich aus der Höhe des Quaders und des Daches zusammen. Dazu muss man diese addieren.

h_{gesamt} = h_{Quader} + h_{Dach}^{}

Setze die Werte aus der Angabe ein.

h_{gesamt} = 30 m + 15 m

h_{gesamt} = 45 m

Die Gesamthöhe des Kirchturmes beträgt $45 m$ . Deswegen braucht die Gemeinde keine spezielle Baugenehmigung.

Überlege dir zuerst aus welchen Figuren sich ein Turm zusammensetzt.

Tipp: Eine quadratische Grundfläche bedeutet, dass deine Seitenlängen gleich lang sind. Dazu ist es geschickt, alle Größen in eine gleiche Einheit zu bringen. Rechne daher die Quadratdezimeter ${dm}^{2}$ in Quadratmeter $m^{2}$ um.

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