Aufgaben zum Volumen einer Pyramide

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In ländlichen Gebieten dürfen Gebäude nur $50 \, \mathrm{m}$ hoch sein, da man sonst eine spezielle Baugenehmigung braucht. Der Kirchturm ist bis zum Dach $30 \, \mathrm{m}$ hoch mit einer quadratischen Grundfläche von $3025 \, \mathrm{dm}^2$ . Das Gesamtvolumen des Kirchturms beträgt $1058{,}75 \, \mathrm{m}^3$ .

Braucht die Gemeinde eine Sonderbaugenehmigung?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumen einer Pyramide

Gegebene Maße

Höhe bis zum Dach: $30 \, \mathrm{m}$
Quadratische Grundfläche: $3025 \, \mathrm{dm}^2$
Gesamtvolumen des Kirchturms: $1058{,}75 \, \mathrm{m}^3$

1. Schritt: Vereinheitliche die Größen

\displaystyle 3025 \, \mathrm{dm}^2 = 30{,}25 \, \mathrm{m}^2

Es gilt:Deswegen musst du dein Komma bei $3025{,}00 \, \mathrm{dm}$ um zwei Stellen nach links verschieben.

2. Schritt: Berechne das Volumen des Quaders

\displaystyle 3025 \, \mathrm{dm}^2 = 30{,}25 \, \mathrm{m}^2

Setze die Werte aus der Angabe ein.

\displaystyle 3025 \, \mathrm{dm}^2 = 30{,}25 \, \mathrm{m}^2

Beachte, dass sich die Einheiten multiplizieren: $\mathrm{m}^2 \cdot \mathrm{m} = \mathrm{m}^3$ .

\displaystyle 3025 \, \mathrm{dm}^2 = 30{,}25 \, \mathrm{m}^2

3. Schritt: Berechne das Volumen des Daches

Das Gesamtvolumen lässt sich aus dem Volumen des Daches und des Quaders berechnen. Dazu muss man diese addieren.

\displaystyle 3025 \, \mathrm{dm}^2 = 30{,}25 \, \mathrm{m}^2

Stelle nach $V_\mathrm{Dach}$ um.

\displaystyle 3025 \, \mathrm{dm}^2 = 30{,}25 \, \mathrm{m}^2

Setze die Werte aus der Angabe ein.

\displaystyle 3025 \, \mathrm{dm}^2 = 30{,}25 \, \mathrm{m}^2

\displaystyle 3025 \, \mathrm{dm}^2 = 30{,}25 \, \mathrm{m}^2

4. Schritt: Berechne die Höhe des Daches

Das Dach ist eine Pyramide. Stelle die Volumenformel für die Pyramide auf.

\displaystyle 3025 \, \mathrm{dm}^2 = 30{,}25 \, \mathrm{m}^2

Stelle nach $h_\mathrm{Dach}$ um, indem du erst auf beiden Seiten durch $G$ teilst und anschließend mit $3$ multiplizierst, um den Bruch wegzubekommen.

\displaystyle 3025 \, \mathrm{dm}^2 = 30{,}25 \, \mathrm{m}^2

Setze die Werte aus der Angabe ein.

\displaystyle 3025 \, \mathrm{dm}^2 = 30{,}25 \, \mathrm{m}^2

\displaystyle 3025 \, \mathrm{dm}^2 = 30{,}25 \, \mathrm{m}^2

Die Höhe des Daches beträgt $15 \, \mathrm{m}$ .

5. Schritt: Bestimme die Gesamthöhe

Die Gesamthöhe setzt sich aus der Höhe des Quaders und des Daches zusammen. Dazu muss man diese addieren.

\displaystyle 3025 \, \mathrm{dm}^2 = 30{,}25 \, \mathrm{m}^2

Setze die Werte aus der Angabe ein.

\displaystyle 3025 \, \mathrm{dm}^2 = 30{,}25 \, \mathrm{m}^2

\displaystyle 3025 \, \mathrm{dm}^2 = 30{,}25 \, \mathrm{m}^2

Die Gesamthöhe des Kirchturmes beträgt $45 \, \mathrm{m}$ . Deswegen braucht die Gemeinde keine spezielle Baugenehmigung.

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Überlege dir zuerst aus welchen Figuren sich ein Turm zusammensetzt.

Tipp: Eine quadratische Grundfläche bedeutet, dass deine Seitenlängen gleich lang sind. Dazu ist es geschickt, alle Größen in eine gleiche Einheit zu bringen. Rechne daher die Quadratdezimeter $\mathrm{dm}^2$ in Quadratmeter $\mathrm{m}^2$ um.