Ein Prisma ist ein dreidimensionaler Körper, der

  • auf der einen Seite ein n-Eck als Grundfläche,

  • von dort aus parallele und gleich lange Kanten,

  • und auf der gegenüberliegenden Seite ein zur Grundfläche kongruentes n-Eck als Deckfläche

hat.

Prismen

Beispiele verschiedener Prismen

  • dreiseitiges Prisma (= mit drei Seitenflächen)
  • fünfseitiges Prisma
  • sechsseitiges Prisma

Wenn die parallelen Kanten senkrecht auf der Grundfläche stehen, ist das Prisma ein gerades Prisma, andernfalls ein schiefes Prisma.

In der Schule werden oft nur gerade Prismen betrachtet.

Beispiele für Prismen in der realen Welt

Manche Gegenstände habe ungefähr die Form eines Prismas:

Bild sechseckige Geschenkschachtel

Diese Geschenkschachtel hat ungefähr die Form eines Primas mit einem regulären Sechseck als Grundfläche.

Marmeladenglas

Wenn ein Marmeladenglas nicht rund ist, sondern eckig - so wie im Bild das mittlere Glas - dann liegt ihm als Grundform nicht ein Zylinder, sondern ein Prisma zugrunde.

Bild Gewächshaus Mit der Vorderfront als "Grundfläche" ist solch ein Gewächshaus annähernd ein Prisma.

In der Physik werden Prismen aus Glas oder Kunststoff verwendet, um weißes Licht in Regenbogenfarben zu zerlegen.

Mit einem dreiseitigen Prisma aus Glas kann man eindrucksvoll die Lichtbrechung demonstrieren.

Prisma durch Parallelverschiebung eines Vielecks

Man kann sich ein Prisma als ein dreidimensionales Objekt vorstellen, das durch eine Parallelverschiebung eines n-Ecks entsteht. Die Verschieberichtung darf dabei nicht innerhalb der Ebene des n-Ecks liegen (3. Dimension notwendig).

Beispiel:
Alle Eckpunkte des unteren Dreiecks (siehe Bild) werden entlang paralleler Geraden nach oben verschoben, sodass oben das gleiche Dreieck noch einmal erscheint.

Unteres Dreieck, oberes Dreieck und alle Punkte dazwischen bilden dann zusammen das Prisma.

Bild: Dreieck wird parallel nach oben verschoben

Beispiel eines dreiseitigen Prismas,
das durch Parallelverschiebung eines Dreiecks entsteht.

Bezeichnungen beim Prisma

Grundfläche eines Prismas

Als Grundfläche des Prismas bezeichnet man eines der beiden kongruenten Vielecke, die durch die parallelen Kanten verbunden sind.

(Das gegenüberliegende kongruente Vieleck nennt man dann Deckfläche. Welches der beiden Vielecke man als Grundfläche und welches als Deckfläche auffasst, ist in der Regel egal.)

Bemerkung:
Auch wenn es "Grundfläche" heißt, muss die Grundfläche nicht unbedingt unten sein.
Ein Prisma kann auch auf einer der Seitenflächen liegen.

Bild: liegendes Prisma mit dreieckiger Grundfläche

Liegendes Prisma mit dreieckiger Grundfläche

Höhe eines Prismas

Die Höhe eines Prismas ist der Abstand zwischen der Ebene, in der die Grundfläche des Prismas liegt zu der Ebene, in der die (der Grundfläche gegenüber liegende) Deckfläche liegt.

Höhe bei einem geraden Prisma

Bei einem geraden Prisma ist die Höhe gleich der Länge der parallelen Kanten,

und

  • wenn das Prisma auf der Grundfläche steht, ist das auch wirklich die "Höhe" des Prismas im umgangssprachlichen Sinn.

gerades stehendes Prisma mit eingezeichneter Höhe

Bei einem stehenden geraden Prisma ist die Höhe des Prismas tatsächlich die "Höhe" des Prismas.

  • Wenn das Prisma auf einer der Seitenflächen liegt, ist die "Höhe des Prismas"
    das, was man normalerweise wahrscheinlich eher "Länge des Prismas" nennen würde.

liegendes Prisma mit trapezförmiger Grundfläche Bei einem liegenden geraden Prisma erkennt man die Höhe nur dann als eine "Höhe", wenn man sich das Prisma auf die Grundfläche aufgestellt denkt.

Höhe bei einem schiefen Prisma

Bei einem schiefen Prisma muss die Höhe trotzdem als senkrechter Abstand gemessen werden -

das heißt, die Höhe liegt "außerhalb" des Prismas.

schiefes Prisma mit eingezeichneter Höhe

Bei solch einem auf der Grundfläche stehenden schiefen Prisma misst man die Höhe einfach von der Deckfläche aus senkrecht zum Boden herunter.

Wichtige Formeln zum Prisma

Bemerkung:
Bei den Abbildungen zu den Formeln ist hier immer nur ein dreiseitiges Prisma gezeichnet, das heißt, ein Prisma, das ein Dreieck als Grund- und als Deckfläche besitzt.
Natürlich kann ein Prisma aber auch mehr Seiten haben!

Volumen

Das Volumen eines Prismas berechnet man, indem man

  • den Flächeninhalt der Grundfläche des Prisma mit der Höhe des Prismas multipliziert:

%%\mathrm V=\mathrm G\cdot\mathrm h%%

Wie man den Flächeninhalt der Grundfläche ausrechnet, hängt davon ab, welche Form die Grundfläche hat.

 Bild: beschriftetes Prisma

Mantelfläche

%%\mathrm M=\mathrm S_1+S_2+\dots +S_n%%

  • k bezeichnet die Anzahl der Seitenflächen
  • %%\mathrm S_1, S_2, \dots S_n%% bezeichnen die Seitenflächen des Prismas

Ist die Grundfläche ein reguläres n-Eck, so vereinfacht sich diese Formel zu

%%\mathrm M=\mathrm n\cdot S%%

wobei %%S%% eine der Seitenflächen ist.

Bild: Mantelfläche Prisma

Oberflächeninhalt

Um den Oberflächeninhalt eines Prismas zu berechnen, muss man

  • zum Mantelflächeninhalt noch den Inhalt der Grund- und der Deckfläche addieren.

Da Grund- und Deckfläche aber gleich groß sind, erhält man die Formel:

%%\mathrm O=2\cdot\mathrm G+\mathrm M%%

Bild Oberfläche von einem Prisma aufgekappt

Video zum Thema Volumen und Oberfäche des Prismas

Gerades und schiefes Prisma

Wenn die parallelen Begrenzungslinien, die die Grundfläche und die Deckfläche miteinander verbinden,

  • senkrecht auf der Grundfläche

stehen, hat man ein gerades Prisma.

Gerades Prisma - Beispielbild

Beispiel eines geraden Prismas mit achteckiger Grundfläche

Wenn die parallelen Begrenzungslinien aber

  • nicht senkrecht auf der Grundfläche

stehen, ergibt sich ein schiefes Prisma.

Schiefes Prisma - Beispielbild Beispiel eines schiefen Prismas mit sechseckiger Grundfläche

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Zu article Prisma:
LisaSchwa 2017-07-17 13:46:17
Der Satz "Man kann sich ein Prisma entstanden denken durch die Parallelverschiebung eines n-Ecks. " ist grammatikalisch nicht sinnvoll. (Erster Satz bei "Prisma durch Parallelverschiebung eines Vielecks"). Bitte korrigieren - vielen Dank :-)
Renate 2017-07-17 22:15:27
Hallo LisaSchwa, danke für deinen Kommentar!
Ich persönlich empfinde den Satz zwar schon als grammatikalisch korrekt, aber er ist wohl nicht optimal von der Verständlichkeit her.
Daher habe ich ihn jetzt durch eine andere Formulierung ersetzt und auch den Text zu dem Beispiel darunter überarbeitet.

Könntest du dir den Abschnitt vielleicht nun nochmals durchlesen und schreiben, ob es jetzt so alles in Ordnung ist?

Gruß
Renate
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Zu article Prisma: Artikel überarbeiten
SebSoGa 2016-07-21 14:39:27
Liebes Serlo-Team,
dieser Artikel sollte überarbeitet werden.
Die Einleitung könnte vielleicht etwas genauer formuliert werden. Mit dem Text unter "Achtung:" kann ich sehr wenig anfangen, ich denke es wird vielen Schülern ähnlich gehen.
Die Abschnitte "Volumen", "Mantenfläche" und "Oberflächeninhalt" sind alle sehr kurz (nur eine Formel, ohne Erklärung der verwendeten Buchstaben).

Hat da jemand gute Ideen wie man diesen Artikel verbessern kann?

Viele Grüße
Sebastian
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Zu article Prisma: Formel für Mantelfläche falsch
Renate 2016-07-21 17:18:53
Die in diesem Artikel angegebene Formel "n mal Seitenflächeninhalt" ist im Allgemeinen falsch; sie setzt nämlich voraus, dass die Seitenflächen alle gleich groß sind. Und das muss keineswegs so sein!
SebSoGa 2016-08-02 08:40:33
Danke für deinen Kommentar. Gefällt dir die aktuelle Version besser?
Renate 2016-08-05 22:23:21
Ja, danke!
Jetzt ist es wenigstens korrekt! :)

Gruß
Renate