Bei einer Drehung verschiebt man einen Punkt PP auf einer Kreislinie um einen beliebigen Drehwinkel α\alpha. Das heißt insbesondere: Bei der Drehung eines Punktes PP um den Punkt AA ändert sich der Abstand von PP zu AA nicht!

Abbildungsgleichung der Drehung um den Ursprung

Bei einer Drehung um den Ursprung (Drehzentrum) mit dem Winkel α\alpha wird der Punkt PP auf den Punkt PP' abgebildet.

Drehung
Koordinatenform:
x=xcosαysinαx'=x\cdot \cos{\alpha}-y\cdot \sin{\alpha}
y=xsinα+ycosαy'=x\cdot \sin{\alpha}+y\cdot \cos{\alpha}

Matrixform:
(xy)=(cosαsinαsinαcosα)(xy)\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\cos{\alpha}& -\sin{\alpha}\\\sin{\alpha} & \cos{\alpha}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}

Beispiel:

Drehe den Punkt P(23)P(2|3) um den Ursprung mit dem Drehwinkel α=30°\alpha=30°!
Drehung

Variante 1: Koordinatenform

x=xcosαysinα=2cos30°3sin30°=2312312x=332\begin{array}{lll}x'&= x\cdot \cos{\alpha}-y\cdot \sin{\alpha}\\&=2\cdot \cos{30°} -3\cdot \sin{30°}\\&= 2\cdot \sqrt{3}\cdot \frac 12 -3\cdot \frac 12\\x'&=\sqrt{3}-\frac32\end{array}

y=xsinα+ycosα=2sin30°+3cos30°=212+3312y=1+332\begin{array} {lll}y'&=x\cdot \sin{\alpha}+y\cdot \cos{\alpha}\\&=2\cdot \sin{30°}+3\cdot \cos{30°}\\&=2\cdot \frac 12+3\cdot \sqrt{3}\cdot \frac 12\\y'&=1+\frac{3 \sqrt{3}}{2}\end{array}
Der Bildpunkt PP' besitzt die Koordinaten P(3321+332)P'\left(\sqrt{3}-\frac32\vert 1+\frac{3 \sqrt{3}}{2}\right).

Variante 2: Matrixform


(xy)=(cosαsinαsinαcosα)(xy)=(cos30°sin30°sin30°cos30°)(23)=(32121232)(23)(xy)=(3321+332)\begin{array}{lll}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}\cos{\alpha}& -\sin{\alpha}\\\sin{\alpha} & \cos{\alpha}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}\cos{30°}& -\sin{30°}\\\sin{30°} & \cos{30°}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}\frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac12\\\frac12 & \frac{\sqrt{3}}{2}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}\\\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}\sqrt{3}-\frac32\\1+\frac{3\sqrt{3}}{2}\end{pmatrix}\end{array}

Der Bildpunkt PP' besitzt die Koordinaten P(3321+332)P'\left(\sqrt{3}-\frac32\vert 1+\frac{3 \sqrt{3}}{2}\right).
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