Aufgaben

Bestimme den Bildpunkt %%P'%% des Punktes %%P%% durch orthogonale Affinität.

%%P(0|1)%%, Affinitätsfaktor %%k=\frac{1}{2}%%

Alternative 1: Lösung mit Koordinatenform:

%%\begin{eqnarray} x'&=& x\\ y' &=& k\cdot y \end{eqnarray}%%

Setze den Affinitätsfaktor %%k%% in das Gleichungssystem ein.

%%\begin{eqnarray} x'&=& x\\ y' &=& \frac{1}{2}\cdot y \end{eqnarray}%%

Setze die Koordinaten des Punktes %%P(1|0)%% in das Gleichungssystem ein.

%%\begin{eqnarray} x'&=& 0\\ y' &=& \frac{1}{2}\cdot 1 \end{eqnarray}%%

Rechne die Koordinaten des Punktes %%P'(x'|y')%% aus.

%% \Rightarrow x'=0 \wedge y'=\frac{1}{2}%%

%% \Rightarrow P'(x'|y') = P'(0|\frac{1}{2}) %%

Alternative 2: Lösung mit Matrixform:

%% \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix} %% %%=%% %% \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & k \end{pmatrix} %% %%\cdot%% %% \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} %%

Setze den Affinitätsfaktor %%k%% in die Matrix ein.

%% \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix} %% %%=%% %% \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} %% %%\cdot%% %% \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} %%

Setze die Koordinaten des Punktes %%P(1|0)%% in den Vektor ein.

%% \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix} %% %%=%% %% \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} %% %%\cdot%% %% \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix} %%

%% \Rightarrow \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix} %% %%=%% %% \begin{pmatrix} 0\\ \frac{1}{2} \end{pmatrix} %% %% \Rightarrow P'(0|\frac{1}{2}) %%

%%P(\frac{3}{2}|4)%%, Affinitätsfaktor %%k = -2%%

Alternative 1: Lösung mit Koordinatenform

%% \begin{eqnarray} x'&=& x\\ y' &=& k\cdot y \end{eqnarray} %%

Setze den Affinitätsfaktor %%k%% in das Gleichungssystem ein.

%% \begin{eqnarray} x'&=& x\\ y' &=& -2\cdot y \end{eqnarray} %%

Setze die Koordinaten des Punktes %%P(\frac{3}{2}|4)%% in das Gleichungssystem ein.

%% \begin{eqnarray} x'&=& \frac{3}{2}\\ y' &=& -2\cdot 4 \end{eqnarray} %%

Rechne die Koordinaten des Punktes %%P'(x'|y')%% aus.

%% \Rightarrow x'=\frac{3}{2} \wedge y'=-8 %%

%% \Rightarrow P'(x'|y') = P'(\frac{3}{2}|-8) %%

Alternative 2: Lösung mit Matrixform

%% \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix} %% %% = %% %% \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} %%

Setze den Affinitätsfaktor %%k%% in die Matrix ein.

%% \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix} %% %% = %% %% \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} %%

Setze die Koordinaten des Punktes %%P'(\frac{3}{2}|4)%% in den Vektor ein.

%% \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix} %% %% = %% %% \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac{3}{2}\\ 4 \end{pmatrix} %%

%% \Rightarrow \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix} %% %%=%% %% \begin{pmatrix} \frac{3}{2}\\ -8 \end{pmatrix} %% %% \Rightarrow P'(\frac{3}{2}|-8) %%

%%P(3|-\frac{1}{3})%%, Affinitätsfaktor %%k=- \frac{2}{5}%%

Alternative 1: Lösung mit Kordinatenform

%% \begin{eqnarray} x' &=& x\\ y' &=& k\cdot y \end{eqnarray} %%

Setze den Affinitätsfaktor %%k%% in das Gleichungssystem ein.

%% \begin{eqnarray} x' &=& x\\ y' &=& -\frac{2}{5}\cdot y \end{eqnarray} %%

Setze die Koordinaten des Punktes %%P(3|-\frac{1}{3})%% in das Gleichungssystem ein.

%% \begin{eqnarray} x' &=& 3\\ y' &=& -\frac{2}{5}\cdot -\frac{1}{3} \end{eqnarray} %%

Rechne die Koordinaten des Punktes %%P'(x'|y')%% aus.

%% \Rightarrow x'=3 \wedge y'= \frac{2}{15} %%

%% \Rightarrow P'(x'|y') = P'(3|\frac{2}{15}) %%

Alternative 2: Lösung mit Matrixform

%% \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix} %% %%=%% %% \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} %%

Setze den Affinitätsfaktor %%k%% in die Matrix ein.

%% \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix} %% %%=%% %% \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -\frac{2}{5} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} %%

Setze die Koordinaten des Punkktes %%P(3|-\frac{1}{3})%% in den Vektor ein.

%% \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix} %% %%=%% %% \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -\frac{2}{5} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3\\ \frac{1}{3} \end{pmatrix} %%

%% \Rightarrow \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix} %% %%=%% %% \begin{pmatrix} 3\\ -\frac{2}{15} \end{pmatrix} %% %% \Rightarrow P'(3|\frac{2}{15}) %%

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