8Drehungen

Im Folgenden betrachten wir eine Drehung $D_\alpha$ der Ebene um den Winkel $\alpha$ (gegen den Uhrzeigersinn gemessen) mit dem Ursprung als Drehzentrum. Es handelt sich dabei also um eine Abbildung $D_\alpha:\R^2\to\R^2$, die jedem Vektor $v\in\R^2$ den um den Winkel $\alpha$ gedrehten Vektor $D_\alpha(v)\in\R^2$ zuordnet:

Wir wollen uns jetzt davon überzeugen, dass $D_\alpha$ eine lineare Abbildun ist. Dazu müssen wir zeigen:

1. $D_\alpha$ ist additiv: Für alle $v,w\in\R^2$ ist $D_\alpha(v+w)=D_\alpha(v)+D_\alpha(w)$.

2. $D_\alpha$ ist homogen: Für alle $v\in\R^2$ und $\lambda\in\R$ ist $D_\alpha(\lambda\cdot v)=\lambda\cdot D_\alpha(v)$.

Überprüfen wir zunächst die Additivität, also die Gleichung $D_\alpha(v+w)=D_\alpha(v)+D_\alpha(w)$. Addieren wir zwei Vektoren $v,w\in\R^2$ zuerst und drehen ihre Summe v+w anschließend um den Winkel $\alpha$, so soll derselbe Vektor herauskommen, wie wenn wir erst die Vektoren um den Winkel $\alpha$ drehen und im Anschluss die gedrehten Vektoren $D_\alpha(v)$ und $D_\alpha(w)$ addieren. Dies machen wir uns an folgenden beiden Videos klar:

Kommen wir nun zur Homogenität: $D_\alpha(\lambda\cdot v)=\lambda\cdot D_\alpha(v)$. Strecken wir zunächst einen Vektor $v\in\R^2$ um einen Faktor $\lambda\in\R$ und drehen das Resultat $\lambda\cdot v$ danach um den Winkel $\alpha$, so soll derselbe Vektor herauskommen, wie wenn wir als Erstes die Drehung um den Winkel $\alpha$ durchführen und daraufhin das Ergebnis $D_\alpha(v)$ um den Faktor $\lambda$ skalieren. Auch dies wird durch zwei Videos ersichtlich:

Somit handelt es sich bei Drehungen im $\R^2$ um lineare Abbildungen.