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Drehungen

Im Folgenden betrachten wir eine Drehung Dα\sf D_\alpha der Ebene um den Winkel α\sf \alpha (gegen den Uhrzeigersinn gemessen) mit dem Ursprung als Drehzentrum. Es handelt sich dabei also um eine Abbildung Dα:R2R2\sf D_\alpha:\R^2\to\R^2, die jedem Vektor vR2\sf v\in\R^2 den um den Winkel α\sf \alpha gedrehten Vektor Dα(v)R2\sf D_\alpha(v)\in\R^2 zuordnet:

Wir wollen uns jetzt davon überzeugen, dass Dα\sf D_\alpha eine lineare Abbildun ist. Dazu müssen wir zeigen:

  1. Dα\sf D_\alpha ist additiv: Für alle v,wR2\sf v,w\in\R^2 ist Dα(v+w)=Dα(v)+Dα(w)\sf D_\alpha(v+w)=D_\alpha(v)+D_\alpha(w).

  2. Dα\sf D_\alpha ist homogen: Für alle vR2\sf v\in\R^2 und λR\sf \lambda\in\R ist Dα(λv)=λDα(v)\sf D_\alpha(\lambda\cdot v)=\lambda\cdot D_\alpha(v).

Überprüfen wir zunächst die Additivität, also die Gleichung Dα(v+w)=Dα(v)+Dα(w)\sf D_\alpha(v+w)=D_\alpha(v)+D_\alpha(w). Addieren wir zwei Vektoren v,wR2\sf v,w\in\R^2 zuerst und drehen ihre Summe v+w anschließend um den Winkel α\sf \alpha, so soll derselbe Vektor herauskommen, wie wenn wir erst die Vektoren um den Winkel α\sf \alpha drehen und im Anschluss die gedrehten Vektoren Dα(v)\sf D_\alpha(v) und Dα(w)\sf D_\alpha(w) addieren. Dies machen wir uns an folgenden beiden Videos klar:

Kommen wir nun zur Homogenität: Dα(λv)=λDα(v)\sf D_\alpha(\lambda\cdot v)=\lambda\cdot D_\alpha(v). Strecken wir zunächst einen Vektor vR2\sf v\in\R^2 um einen Faktor λR\sf \lambda\in\R und drehen das Resultat λv\sf \lambda\cdot v danach um den Winkel α\sf \alpha, so soll derselbe Vektor herauskommen, wie wenn wir als Erstes die Drehung um den Winkel α\sf \alpha durchführen und daraufhin das Ergebnis Dα(v)\sf D_\alpha(v) um den Faktor λ\sf \lambda skalieren. Auch dies wird durch zwei Videos ersichtlich:

Somit handelt es sich bei Drehungen im R2\sf \R^2 um lineare Abbildungen.


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