Zusammenhang mit linearen Funktionen und affinen Abbildungen

Lineare Funktionen wurden in der Schule als Funktionen der Form f(x)=mx+tf(x)= mx + t mit m,tRm,t \in \R eingeführt. Es handelt sich dabei nicht um lineare Abbildungen. Sie sind es nur für t=0 t = 0. So ist zum Beispiel für m=1m = 1 und t=2t = 2:
f(x+y)=x+y+2x+y+2+2=f(x)+f(y)f(x+y)= x + y + 2 \neq x + y + 2 + 2 = f(x) + f(y)
Dass die in der Schule geläufigen linearen Funktionen dennoch etwas mit den linearen Abbildungen zu tun haben, wird einem klar, wenn man die linearen Abbildungen von f:RRf: \R \to \R betrachtet. Diese sind Abbildungen der Form f(x)=mxf(x)= mx mit mRm \in \R. Die Funktionen der Form f(x)=mx+tf(x)= m x + t aus der Schule sind sogenannte affin-lineare Abbildungen: Sie sind die Summe einer linearen Abbildung und eines konstanten Terms tt

Affine Abbildung bilden Geraden auf Geraden ab und erhalten dabei Parallelität und Teilverhältnisse von Strecken.

Wir können jede affine Abbildunge xA(x)x \mapsto A(x) immer in eine lineare Abbildung xL(x)x \mapsto L(x) und eine Translation xx+tx \mapsto x + t zerlegen. Es gilt also A(x)=L(x)+tA(x) = L(x) + t. Weil die Translationen xx+t x \mapsto x + t einfach zu beschreiben sind, ist der lineare Teil meistens interessanter. In der Theorie schauen wir uns deswegen nur den linearen Teil an, um nicht das x+tx + t mitzuschleppen.
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