Beispiel

Wir können auf eine Linearkombination wie 3u+5w2z3\cdot u + 5\cdot w -2 \cdot z für Vektoren u, wu,\ w und zz aus VV die beiden obigen Formeln schrittweise anwenden. So können wir diese Linearkombination aus der Funktion schrittweise „herausziehen“:
f(3u+5w2z)f(3\cdot u + 5\cdot w -2 \cdot z)==
Additivität von ff
==f(3u)+f(5w2z)f(3\cdot u) + f(5\cdot w -2 \cdot z)
Additivität von ff
==f(3u)+f(5w)+f(2z)f(3\cdot u) + f(5\cdot w) + f(-2 \cdot z)
Homogenität von ff
==3f(u)+5f(w)2f(z)3\cdot f(u) + 5\cdot f(w) -2 \cdot f(z)
Die Linearkombination 3u+5w2z3\cdot u + 5\cdot w -2 \cdot z wird durch ff auf 3f(u)+5f(w)2f(z)3\cdot f(u)+5\cdot f(w)-2\cdot f(z) abgebildet und bleibt damit in ihrer Struktur erhalten. Ähnlich verhält es sich bei anderen Linearkombinationen. Denn durch die Eigenschaft f(v1+v2)=f(v1)+f(v2)f(v_1 + v_2) = f(v_1) + f(v_2) sind Summen und durch die Eigenschaft f(λv)=λf(v)f(\lambda \cdot v) = \lambda \cdot f(v) sind skalare Multiplikationen herausziehbar.
Wir erhalten damit folgende alternative Charakterisierung der linearen Abbildung:

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