Einführung

Neben der definierenden Eigenschaft, dass lineare Abbildungen sich gut mit der zugrundeliegenden Vektorraumstruktur vertragen, können lineare Abbildungen auch über folgende Eigenschaft charakterisiert werden:
Lineare Abbildungen sind genau die Abbildungen, die Linearkombinationen auf Linearkombinationen abbilden.
Dies ist eine wichtige Eigenschaft, weil über Linearkombinationen wichtige Struktureigenschaften von Vektoren wie die lineare Unabhängigkeit oder das Erzeugendensystemen definiert werden. Auch die Definition der Basis gründet sich auf den Begriff der Linearkombination. Den Zusammenhang zu den Linearkombinationen erkennt man, wenn man sich die beiden charakteristischen Gleichungen linearer Abbildungen anschaut:
f(v1+v2)=f(v1)+f(v2)f(λv)=λf(v)\displaystyle \begin{array}{rl}f(v_1 + v_2) &= f(v_1) + f(v_2) \\[0.5em] f(\lambda \cdot v) &= \lambda \cdot f(v) \end{array}
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