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8. Abbildungen

Eine Abbildung oder Funktion f:ABf:A \to B ist eine Relation, bei der es für jedes aAa\in A genau ein bBb\in B gibt, das mit aa in Relation steht. Wir schreiben dann aba\mapsto b oder b=f(a)b = f(a).

Beispiel

Du kannst z.B. aus der Tier-Relation aus Kapitel 6 durch Entfernen von Paaren (bzw. Pfeilen) eine Abbildung machen:

Abbildung

Diese Tabelle ist die Wertetabelle der Abbildung.

Definitionsbereich und Wertevorrat

Für eine Funktion f:ABf:A\to B heißt AA der Definitionsbereich und BB der Wertevorrat von ff. Beide gehören zur Funktion!

Daher sind f(x)=xf(x) = x mit A=[0,1],B=RA = \lbrack 0{,}1\rbrack, B = \mathbb{R} und f(x)=xf(x) = x mit A=B=[0,1]A = B = \lbrack 0{,}1\rbrack zwei verschiedene Abbildungen!

Bildmenge und Urbildmenge

Der Wertevorrat muss nicht ausgeschöpft werden. Die Menge der Elemente des Wertevorrats BB, die tatsächlich als Bildelemente auftreten, heißt die Bildmenge (auch: das Bild) von AA (unter ff):

f(A)={f(x)  xA}f(A) = \{f(x) ~|~ x\in A\}

Zu einem bBb\in B ist

f1(b)={aA  f(a)=b}f^{-1}(b) = \{a\in A ~|~ f(a) = b\}

die Urbildmenge (auch: das Urbild) von bb. Vorsicht: bb ist ein einzelnes Element, aber f1(b)Af^{-1}(b)\subseteq A ist eine Menge mit eventuell mehreren oder keinen Elementen.

Injektivität, Surjektivität und Bijektivität

Es folgen drei Begriffe, die zum Glück nicht so kompliziert sind, wie sie klingen.

Eine Abbildung f:ABf:A\to B heißt

  • injektiv, wenn gilt:

d.h. jedes bb aus dem Wertevorrat hat höchstens ein Urbild.

  • surjektiv, wenn gilt:

d.h. jedes bb aus dem Wertevorrat hat mindestens ein Urbild.

  • bijektiv, wenn gilt:

d.h. jedes bb aus dem Wertevorrat hat genau ein Urbild.

Bijektiv bedeutet also injektiv und surjektiv. Bei einer bijektiven Abbildung ff ist die Umkehrung f1f^{-1} ebenfalls eine Abbildung.

Der deutsche Begriff für injektiv lautet eineindeutig - die Abbildung ff ist eindeutig, und die Umkehrung f1f^{-1} ist auch eindeutig. Der deutsche Begriff für surjektiv lautet auf - die Elemente des Definitionsbereichs AA werden auf den Wertevorrat BB abgebildet und nicht nur in den Wertevorrat. Und der deutsche Begriff für bijektiv lautet umkehrbar eindeutig.

Beispiele

  • Die Funktion f:RR, f(x)=x2f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R},\ f(x) = x^2 ist nicht injektiv. Denn beispielsweise werden sowohl 22 als auch 2-2 werden auf 44 abgebildet. Die 44 hat also die Urbildmenge {2,2}\{-2, 2\}.

  • Die Funktion ist auch nicht surjektiv, denn die negativen Zahlen treten nicht als Bildelemente auf.

  • Wenn du den Definitionsbereich und den Wertevorrat auf die positiven reellen Zahlen R+\R^+ einschränkst, erhältst du eine injektive und surjektive, also bijektive Abbildung f:R+R+f : \R^+ \rightarrow \R^+.

Abzählbarkeit

Eine Menge MM ist abzählbar genau dann, wenn es eine bijektive Abbildung zwischen MM und N\mathbb{N} gibt. Dadurch ergibt sich quasi ein Nummerierung der Elemente von MM.

Beispiel

Die Menge der ganzen Zahlen Z\Z ist abzählbar. Eine bijektive Abbildung f:ZNf:\Z \rightarrow \N ist gegeben durch

Die Zahlen 0,1,2,...0, 1, 2,... werden also auf die geraden Zahlen 0,2,4,...0{,}2,4,... abgebildet, die negativen Zahlen 1,2,3,...-1, -2, -3, ... werden auf die ungeraden Zahlen 1,3,5,...1, 3, 5, ... abgebildet.

Die Menge Q\mathbb{Q} der rationalen Zahlen ist abzählbar. Die Menge der reellen Zahlen R\mathbb{R} ist dagegen nicht abzählbar. Du beweist diese beiden Tatsachen mit dem ersten bzw. mit dem zweiten cantorschen Diagonalverfahren.


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