Nachfolgend soll das Summenzeichen erläutert werden, eine oft in Formeln genutzte praktische Abkürzungsweise.

Idee des Summenzeichens

Es gibt Mengen von Zahlen, welche einer bestimmten Gesetzmäßigkeit gehorchen. Man sagt dann auch, es gibt ein Bildungsgesetz, welches erklärt, wie man die einzelnen Zahlen erhält. Beispiele für Bildungsgesetze sind die folgenden:

Möchte man nun eine Menge von Zahlen, welche nach einem Bildungsgesetz gebildet wurden, addieren, so ist das Summenzeichen hierbei eine praktische Abkürzung.

Will man zum Beispiel alle Quadratzahlen der Zahlen von 1 bis 100 addieren, so schreibt man normal:

$$1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + 99^2 + 100^2$$

Da es sich bei dieser Schreibweise aber um einen sehr langen Summenterm handelt, hat sich eine Abkürzung mittels des Summenzeichens durchgesetzt. Diese verwendet den großen griechischen Buchstaben %%\Sigma%% (Sigma) als Symbol.

In der Schreibweise mit dem %%\Sigma%% sieht das obige Beispiel so aus:

$$\sum_{i = 1}^{100}i^2$$

Man erhält aus dieser Schreibweise die lange Kette von Additionen so:

  • Beginne unter dem %%\Sigma%% mit dem Wert %%i=1%% und setze diesen in den Term rechts ein.
  • Erhöhe den Wert von %%i%% unter dem %%\Sigma%% um eins (nun ist also %%i = 2%%).
  • Schreibe ein + und wiederhole nun die ersten drei Schritte bis %%i%% gleich dem Wert über dem %%\Sigma%% ist (also %%i=100%%).
  • Setze ein letztes Mal %%i%% (also 100) in den Term rechts ein.

So erhält man:

$$\sum_{i = 1}^{100}i^2 = 1^2 + \sum_{i = 2}^{100}i^2 = 1^2 + 2^2 + \sum_{i = 3}^{100}i^2 = \cdots = 1^2 + 2^2 + \cdots + 99^2 + \sum_{i = 100}^{100}i^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + 99^2 + 100^2$$

In allgemeiner Form sieht das Summenzeichen %%\Sigma%% so aus:

$$\sum_{i = m}^{n}a_{i}$$

Dabei sind die einzelnen Bezeichner:

  • %%m%% ist der Startwert, also der kleinste Wert, welcher für %%i%% eingesetzt werden soll.
  • %%n%% ist die obere Grenze, also der größte Wert, welcher für %%i%% eingesetzt werden soll.
  • %%i%% ist der Laufindex, da für %%i%% alle natürlichen Zahlen zwischen %%m%% und %%n%% eingesetzt werden (%%i%% durchläuft also die natürlichen Zahlen von %%n%% bis %%m%%).
  • %%a_i%% ist der Term bezüglich des Laufindexes, womit die Zahlen, welche man addieren will, erzeugt werden, also das Bildungsgesetz.

Beispiel

Immer wieder wird eine Geschichte über das mathematische Wunderkind Carl Friedrich Gauß erzählt (siehe Wikipedia-Artikel über Gauß). Angeblich hat sich Folgendes zugetragen:

Der Grundschullehrer von Gauß’ Klasse wollte die Schüler eines Tages beschäftigt wissen. Deshalb gab er ihnen eine Aufgabe, von der er glaubte, ihre Lösung wäre mühevoll und würde viel Zeit in Anspruch nehmen. Er forderte sie auf, die Summe der ganzen Zahlen von 1 bis 100 zu bestimmen.

Aber schon nach kurzer Zeit meldete sich Gauß mit dem richtigen Ergebnis! Der Lehrer war baff!

Gauß hatte sich sinngemäß Folgendes überlegt: Gesucht ist die Summe %%s%% der ganzen Zahlen von 1 bis 100.

Also gilt $$s = 1 + 2 + 3 + \cdots + 98 + 99 + 100\, .$$

Die Reihenfolge der Summanden spielt wie immer keine Rolle. Man kann sie daher umkehren. Also kann man auch schreiben
$$s = 100 + 99 + 98 + \cdots + 3 + 2 + 1\, .$$

Addiert man diese beiden Gleichungen und rechnet auf der rechten Seite die jeweils direkt übereinanderstehenden Zahlen zusammen, so erhält man $$2s = \underbrace{101 + 101 + 101 + \dots + 101 + 101 + 101}_{100\text{-mal}}\, .$$

Also ist $$\begin{array}{lcl} s & = & \frac{1}{2} \cdot 101 \cdot 100 \\ & = & 50 \cdot 101 \\ & = & 5050 \\ \end{array}$$

Wie würde man dies unter Verwendung des Summenzeichens ausdrücken?

$$\begin{array}{lcl} 2s & = & \sum_{i = 1}^{100} i + \sum_{i = 1}^{100} (101 - i) \\ & = & \sum_{i = 1}^{100} (i + 101 - i) \\ & = & \sum_{i = 1}^{100} 101 \\ & = & 100 \cdot 101 \\ \end{array}$$

Dabei sollte man beachten, dass diese Summation nur deshalb so möglich ist, weil der Index in beiden Fällen beim gleichen Wert startet und endet.

Außerdem kann man an diesem Beispiel sehen, mit welcher Technik man den Index abwärts laufen lassen kann: man subtrahiert vom Maximalwert (hier beginnend mit %%1%%, deshalb muss von %%101%% abgezogen werden).

Mehrfachverwendung

Manchmal benötigt man zwei oder mehr Indizes.

Zum Beispiel kann man die ersten 100 Zahlen auch wie folgt aufsummieren: $$s = \sum_{j = 0}^{9} \sum_{i = 1}^{10} (10 j + i)$$

Das Beispiel mag etwas künstlich erscheinen, aber es demonstriert die gestufte Anwendung.

Grammatikalische Anmerkung – Plural von Index

Für das Wort Index gibt es zwei Arten der Plural- und damit auch der Genitivbildung.

Wird das Wort – wie hier – verwendet zur Unterscheidung mathematischer Terme, lautet der Plural Indizes und der Genitiv Index.

Bei manch anderen Verwendungen (zum Beispiel bei gebannten Büchern – auf dem Index – oder in der Informatik – der Index einer Datenbank) lautet der Plural die Indexe, der Genitiv des Indexes.

Bei den zugehörigen Tätigkeitswörtern ist es ähnlich: Man indexiert eine Datenbank, aber man indiziert eine Zeitreihe.

Mehr zu diesem Thema findet man an dieser Stelle im Duden.

Kommentieren Kommentare

Zu article Summenzeichen:
Julian 2017-01-04 13:09:17+0100
Hey, ich bin ganz neu hier und wollte Fragen, ob ich diesen Artikel überarbeiten dürfte, bzw. etwas Verändern, da in meinen Augen das Ganze hier an manchen Stellen nicht so intuitiv in meinen Augen ist und auch Aufgaben und Beispiele fehlen.
Nish 2017-01-04 14:06:50+0100
Hi Julian,

natürlich darfst du das! Wie bei der Wikipedia darf jeder mitmachen und durch unsere Qualitätskontrolle (jede neue Bearbeitung wird erstmal von einem unserer erfahrenen Communitymitglieder überprüft und geht dann erst online. Außerdem haben wir die Möglichkeit die alte Version wiederherzustellen) kann nichts kaputt gehen. Also, keine Zurückhaltung!

Falls du Hilfe brauchst , kannst du jederzeit einfach auf diese Diskussion antworten oder auch auf meinem Profil (https://de.serlo.org/user/profile/27693) schreiben. Auf folgender Seite findest du alle nötigen Anleitungen:
https://de.serlo.org/hilfe-startseite

V.a. folgende Anleitung (https://de.serlo.org/community-funktionen) hilft dir am Anfang weiter.

LG,
Nish
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