Der Median oder Zentralwert ist ein Mittelwert der Statistik. Er ist damit eine Alternative zum arithmetischen Mittel.

Definition

Der Median teilt eine Liste von Zahlen in zwei Hälften. Ein Wert mm ist genau dann Median, wenn mindestens die Hälfte der Zahlen einen Wert m  \geq m\; und die andere Hälfte einen Wert m\leq m hat.
Anschaulich wird der Median dadurch bestimmt, dass man die gegebenen Werte nach der Größe sortiert und immer die äußeren Werte wegstreicht.
Beispiel:
Finde Median der Zahlen   30,    7,    5,    24,    14,    18,    4,    500,  27,  1,  19  \;30,\;\;7,\;\;5,\;\;24,\;\;14,\;\;18,\;\;4,\;\;500,\;27,\;1,\;19\;
Zunächst ordnen wir Zahlen nach der Größe:
  1,    4,    5,    7,    14,    18,    19,    24,  27,  30,  500  \displaystyle \;1,\;\;4,\;\;5,\;\;7,\;\;14,\;\;18,\;\;19,\;\;24,\;27,\;30,\;500\;
Nun streichen wir jedes Mal die äußeren zwei Werte weg:$$\begin{align}\;1,\;\;4,\;\;5,\;\;7,\;\;14,\;\;18,\;\;19,\;\;24,\;\;27,\;\;30,\;\;500\;\\\phantom{\;\;1,\;}\;4,\;\;5,\;\;7,\;\;14,\;\;18,\;\;19,\;\;24,\;\;27,\;\;30\phantom{,\;\;500\;}\\\phantom{\;1,\;\;4,\;\;}5,\;\;7,\;\;14,\;\;18,\;\;19,\;\;24,\;\;27\phantom{,\;\;30,\;\;500\;}\\\phantom{\;1,\;\;4,\;\;5,\;\;}7,\;\;14,\;\;18,\;\;19,\;\;24\phantom{,\;\;27,\;\;30,\;\;500\;}\\\phantom{\;1,\;\;4,\;\;5,\;\;7,\;\;}14,\;\;18,\;\;19\phantom{,\;\;24,\;\;27,\;\;30,\;\;500\;}\\\phantom{\;1,\;\;4,\;\;5,\;\;7,\;\;14,\;\;}18\phantom{,\;\;19,\;\;24,\;\;27,\;\;30,\;\;500\;}\end{align}$$
Also ist 18 der Median der Zahlen   1,    4,    5,    7,    14,    18,    19,    24,  27,  30,  500  \;1,\;\;4,\;\;5,\;\;7,\;\;14,\;\;18,\;\;19,\;\;24,\;27,\;30,\;500\; .

Berechnung   

Wenn man also eine ungerade Anzahl an Zahlen oder Werten hat, so kann man genauso wie in Beispiel 1 vorgehen. Du musst einfach immer den größten und den kleinsten Wert streichen.  Der Median ist dann eindeutig.
              
Bei einer geraden Anzahl an Zahlen oder Werten bleiben nach dem Durchstreichen der äußeren Zahlen zwei Zahlen  m1  und  m2{\mathrm m}_1\;\mathrm{und}\;{\mathrm m}_2 in der Mitte übrig.
Dann kann man den Median als arithmetisches Mittel der beiden berechnen:
 m  =  m1+m22\,\ \mathrm m\;=\;\frac{{\mathrm m}_1+{\mathrm m}_2}2 .
Wenn man jedoch möchte, dass der Median in der Liste vorkommt, verzichtet man auf die Berechnung und nennt m_1 den Untermedian und m_2 den Obermedian.
Übungsaufgaben:

Vergleich mit arithmetischen Mittel

Im Vergleich zum arthmetischen Mittel ist der Median weniger anfällig für Ausreißer (Werte, die entweder extrem groß oder extrem klein im Vergleich zu den restlichen sind). Sehr große und sehr kleine Werte haben also keine Auswirkungen auf den Median.
Zum Beispiel ist der Median von 1, 2, 3 gleich zwei und damit identisch zum arithmetischen Mittel. Wird nun einer der Randwerte noch kleiner bzw. größer, ändert sich der Median nicht. Das arithmetische Mittel kann sich aber stark ändern. Wird zum Beispiel die 3 durch eine 9 ersetzt ist das arithmetische Mittel 4 statt 2.

Anwendung

Wegen der oben beschriebenen Stabilität wird der Median benutzt, wenn Abweichungen erwartet werden. Bei der Auswertung von Experimenten kommen diese durch Messfehler zum Beispiel oft vor. Wenn die Messwerte hingegen nahe beieinander liegen, wird das arithmetische Mittel bevorzugt.

Median von Verteilungen

Weiterführend kann man den Median auch für Zufallsvariablen XX und deren Verteilungsfunktion FXF_X definieren. In diesem Fall sind Mediane alle Elemente der Menge
{mR    P(Xm)12und  P(Xm)12}\{m \in \mathbb{R}\; |\; P(X\le m)\ge\frac12 \text{und}\; P(X\ge m)\ge\frac12 \}
Alternativ kann man den Median über die inverse Veteilungsfunktion definieren. In diesem Fall ist m=F1(12)m=F^{-1}(\frac12)
Kommentieren Kommentare

Zu article Median:
wolfgang 2020-06-12 12:58:16+0200
Hey Marc,
ich kann mir vorstellen, dass ein Beispiel noch helfen würde, wie das ausschaut, wenn der Median nicht in der Liste vorkommt. Auch kann ich mir gut vorstellen, dass es für Lernende super hilfreich wäre an einem Beispiel zu sehen, was der Unter- und Obermedian ist.

Liebe Grüße
Wolfgang
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Zu article Median:
anton25 2020-03-31 08:58:36+0200
Ich finde die Definition unpräzise. Z.B. lässt die Definition zu, dass bei der Liste (1,2,3,4) sowohl 2, wie auch 3 ein Median ist. Eigentlich ist dann jedes Element des Intervalls [2,3] ein Median. Den Begriff ,,Hälfte" finde ich zudem nicht einleuchtend. Was ist die Hälfte einer Liste mit einer ungeraden Anzahl an Elementen? Weiter finde ich, dass der Artikel besser an die Zielgruppe angepasst werden sollte. Farbige Veranschaulichungen können für die Unterstufenschüler*innen hilfreich sein.
Digamma 2020-03-31 16:10:12+0200
DenD ersten Satz sollte man vielleicht nicht in die Definition schreiben, sondern darüber. Er gibt nur eine Vorstellung von der Sache, ist aber nicht präzise. Dass nach der Definition auch 2 und 3 Mediane der Liste (1,2,3,4) sind, stimmt aber nicht. Es sind 3 Elemente größer gleich 2, aber nur zwei Elemente kleiner gleich 2. Also ist 2 nach der Definition kein Median.
anton25 2020-04-01 08:12:56+0200
Danke für die schnelle Antwort. Ich kann den Ausführungen aber nicht ganz folgen. Die Definition lässt ja offen, was Hälften genau sind und ob der Median ein Teil einer ,,Hälfte'' sein kann.

Aus der Aussage ,, Es sind 3 Elemente größer gleich 2, aber nur zwei Elemente kleiner gleich 2.'' zu folgern, dass 2 kein Median ist, ist im Bezug auf die ,,Genau dann, wenn''-Formulierung falsch. Es gibt in meinem Beispiel mindestens 2 Zahlen die größer oder gleich 2 sind. Und es gibt zwei Zahlen, die ungleich dieser zwei Zahlen sind und kleiner oder gleich 2 sind. Mindestens die Häfte der Zahlen hat einen Wert größer oder gleich 2 und die andere Häfte einen Wert kleiner oder gleich 2. Nach Definition ist 2 also ein Median.
wolfgang 2020-04-01 15:58:10+0200
Hallo anton25,
ich finde den Artikel auch nicht optimal sturkturiert. Zuerst kommt eine etwas sperrige Definition, dann ein Beispiel und dann wird nochmal allgemein das Vorgehen bei einer ungeraden und geraden Anzahl von Elementen erklärt. Auch der Vorschlag der farbigen Unterstützung finde ich sehr schön. Du hast hier glaube ich eine sehr gute Vorstellung wie der Artikel aussehen könnte. Hättest du Lust den Artikel selbst zu verbessern?

Liebe Grüße
Wolfgang
Digamma 2020-04-01 17:07:30+0200
@anton25,
stimmt, du hast recht.
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Zu article Median:
charly1meier 2017-01-23 18:21:43+0100
Das Beispiel ist verwirrend aufgeschrieben (Zeilenumbruch) und im dritten Schritt fehlt die 27, wird plötzlich eine gerade Anzahl...
Renate 2017-01-24 09:02:24+0100
Hallo charly1meier, danke für deinen Hinweis - ich habe die Darstellung jetzt geändert und die 27 in der dritten Zeile wieder erscheinen lassen,
ist es so in Ordnung?
Gruß
Renate
Nish 2017-01-24 09:28:11+0100
@Renate: Du hast eine Zeile vergessen bzw. einmal jeweils 2 Zahlen gestrichen. Wäre glaube ich gut, wenn du das Ändern könntest.
LG,
Nish
Renate 2017-01-24 22:57:24+0100
Habe ich jetzt geändert.
Die Zeile hat übrigens schon vorher gefehlt, und dass wir es nicht gemerkt haben, zeigt nur, wie recht charly1meier damit hatte, dass das Beispiel "verwirrend aufgeschrieben" war. ;)
Nish 2017-01-25 08:15:32+0100
@Renate: Danke! Ja, es war sehr unstrukturiert.
@charly1meier: Von mir auch vielen Dank für deinen Hinweis/ dein Feedback! Das hilft uns, uns weiter zu verbessern. Wir würden uns über weiteres Feedback natürlich freuen.
LG,
Nish
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Zu article Median: Überarbeitung
Nish 2014-09-08 09:05:01+0200
Aufbau war schon gut. Formulieren den Artikel um.