Der Median oder Zentralwert ist ein Mittelwert der Statistik. Er ist damit eine Alternative zum arithmetischen Mittel.

Definition

Der Median teilt eine Liste von Zahlen in zwei Hälften.
Ein Wert %%m%% ist genau dann Median, wenn mindestens die Hälfte der Zahlen einen Wert %%\geq m\;%% und die andere Hälfte einen Wert %%\leq m%% hat.

Anschaulich wird der Median dadurch bestimmt, dass man die gegebenen Werte nach der Größe sortiert und immer die äußeren Werte wegstreicht.

Beispiel:

Finde Median der Zahlen %%\;30,\;\;7,\;\;5,\;\;24,\;\;14,\;\;18,\;\;4,\;\;500,\;27,\;1,\;19\;%%

Zunächst ordnen wir Zahlen nach der Größe: $$\;1,\;\;4,\;\;5,\;\;7,\;\;14,\;\;18,\;\;19,\;\;24,\;27,\;30,\;500\;$$

Nun streichen wir jedes Mal die äußeren zwei Werte weg: $$ \begin{align} \;1,\;\;4,\;\;5,\;\;7,\;\;14,\;\;18,\;\;19,\;\;24,\;\;27,\;\;30,\;\;500\;\\ \phantom{\;\;1,\;}\;4,\;\;5,\;\;7,\;\;14,\;\;18,\;\;19,\;\;24,\;\;27,\;\;30\phantom{,\;\;500\;}\\ \phantom{\;1,\;\;4,\;\;}5,\;\;7,\;\;14,\;\;18,\;\;19,\;\;24,\;\;27\phantom{,\;\;30,\;\;500\;}\\ \phantom{\;1,\;\;4,\;\;5,\;\;}7,\;\;14,\;\;18,\;\;19,\;\;24\phantom{,\;\;27,\;\;30,\;\;500\;}\\ \phantom{\;1,\;\;4,\;\;5,\;\;7,\;\;}14,\;\;18,\;\;19\phantom{,\;\;24,\;\;27,\;\;30,\;\;500\;}\\ \phantom{\;1,\;\;4,\;\;5,\;\;7,\;\;14,\;\;}18\phantom{,\;\;19,\;\;24,\;\;27,\;\;30,\;\;500\;} \end{align} $$

Also ist 18 der Median der Zahlen %%\;1,\;\;4,\;\;5,\;\;7,\;\;14,\;\;18,\;\;19,\;\;24,\;27,\;30,\;500\;%% .

Berechnung   

Wenn man also eine ungerade Anzahl an Zahlen oder Werten hat, so kann man genauso wie in Beispiel 1 vorgehen. Du musst einfach immer den größten und den kleinsten Wert streichen.  Der Median ist dann eindeutig.

              

Bei einer geraden Anzahl an Zahlen oder Werten bleiben nach dem Durchstreichen der äußeren Zahlen zwei Zahlen  %%{\mathrm m}_1\;\mathrm{und}\;{\mathrm m}_2%% in der Mitte übrig.

Dann ist der Median der Mittelwert der beiden: %%\,\ \mathrm m\;=\;\frac{{\mathrm m}_1+{\mathrm m}_2}2%% .

                                  

Übungsaufgaben:

Vergleich mit arithmetischen Mittel

Im Vergleich zum arthmetischen Mittel ist der Median weniger anfällig für Ausreißer (Werte, die entweder extrem groß oder extrem klein im Vergleich zu den restlichen sind). Sehr große und sehr kleine Werte haben also keine Auswirkungen auf den Median.

Zum Beispiel ist der Median von 1, 2, 3 gleich zwei und damit identisch zum arithmetischen Mittel. Wird nun einer der Randwerte noch kleiner bzw. größer, ändert sich der Median nicht. Das arithmetische Mittel kann sich aber stark ändern.
Wird zum Beispiel die 3 durch eine 9 ersetzt ist das arithmetische Mittel 4 statt 2.

Anwendung

Wegen der oben beschriebenen Stabilität wird der Median benutzt, wenn Abweichungen erwartet werden. Bei der Auswertung von Experimenten kommen diese durch Messfehler zum Beispiel oft vor.
Wenn die Messwerte hingegen nahe beieinander liegen, wird das arithmetische Mittel bevorzugt.

Median von Verteilungen

Weiterführend kann man den Median auch für Zufallsvariablen %%X%% und deren Verteilungsfunktion %%F_X%% definieren.
In diesem Fall sind Mediane alle Elemente der Menge

%%\{m \in \mathbb{R}\; |\; P(X\le m)\ge\frac12 \text{und}\; P(X\ge m)\ge\frac12 \}%%

Alternativ kann man den Median über die inverse Veteilungsfunktion definieren. In diesem Fall ist %%m=F^{-1}(\frac12)%%

Kommentieren Kommentare

Zu article Median:
charly1meier 2017-01-23 18:21:43
Das Beispiel ist verwirrend aufgeschrieben (Zeilenumbruch) und im dritten Schritt fehlt die 27, wird plötzlich eine gerade Anzahl...
Renate 2017-01-24 09:02:24
Hallo charly1meier, danke für deinen Hinweis - ich habe die Darstellung jetzt geändert und die 27 in der dritten Zeile wieder erscheinen lassen,
ist es so in Ordnung?
Gruß
Renate
Nish 2017-01-24 09:28:11
@Renate: Du hast eine Zeile vergessen bzw. einmal jeweils 2 Zahlen gestrichen. Wäre glaube ich gut, wenn du das Ändern könntest.
LG,
Nish
Renate 2017-01-24 22:57:24
Habe ich jetzt geändert.
Die Zeile hat übrigens schon vorher gefehlt, und dass wir es nicht gemerkt haben, zeigt nur, wie recht charly1meier damit hatte, dass das Beispiel "verwirrend aufgeschrieben" war. ;)
Nish 2017-01-25 08:15:32
@Renate: Danke! Ja, es war sehr unstrukturiert.
@charly1meier: Von mir auch vielen Dank für deinen Hinweis/ dein Feedback! Das hilft uns, uns weiter zu verbessern. Wir würden uns über weiteres Feedback natürlich freuen.
LG,
Nish
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