In einer Urne befinden sich entweder 4 blaue und 6 rote Kugeln oder 6 blaue und 4 rote. Dies soll durch Ziehen von 5 Kugeln ohne Zurücklegen herausgefunden werden.
  1. Welches Entscheidungsverfahren ist das vernünftigste?
  2. Wie hoch ist die Fehlerwahrscheinlichkeit in diesem Fall?
Für diese Aufgabe benötigst du folgendes Grundwissen: Ziehen ohne Zurücklegen und Hypothesentest

Die beiden Möglichkeiten sind entweder 4 blaue und 6 rote oder 6 blaue und 4 rote Kugeln.

Formuliere eine logischen Entscheidungsregel


Die einzig sinnvolle Entscheidungsregel, um beide Fehler gleichzeitig klein zu halten, ist folgende:
Die Farbe, die beim Ziehen am häufigsten auftritt, wird als die Farbe angenommen, die insgesamt öfter vorhanden ist. Da 5 eine ungerade Zahl ist, ist dies eindeutig.
Die Entscheidungsregel lautet hier:
0, 1 oder 2 blaue Kugeln: \Rightarrow 4 blaue und 6 rote Kugeln.
3, 4 oder 5 blaue Kugeln: \Rightarrow 4 rote und 6 blaue Kugeln.
Da beide Möglichkeiten symmetrisch sind, ist der Fehler 1. Art identisch mit dem Fehler 2. Art.

Formuliere, wann ein Fehler 1. oder 2. Art auftritt

Die Fehlerwahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit, dass von der selteneren Farbe mehr Kugeln gezogen werden, d.h. entweder 3 oder 4. Da es nur 4 Kugeln der selteneren Farbe gibt, sind 5 nicht möglich.
Berechne nun die Fehlerwahrscheinlichkeit.
P(Fehler)=P(4  seltene  Kugeln  gezogen)+P(3  seltene  Kugeln  gezogen)\displaystyle \mathrm{P(Fehler) = P(4 \;seltene \;Kugeln \;gezogen) + P(3 \;seltene \;Kugeln \;gezogen)}
P(Fehler)=(43)(62)  +  (44)(61)(105)=415  +  1    6252\mathrm{P(Fehler)}=\frac{\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix}\;+\;\begin{pmatrix}4\\4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}6\\1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\dfrac{4\cdot15\;+\;1\;\cdot\;6}{252}
P(Fehler)=  1142  =  0,261905  26,19  %\mathrm{P(Fehler)}=\;\frac{11}{42}\;=\;0,261905…\;\approx26,19\;\% 
In der oberen Zeile musst du zunächst den Binomialkoeffizienten jeweils ausrechnen und dann im nächsten Schritt in der Zeile den Bruch ausrechnen.
Die Fehlerwahrscheinlichkeit beträgt ungefähr 26,2%.26,2 \, \%.