Das Produkt von allen Ziffern von Stefans vierstelliger Handy-PIN ist 2121. Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es für Stefans PIN? Gib sie alle an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kombinatorik

Indem wir die Primfaktorzerlegung von 2121 bestimmen, wissen wir, welche Ziffern in Stefans Handy-PIN vorkommen. Die Primfaktorzerlegung von 2121 ist:
21=73\displaystyle 21=7\cdot3
Das bedeutet, dass in der PIN die Ziffern 77 und 33, jeweils einmal vorkommen müssen. Es fehlen noch zwei Ziffern. Diese müssen eine 11 sein, da eine Multiplikation mit 11 das Produkt nicht verändert. Die Ziffer der PIN sind also 11, 11, 33, und 77_{ }.

Es gibt 4! = 24 Permutationen für vier Ziffern. Weil die 1 jedoch doppelt auftritt, muss man 24 durch 2 teilen, also gibt es 12 verschiedene PIN.

Alternative Lösung: Wähle zuerst die Stellen aus, an denen die 1er stehen. Das heißt, wir wählen aus den vier Stellen zwei aus, wobei die Reihenfolge keine Rolle spielt (schließlich sind beide Ziffer eine 11 und nicht voneinander unterscheidbar). Dies sind (42)\binom 42 Möglichkeiten.
Nachdem wir die Anzahl der Stellen für die beiden 1er gefunden haben, müssen wir noch die beiden Ziffer 33 und 77 auf die restlichen zwei Stellen verteilt werden. Dafür gibt es zwei Möglichkeiten.
Die Gesamtzahl der Möglichkeiten ist:
(42)2=12\displaystyle \binom{4}{2}\cdot2=12
Die zwölf Möglichkeiten sind: 11731173, 11371137, 13711371, 17311731, 17131713, 13171317, 71137113, 31173117, 71317131, 31713171, 37113711, 73117311