Während die absolute Häufigkeit angibt, wie oft ein bestimmtes Ereignis eintritt (Anzahl), beschreibt die relative Häufigkeit, wie groß der Anteil der absoluten Häufigkeit an der Gesamtzahl der Versuche ist.

Mit den relativen Häufigkeiten lassen sich Wahrscheinlichkeiten anhand von Beobachtungen bestimmen.

Erläuterung anhand eines Beispiels

Ein Würfel wird 20-mal geworfen und fünfmal erscheint die 3. Damit ist die absolute Häufigkeit des Ereignisses „Es fällt eine 3“ gleich 5.

Die relative Häufigkeit ist gleich der absoluten Häufigkeit geteilt durch die Anzahl der Versuche:

%%\frac5{20}=0{,}25=25\,\% %%

Definition

Wie oben schon erwähnt, definiert sich die relative Häufigkeit über die absolute Häufigkeit und die Anzahl der Versuche:

$$\text{relative Häufigkeit} \ h_n =\frac{\text{absolute Häufigkeit} \ H}{\text{Anzahl der Versuche} \ n}$$

Beispiel

Eigenschaften und Rechenregeln

Wenn man zwei Ereignisse eines Zufallsexperiments betrachtet, kann man die relativen Häufigkeiten in einer Vierfeldertafel darstellen.

Für die folgenden Eigenschaften seien %%A%% und %%B%% Ereignisse, z. B. bestimmte Augenzahlen beim Würfeln.

  • %%0 \le h_n(A) \le 1%%, d. h., die relative Häufigkeit hat nur Werte zwischen 0 und 1.
Begründung

Die Ungleichung kann man mit Hilfe der Definition von der relativen Häufigkeit erklären:

%%h_n(A) = \frac{H}{n}%%

%%H%% und %%n%% sind immer natürliche Zahlen, sodass der Quotient größer als oder gleich 0 ist. Beachte dabei, dass %%H%% den Wert 0 haben kann, aber %%n%% nicht, denn im Nenner steht nie eine 0 (vgl. Bruch).

Ein Ereignis kann nicht öfter auftreten als die Anzahl aller Versuche, sodass %%H%% immer kleiner als oder gleich %%n%% ist. Somit ist der Quotient kleiner als oder gleich 1.

Hinweis:

%%0 \le h_n(A) \le 1%% ist eine Kurzschreibweise und bedeutet:

Einerseits ist %%h_n%% größer-gleich 0 (%%\ge 0%%) und andererseits kleiner-gleich 1 (%%\le 1%%).

Begründung

%%\mathit\Omega%% tritt immer ein, da es das sichere Ereignis ist. Damit sind %%H%% und %%n%% gleich groß und der Bruch gleich 1.

  • %%h_n(A \cup B) = h_n(A) + h_n(B) - h_n(A \cap B)%% für die Summe von Ereignissen.
Begründung

Anschaulich kann man das an einem Venn-Diagramm erklären (denn die Ereignisse %%A%% und %%B%% sind Mengen): Bild

Um %%A%% und %%B%% zu vereinigen, kann man nicht einfach deren Elemente zusammenzählen. Elemente, die in beiden Mengen enthalten sind, würde man dann zweimal (doppelt schraffierter Bereich) zählen. Um diesen Fehler zu korrigieren, muss man den Schnitt von %%A%% und %%B%% einmal abziehen. Damit zieht man alle doppelt vorhandenen Elemente wieder ab.

In dieser Aufgabe wird die Formel anhand eines Beispiels rechnerisch überprüft.

Begründung

Da %%\mathit\Omega = A \cup \bar{A}%% gilt, kann man %%h_n(\bar{A})%% schreiben als %%h_n(\bar{A}) = h_n(\mathit\Omega \setminus A)%%.
%%\mathit\Omega \setminus A%% steht für die Menge, die bleibt, wenn man aus %%\mathit\Omega%% alle Elemente von %%A%% entfernt.

Außerdem gilt %%h_n(\mathit\Omega \setminus A) =h_n(\mathit\Omega)- h_n(A) = 1-h_n(A)%%, da %%\mathit\Omega%% das sichere Ereignis ist.

Beziehung zur Wahrscheinlichkeit

Die relative Häufigkeit eines Ereignisses hängt von der Anzahl %%n%% an Wiederholungen eines Zufallsexperiments ab. Das Gesetz der großen Zahlen besagt, dass die relative Häufigkeit eines Ereignisses seiner echten Wahrscheinlichkeit umso ähnlicher ist, je öfter man das Zufallsexperiment durchführt (also je größer %%n%%).

Man benutzt diese Beziehung, um unbekannte Wahrscheinlichkeiten zu berechnen. Man wiederholt ein Zufallsexperiment sehr oft und vergleicht dabei die relativen Häufigkeiten eines Ereignisses. Aus diesen Vergleichen kann man mithilfe von Grenzwerten die exakte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses berechnen.

Bemerkung: Für die Wiederholung eines Experiments benutzt man oft den Computer, denn er kann viel schneller einen Würfel 1 000 000 Mal werfen als der Mensch.

Video zum Thema „Relative Häufigkeit“

Kommentieren Kommentare

Zu article Relative Häufigkeit:
JulianBabl 2020-01-08 12:57:08+0100
Ein Würfel wird 20-mal geworfen und fünfmal erscheint die 3. Damit ist die absolute Häufigkeit des Ereignisses „Es fällt eine 3“ gleich 5.

Die relative Häufigkeit ist gleich der absoluten Häufigkeit geteilt durch die Anzahl der Versuche:

520=0,25=25%

Dieser Teil des Artikels ist 1zu1 aus dem Artikel Absolute häufigkeit übernommen.
wolfgang 2020-01-08 16:33:22+0100
Hey,
findest du das störend, dass der Bereich rauskopiert worden ist? Immerhin steckt ja in der Formel für die relative Häufigkeit sogar die absolute Häufigkeit drin. Und falls es dich stört, hast du einen Vorschlag, wie es dir besser gefällt?

Beste Grüße
Wolfgang
Antwort abschicken
Zu article Relative Häufigkeit:
Jean 2020-07-10 15:21:14+0200
Hallo, ich finde es toll, dass ihr euch diese Mühe macht und den interessierten Lesern versucht die Mathematik näher zu bringen.
Der Artikel scheint ja sehr alt zu sein und soll seit August 2014 überarbeitet werden.
Ich weiß nun nicht ob er je überarbeitet wird, falls nicht will ich trotzdem allen anderen Lesern Denkanstösse geben, denn nachdem meine Tochter (7. Klasse) diesen Artikel gelesen hatte, habe ich mit ihr diskutiert:

"Die relative Häufigkeit eines Ereignisses hängt von der Anzahl n an Wiederholungen eines Zufallsexperiments ab."
Das ist in dieser Allgemeinheit sicher nicht richtig. Es ist Sinn dieser Relation von der Anzahl an Wiederholungen zu abstrahieren. Der darauf folgende Satz "Das Gesetz der großen Zahlen..." lässt erahnen wie der Autor auf diesen Satz kommt.

"Wiederholung eines Experiments benutzt man oft den Computer,...."
Ich denke, dass hier präziser dargestellt werden muss, dass man mit Computern keine Zufallsexperimente durchführen kann, der Computer würfelt nicht.
Man kann Zahlen deterministisch durch mathematische Algorithmen erzeugen, die weitgehend dieselben Eigenschaften wie echte Zufallszahlen besitzen, aber eben keine sind.

"...mithilfe von Grenzwerten die exakte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses berechnen."
Hier bin ich über die Begriffe EXAKT BERECHNEN gestolpert.
Der Grenzwert der relativen Häufigkeit kommt der Wahrscheinlichkeit beliebig nah, aber er ist nicht exakt die Wahrscheinlichkeit, deswegen ist es ja eben ein Grenzwert.

VG
Jean
Renate 2020-07-11 15:37:42+0200
Hallo Jean,

zunächst mal: toll deinerseits, dass du dir die Mühe machst, diesen Kommentar zu schreiben! :)

Zu der Sache mit der geplanten Überarbeitung: Ich nehme an, du beziehst dich dabei auf die Diskussion von LorenzHuber vor 6 Jahren, in der steht, dass der Artikel überarbeitet werden soll?

Ich habe mir das angesehen, und es ist wohl so, dass die Überarbeitung inzwischen erfolgt ist, und nur niemand daran gedacht hat, danach die Diskussion zu archivieren (ich mache das dann jetzt gleich, wenn ich mit dem Schreiben hier fertig bin).


Nun zum Inhaltlichen:

Du sprichst in deinem Diskussionsbeitrag mehrere Punkte an, die ich durchaus bedenkenswert finde;
und auch ich meine, dass es in diesem Artikel ein paar Stellen gibt, die man verbessern sollte.

Deshalb - bevor wir hier lange herumdiskutieren - folgender Vorschlag:

- Ich bearbeite den Artikel und ändere ein paar Dinge.
(Solche Bearbeitungen kann bei Serlo übrigens jeder machen, der einen Serlo-Account hat und angemeldet ist).

- Diese Bearbeitung muss dann allerdings noch durch den Review-Prozess, bevor sie freigeschaltet und auf Serlo als neue Version sichtbar ist.

- Wenn die Bearbeitung sichtbar ist, diskutieren wir erneut, ob deine Einwände ausgeräumt sind, oder nach wie vor bestehen (bzw. neue Einwände dazu gekommen sind ;) ?!).

Wäre das für dich in Ordnung so?

Viele Grüße
Renate

PS: Danke, dass du die Sache ins Laufen gebracht hast!
Antwort abschicken
Zu article Relative Häufigkeit: Überarbeitung des Artikels
LorenzHuber 2014-08-29 12:04:32+0200
Wir werden den Artikel neu schreiben, da er zurzeit nicht ausführlich genug ist. Dabei wollen wir relative Häufigkeit erst mit Beispielen erklären, dann definieren und Rechenregeln einfügen. Zusätzlich wollen wir noch auf die Beziehung zwischen relativer Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit durch das Gesetz der großen Zahlen eingehen.