Während die absolute Häufigkeit angibt, wie oft ein bestimmtes Ereignis eintritt (Anzahl), beschreibt die relative Häufigkeit, wie groß der Anteil der absoluten Häufigkeit an der Gesamtzahl der Versuche ist.
Man berechnet die relative Häufigkeit daher folgendermaßen:
relative Ha¨ufigkeit hn=absolute Ha¨ufigkeit HnAnzahl der Versuche n\displaystyle \text{relative Häufigkeit} \ h_n =\frac{\text{absolute Häufigkeit} \ H_n}{\text{Anzahl der Versuche} \ n}
Die relative Häufigkeit kann man als Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit verwenden, wenn die Gesamtzahl der Versuche ausreichend groß ist.

Beispiel

Ein Würfel wird 20-mal geworfen und fünfmal erscheint die 3. Damit ist die absolute Häufigkeit des Ereignisses „Es fällt eine 3“ gleich 5.
Die relative Häufigkeit ist gleich der absoluten Häufigkeit geteilt durch die Anzahl der Versuche:
520=0,25=25%\frac5{20}=0{,}25=25\,\% 

Eigenschaften und Rechenregeln

Wenn man zwei Ereignisse eines Zufallsexperiments betrachtet, kann man die relativen Häufigkeiten in einer Vierfeldertafel darstellen.
Für die folgenden Eigenschaften seien AA und BB Ereignisse, z. B. bestimmte Augenzahlen beim Würfeln.
  • 0hn(A)10 \le h_n(A) \le 1, d. h., die relative Häufigkeit hat nur Werte zwischen 0 und 1.
Die Ungleichung kann man mit Hilfe der Definition von der relativen Häufigkeit erklären:
hn(A)=Hnh_n(A) = \frac{H}{n}
HH und nn sind immer natürliche Zahlen, sodass der Quotient größer als oder gleich 0 ist. Beachte dabei, dass HH den Wert 0 haben kann, aber nn nicht, denn im Nenner steht nie eine 0 (vgl. Bruch).
Ein Ereignis kann nicht öfter auftreten als die Anzahl aller Versuche, sodass HH immer kleiner als oder gleich nn ist. Somit ist der Quotient kleiner als oder gleich 1.
Hinweis:
0hn(A)10 \le h_n(A) \le 1 ist eine Kurzschreibweise und bedeutet:
Einerseits ist hnh_n größer-gleich 0 (0\ge 0) und andererseits kleiner-gleich 1 (1\le 1).
  • hn(Ω)=1h_n(\mathit\Omega) = 1 für das sogenannte sichere Ereignis.
Ω\mathit{\Omega}_{ } tritt immer ein, da es das sichere Ereignis ist. Damit sind HH und nn gleich groß und der Bruch gleich 1.
  • hn(AB)=hn(A)+hn(B)hn(AB)h_n(A \cup B) = h_n(A) + h_n(B) - h_n(A \cap B) für die Summe von Ereignissen.
Anschaulich kann man das an einem Venn-Diagramm erklären (denn die Ereignisse AA und BB sind Mengen):
Bild
Um AA und BB zu vereinigen, kann man nicht einfach deren Elemente zusammenzählen. Elemente, die in beiden Mengen enthalten sind, würde man dann zweimal (doppelt schraffierter Bereich) zählen. Um diesen Fehler zu korrigieren, muss man den Schnitt von AA und BB einmal abziehen. Damit zieht man alle doppelt vorhandenen Elemente wieder ab.
In dieser Aufgabe wird die Formel anhand eines Beispiels rechnerisch überprüft.
  • hn(Aˉ)=1hn(A)h_n(\bar{A})= 1 - h_n(A) für das Gegenereignis.
Da Ω=AAˉ\mathit\Omega = A \cup \bar{A} gilt, kann man hn(Aˉ)h_n(\bar{A}) schreiben als hn(Aˉ)=hn(ΩA)h_n(\bar{A}) = h_n(\mathit\Omega \setminus A). ΩA\mathit\Omega \setminus A steht für die Menge, die bleibt, wenn man aus Ω\mathit\Omega alle Elemente von AA entfernt.
Außerdem gilt hn(ΩA)=hn(Ω)hn(A)=1hn(A)h_n(\mathit\Omega \setminus A) =h_n(\mathit\Omega)- h_n(A) = 1-h_n(A), da Ω\mathit\Omega das sichere Ereignis ist.

Beziehung zur Wahrscheinlichkeit

Wenn ein Zufallsexperiment nur sehr wenige Male durchgeführt wird, ist die relative Häufigkeit oft nicht sehr aussagekräftig, denn ihr Wert ist sehr vom Zufall beeinflusst.
Besonders zu Beginn einer Reihe von Versuchsdurchführungen kann sie zudem starken Schwankungen unterliegen.
Aus mathematischen Gründen kann hn(A)h_n(A) nicht jeden beliebigen Wert zwischen 0% und 100% annehmen, sondern es sind stets nur bestimmte "Stufen" möglich.
  • Wenn man den Versuch nur einmal durchführt, gibt es nur zwei mögliche Werte, die h1(A)h_1(A) annehmen kann, nämlich
    • 0%, wenn AA nicht eingetreten ist, und
    • 100%, wenn AA^{ } eingetreten ist.
  • Wenn man den Versuch zweimal durchführt, kann h2(A)h_2(A) folgende Werte annehmen:
    • 0%, wenn AA keinmal eingetreten ist,
    • 50%, wenn AA einmal eingetreten ist,
    • 100%, wenn AA zweimal eingetreten ist.
  • usw.
Je größer nn ist, desto mehr Stufen gibt es, die hn(A) h_n(A) annehmen kann.
Bei kleinerem nn gibt es weniger Stufen, und daher sind die Sprünge zwischen den Stufen größer. Wenn dann durch Zufall AA einmal mehr oder einmal weniger eintritt, macht das viel mehr aus als bei großem nn.
Die Erfahrung zeigt aber, dass sich bei sehr vielen Durchführungen die relative Häufigkeit eines Ereignisses im Normalfall immer irgendwann auf einen bestimmten Wert stabilisiert.
Dies ist ausgedrückt im sogenannten empirischen Gesetz der großen Zahlen.
"Empirisch" bedeutet dabei "auf der Erfahrung beruhend". Das empirische Gesetz der großen Zahlen ist kein "Gesetz" in dem Sinne, dass man mathematisch exakt beweisen könnte, dass sich die relative Häufigkeit immer einem bestimmten Grenzwert annähern muss.
Aber man weiß es aus der Erfahrung, dass sie es (normalerweise) tut.
Weil man es hier mit Zufallsexperimenten zu tun hat, kann man lediglich eine Aussage über die Wahrscheinlichkeiten machen; das heißt also:
Die Wahrscheinlichkeit, dass sich hn(A)h_n(A) einem Wert annähert, wenn nn gegen Unendlich geht, beträgt 100%100\, \%.
Den Wert, auf den sich die relative Häufigkeit annähert, verwendet man auch als Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit. Auf diese Weise kann man Werte für Wahrscheinlichkeiten, die man nicht theoretisch berechnen kann, experimentell aus Daten ermitteln.
Voraussetzung ist dabei stets, dass die Versuchsreihen, aus denen die relativen Häufigkeiten berechnet werden, lang genug sind, bzw. dass das Experiment oft genug wiederholt wurde.
Bemerkung: Für die Wiederholung eines Experiments benutzt man oft den Computer, denn er kann viel schneller ein Experiment wie zum Beispiel das Werfen eines Würfels simulieren, als es ein Mensch in der Realität ausführen könnte.

Video zum Thema „Relative Häufigkeit“

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Zu article Relative Häufigkeit:
JulianBabl 2020-01-08 12:57:08+0100
Ein Würfel wird 20-mal geworfen und fünfmal erscheint die 3. Damit ist die absolute Häufigkeit des Ereignisses „Es fällt eine 3“ gleich 5.

Die relative Häufigkeit ist gleich der absoluten Häufigkeit geteilt durch die Anzahl der Versuche:

520=0,25=25%

Dieser Teil des Artikels ist 1zu1 aus dem Artikel Absolute häufigkeit übernommen.
wolfgang 2020-01-08 16:33:22+0100
Hey,
findest du das störend, dass der Bereich rauskopiert worden ist? Immerhin steckt ja in der Formel für die relative Häufigkeit sogar die absolute Häufigkeit drin. Und falls es dich stört, hast du einen Vorschlag, wie es dir besser gefällt?

Beste Grüße
Wolfgang
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Zu article Relative Häufigkeit:
Jean 2020-07-10 15:21:14+0200
Hallo, ich finde es toll, dass ihr euch diese Mühe macht und den interessierten Lesern versucht die Mathematik näher zu bringen.
Der Artikel scheint ja sehr alt zu sein und soll seit August 2014 überarbeitet werden.
Ich weiß nun nicht ob er je überarbeitet wird, falls nicht will ich trotzdem allen anderen Lesern Denkanstösse geben, denn nachdem meine Tochter (7. Klasse) diesen Artikel gelesen hatte, habe ich mit ihr diskutiert:

"Die relative Häufigkeit eines Ereignisses hängt von der Anzahl n an Wiederholungen eines Zufallsexperiments ab."
Das ist in dieser Allgemeinheit sicher nicht richtig. Es ist Sinn dieser Relation von der Anzahl an Wiederholungen zu abstrahieren. Der darauf folgende Satz "Das Gesetz der großen Zahlen..." lässt erahnen wie der Autor auf diesen Satz kommt.

"Wiederholung eines Experiments benutzt man oft den Computer,...."
Ich denke, dass hier präziser dargestellt werden muss, dass man mit Computern keine Zufallsexperimente durchführen kann, der Computer würfelt nicht.
Man kann Zahlen deterministisch durch mathematische Algorithmen erzeugen, die weitgehend dieselben Eigenschaften wie echte Zufallszahlen besitzen, aber eben keine sind.

"...mithilfe von Grenzwerten die exakte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses berechnen."
Hier bin ich über die Begriffe EXAKT BERECHNEN gestolpert.
Der Grenzwert der relativen Häufigkeit kommt der Wahrscheinlichkeit beliebig nah, aber er ist nicht exakt die Wahrscheinlichkeit, deswegen ist es ja eben ein Grenzwert.

VG
Jean
Renate 2020-07-11 15:37:42+0200
Hallo Jean,

zunächst mal: toll deinerseits, dass du dir die Mühe machst, diesen Kommentar zu schreiben! :)

Zu der Sache mit der geplanten Überarbeitung: Ich nehme an, du beziehst dich dabei auf die Diskussion von LorenzHuber vor 6 Jahren, in der steht, dass der Artikel überarbeitet werden soll?

Ich habe mir das angesehen, und es ist wohl so, dass die Überarbeitung inzwischen erfolgt ist, und nur niemand daran gedacht hat, danach die Diskussion zu archivieren (ich mache das dann jetzt gleich, wenn ich mit dem Schreiben hier fertig bin).


Nun zum Inhaltlichen:

Du sprichst in deinem Diskussionsbeitrag mehrere Punkte an, die ich durchaus bedenkenswert finde;
und auch ich meine, dass es in diesem Artikel ein paar Stellen gibt, die man verbessern sollte.

Deshalb - bevor wir hier lange herumdiskutieren - folgender Vorschlag:

- Ich bearbeite den Artikel und ändere ein paar Dinge.
(Solche Bearbeitungen kann bei Serlo übrigens jeder machen, der einen Serlo-Account hat und angemeldet ist).

- Diese Bearbeitung muss dann allerdings noch durch den Review-Prozess, bevor sie freigeschaltet und auf Serlo als neue Version sichtbar ist.

- Wenn die Bearbeitung sichtbar ist, diskutieren wir erneut, ob deine Einwände ausgeräumt sind, oder nach wie vor bestehen (bzw. neue Einwände dazu gekommen sind ;) ?!).

Wäre das für dich in Ordnung so?

Viele Grüße
Renate

PS: Danke, dass du die Sache ins Laufen gebracht hast!
Jean 2020-07-12 11:32:01+0200
Hallo Renate,

ich freue mich über Dein Feedback, da hatte ich tatsächlich wegen LorenzHubers Kommentar aus 2014 nicht mit gerechnet.
Es ist prima, dass die Kommentare zum Überarbeiten anregen und wir das Ergebnis diskutieren wollen.
Gerne lese ich den neuen Artikel.

VG
Jean
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Zu article Relative Häufigkeit: Überarbeitung des Artikels
LorenzHuber 2014-08-29 12:04:32+0200
Wir werden den Artikel neu schreiben, da er zurzeit nicht ausführlich genug ist. Dabei wollen wir relative Häufigkeit erst mit Beispielen erklären, dann definieren und Rechenregeln einfügen. Zusätzlich wollen wir noch auf die Beziehung zwischen relativer Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit durch das Gesetz der großen Zahlen eingehen.