Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass ein Barbesucher das Spiel gewinnt:

Der Spieler gewinnt bei einer eigenen 6, wenn der Barkeeper eine 1-5 würfelt.

Der Spieler gewinnt bei einer eigenen 5 wenn der Barkeeper eine 1-4 würfelt.

…

Der Spieler gewinnt bei einer eigenen 2, wenn der Barkeeper eine 1 würfelt.

Der Spieler verliert bei einer eigenen 1 immer.

Von insgesamt 36 Würfelkombinationen, gewinnt der Spieler bei $5+4+3+2+1=15$ Würfelkombinationen.

Die Gewinnwahrscheinlichkeit $p$ eines Barbesuchers bei einem Spiel beträgt also $p=\frac{15}{36}=\frac{5}{12}$.

Wie oft muss ein Barbesucher würfeln, damit seine Gewinnwahrscheinlichkeit bei mehr als 80% liegt?

Der Kunde gewinnt einen Cocktail, wenn der Barkeeper einmal nicht gewinnt.

Der Barkeeper hat eine Gewinnwahrscheinlichkeit $q=1-p=1-\frac{5}{12}=\frac{7}{12}$.

Wir suchen also eine natürliche Zahl $n\in\mathbb{N}$, die angibt, nach wie vielen Versuchen ein durchgängiger Sieg des Barkeepers unwahrscheinlicher als $20\%$ ist.

In mathematischer Schreibweise: Gesucht ist eine natürliche Zahl $n\in\mathbb{N}$, sodass $(\frac{7}{12})^n<0{,}2$.

Lösung mit dem Logarithmus:

$n>\log_{\frac{7}{12}}\left(0{,}2\right)\approx2{,}99$.

Antwort: Der Kunde muss somit mindestens 3 Spiele spielen.

Zufallsgröße $X$: Anzahl der Gewinne

Länge der Bernoullikette: $n=10$

Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (einen Cocktailgewinn): $p=\frac5{12}$

zu A:

Anzahl der Gewinne: $X=0$

$P(X=0)=\left(\frac5{12}\right)^{0}\cdot(\frac7{12})^{10} \approx0{,}004562133\approx0{,}46\,\%$

zu B:

Anzahl der Gewinne $X=3$

$P(X=3)=\begin{pmatrix}10\\3\end{pmatrix}\cdot\left(\frac5{12}\right)^3\cdot\left(\frac7{12}\right)^7\approx0{,}19951\approx19{,}95\,\%$.

zu C:

Anzahl der Gewinne $X>3$

$P(X=0)$ und $P(X=3)$ haben wir in 1 und 2 berechnet. Es fehlen also nur noch $P(X=1)$ und $P(X=2)$.

$P(X=1)=\begin{pmatrix}10\\1\end{pmatrix}\cdot\left(\frac5{12}\right)^1\cdot\left(\frac7{12}\right)^9\approx 0{,}03259\approx 3{,}26\,\%$

$P(X=2)=\begin{pmatrix}10\\2\end{pmatrix}\cdot\left(\frac5{12}\right)^2\cdot\left(\frac7{12}\right)^8\approx 0{,}10474\approx 10{,}47\,\%$

zu D:

Anzahl der Gewinne $X=9$

$P(X=9)=\begin{pmatrix}10\\9\end{pmatrix}\cdot\left(\frac5{12}\right)^9\cdot\left(\frac7{12}\right)^1\approx0{,}00221\approx0{,}22\,\%$

zu E:

Anzahl der Gewinne $X=10$

$P(X=10)=\begin{pmatrix}10\\10\end{pmatrix}\cdot\left(\frac5{12}\right)^{10}\cdot\left(\frac7{12}\right)^0\approx0{,}0001577\approx0{,}016\,\%$

Die Gruppe soll zu mindestens 95% Wahrscheinlichkeit zehn Cocktails gewinnen. Da in der Angabe nicht die Rede von genau 10 Cocktails ist, dürfen sie auch mehr als 10 Cocktails gewinnen.

Gesucht ist also die Anzahl der Würfe $n$, sodass $P(X\geq10)\geq0{,}95$ ist.

Zur leichteren Berechnung kannst du die Gleichung auch über das Gegenereignis ausdrücken.

$P(X\leq9)$ ist händisch umständlich zu rechnen, da $P(X\leq9) =P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+...+P(X=9)$ ist.

Du kannst den Ausdruck aber mithilfe des Taschenrechners für verschiedene Werte von $n$ berechnen.

Gesucht ist die kleinste Zahl $n$, für die $P(X\leq9)$ kleiner als $0{,}05$ ist. Probiere so lange Werte aus, bis du $n$ gefunden hast.

So ein Herantasten an die Lösung kann z.B. so aussehen:

Durch Probieren hast du so herausgefunden, dass $n=34$ sein muss.

Antwort: Bei 34-maligem Werfen ist die Wahrscheinlichkeit mindestens $95\%$(mindestens) 10 Cocktails zu gewinnen. Die Gruppe muss also mindestens 34 Mal Würfeln.