Berechne den Erwartungswert der Zufallsvariable.

Ein 6-seitiger Laplace-Würfel wird geworfen. Die Zufallsvariable gibt die Augenzahl eines Wurfes wieder.

Hier ist %%\mathit\Omega=\left\{1,2,3,4,5,6\right\}%% und %%X(\mathrm\omega)=\mathrm\omega%%.

Benutze die Formel für den Erwartungswert:

%%E(X) = \sum\limits_{k\in \mathit\Omega} k \cdot P(X=k) = \\%%

Setze die Werte ein.

%%=1\cdot \frac16 + 2\cdot \frac16 + 3\cdot \frac16 + 4\cdot \frac16 + 5\cdot \frac16 + 6\cdot \frac16 =\\%%

Klammere aus und vereinfache.

%%=\frac16 \cdot (1+2+3+4+5+6) = \frac16 \cdot 21 \\%%

%%=3{,}5%%

Bei einem Glücksspiel wird eine Münze einmal geworfen. Bei Zahl gewinnst du 5 Euro und bei Kopf verlierst du 6 Euro. Die Zufallsvariable gibt den Gewinn bei einem Münzwurf an.

Hier ist %%\mathit\Omega=\{\mathrm K,\mathrm Z\}%%, %%\displaystyle X(\omega)=\begin{cases}\begin{array} {l l} 5 & \text{für } \omega=\mathrm K\\-6 & \text{für }\omega=\mathrm Z\end{array}\end{cases}%% und %%P(X=k)%% jeweils %%\displaystyle\frac12%%.

Benutze die Formel für den Erwartungswert.

%%\displaystyle E(X)=\sum\limits_{k\in \mathit\Omega} k \cdot P(X=k)%%

Setze die Werte ein.

%%\displaystyle= 5 \cdot \frac12 + (-6) \cdot \frac12%%

Klammere aus und vereinfache.

%%\displaystyle=\frac12 (5-6) = - \frac12%%

Du erwartest also einen Verlust von %%0{,}5\,%%€ pro Wurf.

Ein Würfel wird 20-mal geworfen. Die Zufallsvariable gibt an, wie oft die Zahl 3 gefallen ist.

Es handelt sich hierbei um eine Bernoulli-Kette. Der Erwartungswert einer Bernoulli-Kette beträgt %%n\cdot p%%. Hier ist %%n=20%% und %%p%% die Wahrscheinlichkeit, bei einem einzelnen Wurf eine 3 zu werfen, also %%\frac16%%.

%%\Rightarrow E(X)=20\cdot\frac16=\frac{20}{6}\approx3{,}33%%

Alternative Rechnung

Bei diesem Experiment handelt es sich um eine Bernoulli-Kette, bei der jeder Würfelwurf Bernoulli-verteilt ist. Die „Trefferwahrscheinlichkeit“ (eine 3 zu würfeln) beträgt %%\frac16%%, während man mit Wahrscheinlichkeit %%\frac56%% nicht „trifft“. Bezeichne die Zufallsvariable der Bernoulli-Kette mit %%X%% und die Bernoulli-verteilten Würfe mit %%X_k%% und berechne den Erwartungswert mithilfe der Formel für die Binomialverteilung:

%%E(X)=\sum\limits_{k=1}^{20}E(X_k)=\sum\limits_{k=1}^{20}\frac16=20\cdot\frac16\approx3{,}33%%

In einer Urne befinden sich 12 Kugeln, darunter 4 schwarze und 8 weiße. Daraus werden 6 Kugeln ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge gezogen. Die Zufallsvariable gibt an, wie viele weiße Kugeln gezogen wurden.

Die Wahrscheinlichkeiten 2,3,4,5 oder 6 weiße Kugeln zu ziehen berechnest du mit dem Urnenmodell. Da sich nur 4 schwarze Kugeln in der Urne befinden, ist es nicht möglich 0 oder 1 weiße Kugel zu ziehen.

Berechnung der Wahrscheinlichkeiten.

Du ziehst ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge. Damit lassen sich die Wahrscheinlichkeiten der Werte der Zufallsgröße %%\text X%% kombinatorisch berechnen.

  • %%\displaystyle\text P(\text X=2)=\frac{\binom82\cdot\binom44}{\binom{12}6}=\frac1{33}%%.
  • %%\displaystyle\text P(\text X=3)=\frac{\binom83\cdot\binom43}{\binom{12}6}=\frac8{33}%%.
  • %%\displaystyle\text P(\text X=4)=\frac{\binom84\cdot\binom42}{\binom{12}6}=\frac{15}{33}%%.
  • %%\displaystyle\text P(\text X=5)=\frac{\binom85\cdot\binom41}{\binom{12}6}=\frac8{33}%%.
  • %%\displaystyle\text P(\text X=6)=\frac{\binom86\cdot\binom40}{\binom{12}6}=\frac1{33}%%.

Benutze nun die Formel für den Erwartungswert.

%%\displaystyle\text E(\text X)=\sum\limits_{k=2}^{6} k\cdot \text P(\text X=k)%%

Setze die Werte ein.

%%\displaystyle=2 \cdot \frac{1}{33} + 3 \cdot \frac{8}{33} + 4 \cdot \frac{15}{33} + 5 \cdot \frac{8}{33} + 6 \cdot \frac{1}{33}%%

Vereinfache.

%%\displaystyle=\frac{132}{33}=4%%

Beim Ziehen von 6 Kugeln erwartest du also 4 weiße Kugeln zu ziehen.