Gib die Definitionsmenge an und bestimme eine äquivalente bruchtermfreie Gleichung von der folgenden Bruchgleichung:

%%\displaystyle 3+\frac1x=\frac2{x+1}%%

(Du brauchst die bruchtermfreie Gleichung nicht zu lösen!)

Bruchgleichungen

Die Aufgabe besteht aus zwei Teilen: Du sollst

  • die Definitionsmenge bestimmen, und
  • die Gleichung bruchtermfrei machen.

Definitionsmenge

Bestimme zunächst die Definitionsmenge der Bruchgleichung. Dazu schaust du dir die Nenner explizit an und schaust für welche Zahlen sie %%0%% werden:

  • %%x=0%%
  • %%x+1=0%%

Für %%x=0%% und %%x=-1%% ist die Gleichung nicht definiert. Also musst du sie aus der Definitionsmenge rausnehmen.

Die Definitionsmenge %%D%% ist also:
%%D=\mathbb Q\backslash\{-1;0\}%%, falls die Grundmenge %%\mathbb Q%% ist, und
%%D=\mathbb R\backslash\{-1;0\}%%, falls die Grundmenge %%\mathbb R%% ist.

Umformen in bruchtermfreie Gleichung

Jetzt sollst du die Gleichung bruchtermfrei machen.

%%\displaystyle 3+\frac1x=\frac2{x+1}%%

Du musst hier also zunächst die linke Seite zu einem Bruch umformen. Bringe %%\displaystyle 3+\frac{1}x%% auf einen Nenner.

Um eine Bruchgleichung bruchtermfrei zu machen kannst du zum Beispiel die Nenner über Kreuz multiplizieren.

%%\displaystyle 3+\frac1x=\frac2{x+1}%%

Du kannst hier zunächst die linke Seite zu einem Bruch umformen. Bringe %%\displaystyle 3+\frac{1}x%% auf einen Nenner.

%%\displaystyle\frac{3x}x+\frac1x=\frac2{x+1}%%

Addiere

%%\displaystyle\frac{3x+1}x=\frac2{x+1}%%

Nun kannst du das Verfahren zum über Kreuz multiplizieren anwenden.

%%(3x+1)\;\cdot\;(x+1)\;=2\cdot x%%

Diese Gleichung enthält keine Brüche. Da wir %%0%% und %%-1%% aus der Definitionsmenge rausgenommen haben, haben wir insbesondere nicht mit der %%0%% multipliziert.

Somit ist %%(3x+1)\;\cdot\;(x+1)\;=2\cdot x%% äquivalent zu %%\displaystyle 3+\frac1x=\frac2{x+1}%%.

Lösung der bruchtermfreien Gleichung

(in der Aufgabenstellung nicht gefordert)

%%(3x+1)\;\cdot\;(x+1)\;=2\cdot x%%

%%3x^2+3x\;+x\;+1=2x%%

%%3x^2+4x\;+1=2x%%

linke Seite zusammenfassen

%%3x^2+2x\;+1=0%%

Alles auf eine Seite und somit 0 setzen.

%%D=\left(2\right)^2-4\cdot3\cdot1%%

%%=4-12%%

%%=-8%% %%\;\;\Rightarrow\;\;-8<0\;%%

Diskriminante berechnen.

%%\mathbb{L}= \left\{ \right\}%%

Wegen D < 0 hat die quadratische Gleichung keine Lösungen und damit hat auch die Bruchgleichung keine Lösungen!