Aufgaben

Das Dreifache einer Zahl ist doppelt so groß wie die um 3 verminderte Zahl.
Wie lautet die Zahl?

Aufstellen der Gleichung

"Das Dreifache einer Zahl ist…"

Die "Zahl", die gesucht ist, kürzt du mit einer Variablen, üblicherweise mit %%x%% ab.

"Das Dreifache" heißt, dass die Zahl mal 3 genommen wird.

"ist" übersetzt du mathematisch natürlich mit "=".

%%3\cdot x =%%

"…ist doppelt so groß wie …"

"doppelt so groß" heißt, dass du irgendetwas mal 2 nehmen musst.

Was du mal 2 nehmen musst, kommt im nächsten Teil des Satzes.

"… die um 3 verminderte Zahl."

"um 3 verminderte Zahl" heißt, dass du von der Zahl x die Zahl 3 abziehen musst.

Damit kannst du jetzt die Gleichung vollständig hinschreiben:

Gleichung zu diesem Zahlenrätsel:

%%3\cdot x= 2\cdot (x-3)%%

Lösen der Gleichung

%%3\cdot x= 2\cdot (x-3)%%

Löse die Klammer auf,

%%3\cdot x= 2\cdot x- 2\cdot 3%%

und rechne soweit wie möglich aus.

%%3 x= 2 x- 6%%

|%%-2x%%

Subtrahiere %%2x%% auf beiden Seiten der Gleichung, damit die Terme mit %%x%% zusammen stehen.

%%3 x - 2 x = -6%%

Fasse die Terme mit %%x%% zusammen.

%%x=-6%%

Bildet man die Differenz aus dem Achtzehnfachen einer Zahl und 8 und addiert anschließend 0,5, so erhält man die Summe aus dem Siebzehnfachen der Zahl und 7.

Textaufgaben mit Gleichungen lösen

  • Bilde zunächst aus dem Text heraus eine Gleichung,
  • und löse anschließend die Gleichung.

Gleichung aufstellen

Die gesuchte "Zahl" wird mit %%x%% bezeichnet.

Gehe nun Schritt für Schritt anhand des Aufgabentextes vor:

  • "Das Achtzehnfache der Zahl" ist gleich %%18\cdot x%% oder einfach %%18x%%.

  • "Differenz" ist das Ergebnis einer Minus-Rechnung;
    die "Differenz aus dem Achtzehnfachen der Zahl und 8" ist also: %%18x-8%%

  • "addiert 0,5" bedeutet, dass man "plus %%0,5%%" rechnet.

  • "so erhält man" zeigt dir an, dass jetzt das Gleichheitszeichen kommt.

Für die eine Seite der Gleichung hast du also bereits: "%%(18x-8)+0,5=…%%"
(wobei die Klammer mathematisch nicht notwendig ist).

Gehe nun für die andere Seite der Gleichung ebenso Schritt für Schritt vor:

  • "Summe" ist das Ergebnis einer Plus-Rechnung.

  • "das Siebzehnfache der Zahl" ist %%17\cdot x%% oder einfach %%17x%%.

Für die andere Seite der Gleichung bekommst du: "%%…= 17x +7%%"

Setze beide Seiten zusammen, und
du erhältst insgesamt den Ansatz:

%%(18x-8)+0,5= 17x+7%%

Gleichung lösen

%%(18x-8)+0,5= 17x+7%%

Die Klammer auf der linken Seite hat weder ein "minus" davor noch ein "mal" davor oder dahinter;
du kann sie daher auflösen, indem du sie einfach weglässt.

%%18x-8+0,5= 17x+7%%

Fasse auf jeder Seite gleichartige Terme zusammen;

hier geht das nur auf der linken Seite und nur mit %%-8%% und %%+0,5%%.

%%18x-7,5= 17x+7%%

Forme nun die Gleichung so um, dass nachher

  • auf der einen Seite der Gleichung nur noch Terme mit %%x%%
  • und auf der anderen Seite nur noch Zahlen ohne %%x%% stehen.

%%\begin{array}{rcll} 18x-7,5&= &17x+7\quad &|-17x\\ 1x-7,5&= &+7\quad &|+7,5\\ x&=&14,5 \end{array}%%

Durch die Umformungen kommst du Schritt für Schritt zu dem Ergebnis:
%%x=14,5%%

und kannst die Lösungsmenge %%\mathbb{L}%% angeben.

%%\mathbb{L}=\{14,5\}%%

Schreibe nun noch einen Antwortsatz.

Ergebnis:

Die gesuchte Zahl ist %%14,5%%.

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