Du hast dein Moped mit einer Mischung von Superbenzin und E10 getankt. Dabei hast du für %%5%% Liter dieser Mischung insgesamt %%6,50%% Euro bezahlt.

Wie viel Liter sind von jeder Sorte getankt worden, wenn %%1%% Liter Superbenzin %%1,35%% EUR und %%1%% Liter E10 %%1,20%% EUR kosten?

Stelle aus den gegebenen Informationen ein Gleichungssystem auf.

Zunächst bezeichne die Größen mit geeigneten Variablen:

getankte Liter von Superbenzin %%\widehat{=}%% %%x%%

getankte Liter von E10 %%\widehat{=}%% %%y%%

Als nächstes musst du alle Informationen ordnen. Einerseits hast du Literangaben und andererseits hast du Geldangaben.

Wichtig: %%x%% und %%y%% sind in beiden Angaben enthalten.

Also:

Literangaben: %%x%% Liter, %%y%% Liter, %%5%% Liter

Geldangaben: %%1,35\cdot x%% Euro, %%1,20\cdot y%% Euro, %%6,50%% Euro

Im letzten Schritt stellst du aus den jeweiligen Angaben eine Gleichung auf.

Die erste Gleichung erhältst du durch die Information, dass %%x%% Liter und %%y%% Liter sich zu %%5%% Liter addieren.

$$\mathrm{I}\qquad x + y = 5$$

Die zweite Gleichung erhältst du durch die Information, dass %%1,35\cdot x%% Euro und %%1,20\cdot y%% Euro sich zu %%6,50%% Euro addieren.

$$\mathrm{II}\qquad 1,35\cdot x + 1,20\cdot y = 6,50$$

Sowohl Gleichung %%\mathrm{I}%% als auch Gleichung %%\mathrm{II}%% müssen laut Text erfüllt sein. Das Problem aus der Aufgabe kannst du also mit folgendem Gleichungssystem darstellen.

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{I} &x& + &y& = 5\\ \mathrm{II} &1,35\cdot x& + &1,2\cdot y& = 6,5\\ \end{array}%%

Löse das Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungsverfahren. Beachte bei der Rechnung nicht den Sachzusammenhang.

%%\hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I} \quad x + y = 5%%

%%\mathrm{II} \quad 1,35\cdot x + 1,2\cdot y = 6,5%%

1. Beide Gleichungen nach y auflösen

Löse beide Gleichungen nach einer Variablen auf. Dabei ist in diesem Fall egal, ob du %%x%% oder %%y%% nimmst.

%%\hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I} \quad x + y = 5%%

%%\mid-x%%

%%\hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I'} \quad y = 5 - x%%

%%\mathrm{II} \quad 1,35\cdot x + 1,2\cdot y = 6,5%%

%%\mid-1,35\cdot x%%

%%\mathrm{II}\quad 1,2\cdot y = 6,5 - 1,35\cdot x%%

%%\mid:1,2%%

%%\mathrm{II'}\quad y = \frac{65}{12} - 1,125\cdot x%%

2. Gleichsetzen

Setze die beiden Gleichungen %%\mathrm{I}%% und %%\mathrm{II'}%% gleich.

%%\Rightarrow 5 - x = \frac{65}{12} - 1,125\cdot x%%

3. Gleichung nach x auflösen

%%5 - x = \frac{65}{12} - 1,125\cdot x%%

%%\mid + 1,125\cdot x \quad\mid -5%%

%%0,125\cdot x = \frac{5}{12}%%

%%\mid : 0,125%%

%%x = \frac{10}{3}%%

4. x einsetzen, um y heraus zu finden

Setze %%x%% in %%\mathrm{I'}%% oder %%\mathrm{II'}%% ein.

%%\hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I'} \quad y = 5 - \frac{10}{3} = \frac{5}{3}%%

Gib die Lösungsmenge an.

%%\displaystyle{L = \left\lbrace \left( \frac{10}{3} ; \frac{5}{3} \right) \right\rbrace}%%