Gegeben ist die Gleichung der Geraden   g:  y=x+3g:\;y=-x+3   
und die Gleichung der ganzrationalen Funktion   f:  y=0,5x33x2+4,5xf:\;y=0,5x^3-3x^2+4,5x.

Berechne die Schnittpunkte von GfG_f und GgG_g .

Errate dazu eine Lösung der Schnittgleichung und berechne die weiteren Lösungen mit Hilfe der Polynomdivision.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomdivision

Schnittpunkte berechnen

Die beiden Funktionen haben einen Schnittpunkt, wenn sie für einen gleichen x-Wert denselben y-Wert haben. Setze also die Funktionen ff und gg gleich. Die Funktionen lauten:
f(x)=g(x)0,5x33x2+4,5x=x+33+x0,5x33x2+5,5x3=0\begin{array}{rcl} &&&f(x)&=&g(x)&\\0,5x^3&-3x^2&+4,5x& &=&-x+3&|-3+x\\ 0,5x^3&-3x^2&+5,5x&-3&=&0\end{array}
Für Polynome vom Grad 3 musst du eine Nullstelle erraten. Alle weiteren Nullstellen lassen sich dann mit einer Polynomdivision ermitteln.
Eine Nullstelle von 0,5x33x2+5,5x30,5x^3-3x^2+5,5x-3 ist x1=1x_1=1, denn
0,513312+5,513=0,53+5,53=0\displaystyle 0,5 \cdot 1^3-3 \cdot 1^2+5,5 \cdot 1-3 = 0,5 - 3 + 5,5 -3 =0
Um den ersten Schnittpunkt von ff und gg zu bestimmen, kannst du nun x1=1x_1=1 entweder in ff oder gg einsetzen.
Einsetzen in ff ergibt:
f(1)=1+3=2f\left(1\right)=-1+3=2
Der Schnittpunkt ist dann: S1=(12)S_1=\left(1\vert2\right)

Polynomdivision

Wende nun die Polynomdivision auf folgende Gleichung an:
0,5x33x2+5,5x3=00,5x^3-3x^2+5,5x-3=0
      (0,5x33x2  +5,5x3):(x1)=0,5x22,5x+3(0,5x30,5x2)                                              2,5x2+5,5x                    (2,5x2+2,5x    )                                                                3x3                                                      (3x3)                                                                                0\begin{array}{l}\;\;\;(0,5x^3-3x^2\;+5,5x-3):(x-1)=0,5x^2-2,5x+3\\\underline{-(0,5x^3-0,5x^2)\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-2,5x^2+5,5x\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(-2,5x^2+2,5x\;\;)\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;3x-3\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(3x-3)}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}

Verbleibende Nullstellen berechnen

Von 0,5x22,5x+30,5x^2-2,5x+3 kannst du nun noch die beiden Nullstellen bestimmen. Nutze hierfür beispielsweise die Mitternachtsformel.
0,5x22,5x+3=00,5x^2-2,5x+3=0
x2,3=2,5±(2,5)240,53(20,5)=2,5±0,251=2,5±0,51\begin{array}{rcl}\Rightarrow x_{2,3}&=&\frac{2,5\pm\sqrt{(-2,5)^2-4\cdot0,5\cdot3}}{(2\cdot0,5)}\\&=&\frac{2,5\pm\sqrt{0,25}}1\\&=&\frac{2,5\pm0,5}1\end{array}
x2=2,5+0,51=31=3x_2=\frac{2,5+0,5}1=\frac31=3
x3=2,50,51=21=2x_3=\frac{2,5-0,5}1=\frac21=2
Die Nullstellen von 0,5x33x2+5,5x30,5x^3-3x^2+5,5x-3 sind also:
x1=1;      x2=3;      x3=2;\displaystyle x_1=1;\;\;\; x_2=3;\;\;\; x_3=2;

weitere Schnittpunkte berechnen

Den zweiten und dritten Schnittpunkt von ff und gg, kannst du nun bestimmen, indem du x2=3x_2=3 und x3=2x_3=2 in ff oder gg einsetzt.
Einsetzen in ff ergibt:
  • f(3)=3+3=0S2(30)f(3)=-3 +3 = 0 \Rightarrow S_2(3|0)
  • f(2)=2+3=1S3(21)f(2)=-2+3=1 \Rightarrow S_3(2|1)

Schnittpunkte

Die Schnittpunkte der beiden Funktionen liegen bei S1(12)S_1(1\vert2), S2(30)S_2(3\vert0) und S3(21)S_3(2\vert1).