Löse die quadratische Gleichung  %%4x^2+c^2=-mx%%  in Abhängigkeit von den Parametern  %%c>0%%  und %%m%%

Mitternachtsformel mit Parametern

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%%4x^2+c^2=-mx%% mit %%c>0%% und %%m%%.

Forme die quadratische Gleichung so um, dass auf einer Seite die Null steht.

%%4x^2+mx+c^2=0%%

Lese %%a%%, %%b%% und %%c%% ab. Beachte, dass das %%c%% auf der linken Seite aus der allgemeinen Form stammt und das %%c%% auf der rechten Seite der Parameter in der Gleichung ist.

%%a=4,\;b=m,\;c=c^2%%

Berechne die Diskriminante %%D=b^2-4ac%% der Gleichung.

%%\begin{array}{l}D=m^2-4\cdot4\cdot c^2=\\m^2-16c^2=(m+4c)(m-4c)\end{array}%%

Überprüfe die Diskriminante in Abhängigkeit von %%m%% und %%c%% auf ihr Vorzeichen, indem du sie gleich Null setzt.

%%\begin{array}{l}D=(m+4c)\cdot(m-4c)=0\\\end{array}%% %%\Leftrightarrow\;m=-4c%% oder %%m=4c%%

Da die Diskriminante %%D(m)%% eine nach oben geöffnete Parabel darstellt, kannst du daran das Vorzeichenverhalten ablesen.

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/9363_f01k9kxAgf.xml

%%m<-4c%% oder %%m>4c%% :

zwei Lösungen

%%m=-4c%% oder %%m=4c%% :

eine Lösung

%%m\in(-4c,\;4c)\Rightarrow D<0%% :

keine Lösung

Wende nun die Mitternachtsformel an.

%%m<-4c%% oder %%m>4c%% :

%%x_{1,2}=\frac{-m\pm\sqrt{m^2-16c}}8%%

%%m=-4c%% oder %%m=4c%% :

%%x_{}=\frac{-m\pm0}8=\frac{-m}8%%

%%m\in(-4c,\;4c)%% :

keine Lösung