Aufgaben zu quadratischen Gleichungen mit Parametern

$ax^2+4x+4=2x+3$

Forme die quadratische Gleichung so um, dass auf einer Seite die Null steht, und fasse so weit wie möglich zusammen.

$ax^2+2x+1=0$

Lies die Werte der Koeffizienten $a$, $b$ und $c$ ab. Beachte, dass das $a$ auf der linken Seite dem $a$ aus der allgemeinen Form entspricht.

$a=a,\;b=2,\;c=1$

Im Sonderfall $a=0$ fällt der Term mit $x^2$ weg und es ergibt sich eine lineare Gleichung. Diesen Fall betrachtest du unten gesondert.

Sei nun $\mathbf a\neq\mathbf0$:

Berechne die Diskriminante $D=b^2-4ac$ der Gleichung.

$D=2^2-4\cdot a\cdot1=4-4a=4(1-a)$

Überprüfe die Diskriminante in Abhängigkeit von $a$ auf ihr Vorzeichen, indem du sie gleich Null setzt.

$D=4(1-a)=0\Leftrightarrow a=1$

Du kannst $1-a$ als eine Gerade mit negativer Steigung betrachten und so das Vorzeichenverhalten der Diskriminante bestimmen. Dadurch erhältst du eine Aussage über die Anzahl der Lösungen.

Dabei ist $a=0$ ein Spezielfall, den du getrennt betrachten musst.

$a<1\;\Rightarrow\;D>0\;\Rightarrow$

$a=1\;\Rightarrow\;D=0\;\Rightarrow$

$a>1\;\Rightarrow\;D<0\;\Rightarrow$

$a=1\;\Rightarrow$

zwei Lösungen

eine Lösungen

keine Lösung

Spezialfall

Wende die nun Mitternachtsformel an.

$a<1:\:x_{1{,}2}=\frac{-2\pm\sqrt{4(1-a)}}{2a}=\frac{-1\pm\sqrt{1-a}}a$

$a=1:\:x=\frac{-2\pm0}{2\cdot1}=-1$

$a>1:\;keine\;Lösung$

Sei nun $\boldsymbol a\boldsymbol=\mathbf0$:

In diesem Fall fällt der Term mit $x^2$ weg und es ergibt sich eine lineare Gleichung.

Diese kannst du durch Äquivalenzumformung lösen.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\begin{array}{ccc}0\cdot x^2+2x+1&=&0\\2x+1&=&0\\x&=&-\frac12\end{array}\end{array}$

$3x^2+mx-3=4x+m$

Forme die quadratische Gleichung so um, dass auf einer Seite die Null steht.

$3x^2+mx-4x-3-m=0$

Fasse die Summanden mit $x$ zusammen indem du $x$ ausklammerst.

$3x^2+(m-4)x-3-m=0$

Lies $a$, $b$ und $c$ ab.

$a=3,\;b=m-4,\;c=-3-m$

Berechne die Diskriminante $D=b^2-4ac$ der Gleichung. Dabei hilft dir die zweite binomische Formel .

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}D=(m-4)^2-4\cdot3(-3-m)\\=m^2-8m+16+36+12m\\=m^2+4m+52\end{array}$

Überprüfe die Diskriminante in Abhängigkeit von $m$ auf ihr Vorzeichen, indem du quadratisch ergänzt .

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}D=m^2+4m+52\\=m^2+4m+4+48\\=(m+2)^2+48\end{array}$

Du erkennst, dass $(m+2)^2$ als Quadrat immer größer oder gleich Null ist und somit die Diskriminante insgesamt immer größer als Null ist, so dass für alle $m$ zwei Lösungen existieren.

$D=(m+2)^2+48>0$ $\Rightarrow$ zwei Lösungen für alle $m$

Wende nun die Mitternachtsformel an.

$x_{1{,}2}=\frac{-m+4\pm\sqrt{(m+2)^2+48}}6$

Forme die quadratische Gleichung

$2x^2+5x+t=3x^2+3x-t$

so um, dass auf einer Seite die Null steht, und fasse so weit wie möglich zusammen.

$-x^2+2x+2t=0$

Lese $a$, $b$ und $c$ ab.

$a=-1,\;b=2,\;c=2t$

Berechne die Diskriminante $D=b^2-4ac$ der Gleichung.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}D=2^2-4\cdot(-1)\cdot2t\\=4+8t\end{array}$

Überprüfe die Diskriminante in Abhängigkeit von $t$ auf ihr Vorzeichen, indem du sie gleich Null setzt.

$D=4(1+2t)=0\Leftrightarrow t=-\frac12$

Da $1+2t$ eine Gerade mit positiver Steigung ist, kannst du das Vorzeichenverhalten der Diskriminante bestimmen und erhältst somit eine Aussage über die Anzahl der Lösungen.

$t>-\frac12\Rightarrow D>0\Rightarrow$ zwei Lösungen

$t=-\frac12\Rightarrow D=0\Rightarrow$ eine Lösung

$t<-\frac12\Rightarrow D<0\Rightarrow$ keine Lösung

Wende nun die Mitternachtsformel an, aber beachte dabei die verschiedenen Fälle für die Werte von $t$.

$t>-\frac12:\;x_{1{,}2}=\frac{-2\pm\sqrt{4(1+2t)}}{-2}=1\pm\sqrt{1+2t}$

$t=-\frac12:\;x_1=1$

$t<-\frac12:$ keine Lösung

Forme die quadratische Gleichung so um, dass auf einer Seite die Null steht.

$4x^2+k^2=-mx$

$4x^2+mx+k^2=0$

Lese die Koeffizienten $a$, $b$ und $c$ der allgemeinen Form ab.

$a=4,\;b=m,\;c=k^2$

Berechne die Diskriminante $D=b^2-4ac$ der Gleichung.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}D=m^2-4\cdot4\cdot k^2=\\m^2-16k^2=(m+4k)(m-4k)\end{array}$

Überprüfe die Diskriminante in Abhängigkeit von $m$ und $k$ auf ihr Vorzeichen, indem du sie gleich Null setzt.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}D=(m+4k)\cdot(m-4 k)=0\end{array}$ $\Leftrightarrow\;m=-4k$ oder $m=4k$

Da die Diskriminante $D(m)$ eine nach oben geöffnete Parabel darstellt, kannst du daran das Vorzeichenverhalten ablesen.

Ist $m<-4k$ oder $m>4k$ , dann ist $D\left(m\right)>0$ und es gibt zwei Lösungen. Ist $m=-4k$ oder $m=4k$, so ist $D\left(m\right)=0$ und es gibt genau eine Lösung. Für $m\ \in\left(-4k,4k\right)\$ ist $D\left(m\right)<0$, also gibt es keine Lösung.

Wende nun die Mitternachtsformel an, um die Lösungen zu bestimmen. Beachte dabei aber die verschiedenen Fälle von oben

Für $m<-4k$ oder $m>4k$ ist:

$x_{1{,}2}=\frac{-m\pm\sqrt{m^2-16k}}{8}$

Für $m=-4k$ oder $m=4k$ ist:

$x_{}=\frac{-m\pm0}8=\frac{-m}8$

Ist stattdessen $m\in(-4k,\;4k)$, dann gibt es keine Lösung.

Da auf einer Seite der Gleichung

$(m+1)x^2+x+m+1=0$

bereits Null steht, kannst du sofort die Parameter $a$, $b$ und $c$ der allgemeinen Form ablesen. Und zwar gilt:

$a=m+1,\;b=1,\;c=m+1$

Berechne die Diskriminante $D=b^2-4ac$ der Gleichung.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}D=1^2-4\cdot(m+1)\cdot(m+1)\\=1-4\cdot(m+1)^2\end{array}$

Überprüfe die Diskriminante in Abhängigkeit von $m$ auf ihr Vorzeichen:

Da $m>0$ gilt, ist $m+1>1$ und ebenso das Quadrat $(m+1)^2$ größer als $1$. Somit ist der Term $4\cdot(m+1)^2$ größer als $4$. Folglich ist die Diskriminante für jeden Wert von $m$ kleiner als Null. Daran kannst du also erkennen, dass es keine Lösungen gibt.

In der Gleichung steht bereits auf einer Seite die Null. Hier kannst du nichts mehr zusammenfassen. Jetzt kannst du a,b und c ablesen.

Berechne die Diskriminante $D=b^2-4ac$ der Gleichung.

Betrachte das Vorzeichen der Diskriminante in Abhängigkeit vom Parameter $t$ und leite daraus die Anzahl der Lösungen her. Beachte dabei, dass im Fall $t=0$ die allgemeingültige Gleichung $0=0$ entsteht und du somit jedes $x$ einsetzen kannst.

Bei dieser Gleichung steht auf einer Seite bereits die Null. Hier kannst du nichts mehr ausklammern. Jetzt kannst du a,b und c ablesen.

Der Fall $t=0$ ist laut Aufgabenstellung ausgeschlossen. Er muss also nicht explizit untersucht werden.

Berechne die Diskriminante $D=b^2-4ac$ der Gleichung.

Untersuche das Vorzeichenverhalten von $D$ und leite daraus die Anzahl der Lösungen her.

Setze in die Mitternachtsformel ein.

Auf der einen Seite der Gleichung steht bereits eine Null. Lies also die Parameter $a,b$ und $c$ aus der allgemeinen Form von quadratischen Gleichungen ab.

$x^2+2dx+9=0$

$a=1,\;b=2d,\;c=9$

Berechne die Diskriminante $D=b^2-4ac$ der Gleichung.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}D=(2d)^2-4\cdot1\cdot9\\=4d^2-36=4(d^2-9)\end{array}$

Überprüfe die Diskriminante in Abhängigkeit von $d$ auf ihr Vorzeichen, indem du sie gleich Null setzt. Dabei ist die dritte binomische Formel hilfreich.

$D=4(d^2-9)=4(d+3)(d-3)=0$

$\Leftrightarrow d=3$ oder $d=-3$

Da die Diskriminante in Abhängigkeit von $d$ eine nach oben geöffnete Parabel darstellt, bestimmst du das Vorzeichenverhalten der Diskriminante anhand ihrer Nullstellen und leitest darüber die Anzahl der Lösungen in Abhängigkeit vom Parameter $d$ her.

Ist $d<-3$ oder $d>3$, dann ist $D$ größer also $0\$und es gibt zwei Lösungen. Ist $d=-3$ oder $d=3$, dann ist die Diskriminante $D$ gleich $0$, sodass genau eine Lösung existiert. Ist stattdessen $d\ \in\left(-3{,}3\right)$, so gibt es keine Lösung.

Wende nun die Mitternachtsformel auf die verschiedenen Fälle an, um die Lösungen jeweils zu bestimmen.

Für $d<-3$ oder $d>3\$ist

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}x_{1{,}2}=\frac{-2d\pm\sqrt{4\cdot(d+3)\cdot(d-3)}}2\\\;\;\;\;\;\;=-d\pm\sqrt{\textstyle(d+3)\cdot(d-3)}\end{array}$

Für $d=-3$ oder $d=3:$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}x=\frac{-2d\pm\sqrt0}2=-d\end{array}$

Für $d\ \in\left(-3{,}3\right)$ existieren keine Lösungen.

$(a+1)x^2+ax+a=0$

Erkenne, dass auf einer Seite die Null steht und du nichts mehr ausklammern kannst.

Lies $a$, $b$ und $c$ ab. Beachte, dass $a$ auch als Parameter in der allgemeinen Form der quadratischen Gleichungen vorkommt.

$a=a+1,\;b=a,\;c=a$

Im Sonderfall $a=-1$ fällt der Term mit $x^2$ weg und es ergibt sich eine lineare Gleichung. Diesen Fall betrachtest du unten gesondert.

Sei nun $a\ne-\mathbf{1}$:

Berechne die Diskriminante $D=b^2-4ac$ der Gleichung.

Überprüfe die Diskriminante in Abhängigkeit von $a$ auf ihr Vorzeichen, indem du sie gleich Null setzt.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}D=a\cdot(-3a-4)=0\\\Leftrightarrow a=0\;\vee a=-\frac43\end{array}$

Da $-3a-4$ eine Gerade mit negativer Steigung in $a$ ist, kannst du das Vorzeichenverhalten der Diskriminante bestimmen und erhältst somit eine Aussage über die Anzahl der Lösungen.

$a<-\frac43\;\Rightarrow\;D>0\;\;\Rightarrow$ zwei Lösungen

$a=-\frac43\vee a=0\;\Rightarrow\;D=0\;\Rightarrow$ eine Lösung

$a>-\frac43\;\Rightarrow\;D<0\;\Rightarrow$ keine Lösung

Wende nun die Mitternachtsformel an.

für $a<-\frac43:$

$\Rightarrow\;x_{1{,}2}=\frac{-a\pm\sqrt{a\cdot(-3a-4)}}{2(a+1)}$

für$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}a=-\frac43\vee a=0:\end{array}$

$\Rightarrow\;x=\frac{-a\pm0}{2(a+1)}=\frac{-a}{2(a+1)}$

für$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}a>-\frac43:\;\end{array}$

$\Rightarrow\;keine\;Lösung$

Sei nun $\boldsymbol a\boldsymbol=\boldsymbol-\mathbf1$ .

In diesem Fall erhältst du eine lineare Gleichung. Setze dazu $a=-1$ in die Gleichung ein und löse sie auf.

Ergebnis:

für $a<-\frac43:$

$\Rightarrow x_{1{,}2}=\frac{-a\pm\sqrt{a\cdot(-3a-4)}}{2(a+1)}$

für $a=-\frac43\vee a=0:$

$\Rightarrow\;x=\frac{-a\pm0}{2(a+1)}=\frac{-a}{2(a+1)}$

für $a>-\frac43:$

$\Rightarrow\;keine\;Lösung$

für $a=-1:$

$\Rightarrow x=-1$

$3x^2+2x+1=(m+1)x+4$

Forme die quadratische Gleichung so um, dass auf einer Seite die Null steht, und fasse zusammen.

$3x^2+2x-(m+1)x-3=0$

Fasse die Terme mit $x$ zusammen indem du den Faktor x ausklammerst.

$3x^2+(1-m)x-3=0$

Lies $a$, $b$ und $c$ ab.

$a=3,\;b=1-m,\;c=-3$

Berechne die Diskriminante $D=b^2-4ac$ der Gleichung.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}D=(1-m)^2-4\cdot3\cdot(-3)=(1-m)^2+36\end{array}$

Überprüfe die Diskriminante in Abhängigkeit von $m$ auf ihr Vorzeichen, indem du beachtest, dass ein Quadrat immer größer oder gleich als Null ist, und leite daraus die Anzahl der Lösungen her.

$D=(1-m)^2+36>0$

$\Rightarrow$ zwei Lösungen für alle m

Wende nun die Mitternachtsformel an.

$x_{1{,}2}=\frac{-1+m\pm\sqrt{(1-m)^2+36}}6$