$(a+1)x^2+ax+a=0(a+1)x^2+ax+a=0$

Erkenne, dass auf einer Seite die Null steht und du nichts mehr ausklammern kannst.

Lies $aa$, $bb$ und $cc$ ab. Beachte, dass $aa$ auch als Parameter in der allgemeinen Form der quadratischen Gleichungen vorkommt.

$a=a+1,b=a,c=aa=a+1,\backslash ;b=a,\backslash ;c=a$

Im Sonderfall $a=-1a=-1$ fällt der Term mit $x^{2}x^2$ weg und es ergibt sich eine lineare Gleichung. Diesen Fall betrachtest du unten gesondert.

Sei nun $a\mathrm{\ne }-\mathbf{1}a\backslash ne-\backslash mathbf\{1\}$:

Berechne die Diskriminante $D=b^2-4acD=b^2-4ac$ der Gleichung.

Überprüfe die Diskriminante in Abhängigkeit von $aa$ auf ihr Vorzeichen, indem du sie gleich Null setzt.

$\begin{array}{c}D=a\cdot (-3a-4)=0\\ \iff a=0\vee a=-\frac{4}{3}\end{array}\backslash def\backslash arraystretch\{1.25\}\; \backslash begin\{array\}\{l\}D=a\backslash cdot(-3a-4)=0\backslash \backslash \backslash Leftrightarrow\; a=0\backslash ;\backslash vee\; a=-\backslash frac43\backslash end\{array\}$

Da $-3a-4-3a-4$ eine Gerade mit negativer Steigung in $aa$ ist, kannst du das Vorzeichenverhalten der Diskriminante bestimmen und erhältst somit eine Aussage über die Anzahl der Lösungen.

zwei Lösungen

$a=-\frac{4}{3}\vee a=0\Rightarrow D=0\Rightarrow a=-\backslash frac43\backslash vee\; a=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;D=0\backslash ;\backslash Rightarrow$ eine Lösung

keine Lösung

Wende nun die Mitternachtsformel an.

für

$\Rightarrow x_{\mathrm{1,2}}=\frac{-a\pm \sqrt{a\cdot (-3a-4)}}{2(a+1)}\backslash Rightarrow\backslash ;x\_\{1\{,\}2\}=\backslash frac\{-a\backslash pm\backslash sqrt\{a\backslash cdot(-3a-4)\}\}\{2(a+1)\}$

für$\begin{array}{c}a=-\frac{4}{3}\vee a=0:\end{array}\backslash def\backslash arraystretch\{1.25\}\; \backslash begin\{array\}\{l\}a=-\backslash frac43\backslash vee\; a=0:\backslash end\{array\}$

$\Rightarrow x=\frac{-a\pm 0}{2(a+1)}=\frac{-a}{2(a+1)}\backslash Rightarrow\backslash ;x=\backslash frac\{-a\backslash pm0\}\{2(a+1)\}=\backslash frac\{-a\}\{2(a+1)\}$

für$\begin{array}{c}a>-\frac{4}{3}:\end{array}\backslash def\backslash arraystretch\{1.25\}\; \backslash begin\{array\}\{l\}a>-\backslash frac43:\backslash ;\backslash end\{array\}$

$\Rightarrow keineL\ddot{o}sung\backslash Rightarrow\backslash ;keine\backslash ;Lösung$

Sei nun $\mathit{a}=\mathit{-}\mathbf{1}\backslash boldsymbol\; a\backslash boldsymbol=\backslash boldsymbol-\backslash mathbf1$ .

In diesem Fall erhältst du eine lineare Gleichung. Setze dazu $a=-1a=-1$ in die Gleichung ein und löse sie auf.

Ergebnis:

für

$\Rightarrow x_{\mathrm{1,2}}=\frac{-a\pm \sqrt{a\cdot (-3a-4)}}{2(a+1)}\backslash Rightarrow\; x\_\{1\{,\}2\}=\backslash frac\{-a\backslash pm\backslash sqrt\{a\backslash cdot(-3a-4)\}\}\{2(a+1)\}$

für $a=-\frac{4}{3}\vee a=0:a=-\backslash frac43\backslash vee\; a=0:$

$\Rightarrow x=\frac{-a\pm 0}{2(a+1)}=\frac{-a}{2(a+1)}\backslash Rightarrow\backslash ;x=\backslash frac\{-a\backslash pm0\}\{2(a+1)\}=\backslash frac\{-a\}\{2(a+1)\}$

für $a>-\frac{4}{3}:a>-\backslash frac43:$

$\Rightarrow keineL\ddot{o}sung\backslash Rightarrow\backslash ;keine\backslash ;Lösung$

für $a=-1:a=-1:$

$\Rightarrow x=-1\backslash Rightarrow\; x=-1$