Parameter in quadratischen Gleichungen

$2$. Teil, $1$. Schritt: Berechne die Diskriminante   $D=b^2-4ac$ ; dabei ist die erste binomische Formel nützlich.

$2$. Teil, $2$. Schritt: Untersuche das Vorzeichenverhalten der Diskriminante, indem du sie gleich null setzt und mithilfe der Mitternachtsformel die Nullstellen berechnest.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}m^2+6m-7=0\;\\\Rightarrow D=6^2-4\cdot1\cdot(-7)=64\\\Rightarrow m_{1{,}2}=\frac{-6\pm8}2\\\Rightarrow m_1=1,\;m_2=-7\end{array}$

Immer noch $2$. Teil, $2$. Schritt: Da  $m^2+6m-7$  eine nach oben geöffnete Parabel ist, ist die Diskriminante für  $m<-7$ und $m>1$  positiv, für  $m=1$  und  $m=-7$  gleich null und für  $m\;\in\;\rbrack-7;\;1\lbrack$  negativ.

$m<-7$ oder $m>1$ : Zwei Lösungen 

$m=-7$  oder  $m=1$ : Eine Lösung 

$-7< m <1$: Keine Lösung

$3$. Teil: Berechne nun mithilfe der Mitternachtsformel die Lösungen  $x_{1{,}2}$ in Abhängigkeit vom Parameter $m$.

$m<-7 \;$ oder $\; m>1: \\$ $x_{1{,}2}=\frac{3+m\pm\sqrt{m^2+6m-7}}2$

$m=-7$  oder  $m=1$ :  $x_1=\frac{3+m}2$  

$-7<m<1:$ Keine Lösung

 mit  $\gamma,\;\omega^2>0$

In diesem Fall lässt du den ersten und zweiten Schritt des $1$. Teils weg, da das Format der Gleichung schon passt, weshalb du jetzt schon $a$, $b$ und $c$ abliest.

$a=1,\;b=2\gamma,\;c=\omega^2$

$2$. Teil, $1$. Schritt: Berechne die Diskriminante   $D=b^2-4ac$.

$D=\left(2\gamma\right)^2-4\cdot1\cdot\omega^2=4\cdot\left(\gamma^2-\omega^2\right)$

$2$. Teil, $2$. Schritt: Untersuche das Vorzeichenverhalten der Diskriminante, indem du die Parameter betrachtest.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccc}D>0& \Leftrightarrow& \gamma > \omega;\\ D=0&\Leftrightarrow& \gamma= \omega;\\ D<0 & \Leftrightarrow & \gamma < \omega; \end{array}$

Immer noch $2$. Teil, $2$. Schritt: Lies am Verhalten der Parameter (und damit der Diskriminanten) ab, wie viele Lösungen die Gleichung besitzt.

$\gamma>\omega$ : zwei Lösungen 

$\gamma=\omega$ : eine Lösung 

$\gamma<\omega$ : keine Lösung

$3$. Teil: Berechne nun mithilfe der Mitternachtsformel die Lösungen  $x_{1{,}2}$  in Abhängigkeit der Parameter  $\gamma$  und  $\omega$.

$=-\gamma\pm\sqrt{\gamma^2-\omega^2}$

$\gamma=\omega$ :  $x_1=-\gamma$

$\gamma < \omega$: keine Lösung

Im Sonderfall $m=3$ fällt der Term mit $x^2$ weg und es ergibt sich eine lineare Gleichung ; diesen Fall betrachtest du unten gesondert.

Sei nun zunächst  $\boldsymbol {m} \boldsymbol{\neq}\mathbf {3}$.

$2$. Teil, $1$. Schritt: Berechne die Diskriminante   $D=b^2-4ac$ ; dabei ist die erste binomische Formel nützlich

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lll}D&=&\left(m+4\right)^2-4\cdot\left(m-3\right)\cdot2\\&=&m^2+8m+16-8m+24\;\\&=&m^2+40\end{array}$

$2$. Teil, $2$. Schritt: Untersuche das Vorzeichenverhalten der Diskriminante: Diese ist hier immer positiv, da $m^2$  immer größer oder gleich null ist und deshalb  $m^2+40$ immer echt größer als Null ist.

$D=m^2+40\geq40>0$

Immer noch $2$. Teil, $2$. Schritt: Lies aus dem Vorzeichenverhalten der Diskriminante die Anzahl der Lösungen ab.

Für alle  $m\neq3$  gilt  $D>0\Rightarrow$ zwei Lösungen unabhängig von $m$.

$3$. Teil: Berechne nun mithilfe der Mitternachtsformel die Lösungen $x_{1{,}2}$ in Abhängigkeit vom Parameter $m$.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}m\neq3:&&x_{1{,}2}&=&\frac{-\left(m+4\right)\pm\sqrt{m^2+40}}{2\left(m-3\right)}\end{array}$

Sei nun $m=3$.

In diesem Fall erhältst du eine lineare Gleichung. Setze dazu $m=3$ ein und löse auf.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccc}&\left(3-3\right)x^2+\left(3+4\right)x+2&=&0\\\Leftrightarrow&7x+2&=&0\\\Leftrightarrow&x&=&-\frac27\end{array}$