$(a+1)x^2+ax+a=0$

Erkenne, dass auf einer Seite die Null steht und du nichts mehr ausklammern kannst.

Lies $a$, $b$ und $c$ ab. Beachte, dass $a$ auch als Parameter in der allgemeinen Form der quadratischen Gleichungen vorkommt.

$a=a+1,\;b=a,\;c=a$

Im Sonderfall $a=-1$ fällt der Term mit $x^2$ weg und es ergibt sich eine lineare Gleichung. Diesen Fall betrachtest du unten gesondert.

Sei nun $a\ne-\mathbf{1}$:

Berechne die Diskriminante $D=b^2-4ac$ der Gleichung.

Überprüfe die Diskriminante in Abhängigkeit von $a$ auf ihr Vorzeichen, indem du sie gleich Null setzt.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}D=a\cdot(-3a-4)=0\\\Leftrightarrow a=0\;\vee a=-\frac43\end{array}$

Da $-3a-4$ eine Gerade mit negativer Steigung in $a$ ist, kannst du das Vorzeichenverhalten der Diskriminante bestimmen und erhältst somit eine Aussage über die Anzahl der Lösungen.

$a<-\frac43\;\Rightarrow\;D>0\;\;\Rightarrow$ zwei Lösungen

$a=-\frac43\vee a=0\;\Rightarrow\;D=0\;\Rightarrow$ eine Lösung

$a>-\frac43\;\Rightarrow\;D<0\;\Rightarrow$ keine Lösung

Wende nun die Mitternachtsformel an.

für $a<-\frac43:$

$\Rightarrow\;x_{1{,}2}=\frac{-a\pm\sqrt{a\cdot(-3a-4)}}{2(a+1)}$

für$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}a=-\frac43\vee a=0:\end{array}$

$\Rightarrow\;x=\frac{-a\pm0}{2(a+1)}=\frac{-a}{2(a+1)}$

für$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}a>-\frac43:\;\end{array}$

$\Rightarrow\;keine\;Lösung$

Sei nun $\boldsymbol a\boldsymbol=\boldsymbol-\mathbf1$ .

In diesem Fall erhältst du eine lineare Gleichung. Setze dazu $a=-1$ in die Gleichung ein und löse sie auf.

Ergebnis:

für $a<-\frac43:$

$\Rightarrow x_{1{,}2}=\frac{-a\pm\sqrt{a\cdot(-3a-4)}}{2(a+1)}$

für $a=-\frac43\vee a=0:$

$\Rightarrow\;x=\frac{-a\pm0}{2(a+1)}=\frac{-a}{2(a+1)}$

für $a>-\frac43:$

$\Rightarrow\;keine\;Lösung$

für $a=-1:$

$\Rightarrow x=-1$