Forme die quadratische Gleichung so um, dass auf einer Seite die Null steht.

$4x^2+k^2=-mx$

$4x^2+mx+k^2=0$

Lese die Koeffizienten $a$, $b$ und $c$ der allgemeinen Form ab.

$a=4,\;b=m,\;c=k^2$

Berechne die Diskriminante $D=b^2-4ac$ der Gleichung.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}D=m^2-4\cdot4\cdot k^2=\\m^2-16k^2=(m+4k)(m-4k)\end{array}$

Überprüfe die Diskriminante in Abhängigkeit von $m$ und $k$ auf ihr Vorzeichen, indem du sie gleich Null setzt.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}D=(m+4k)\cdot(m-4 k)=0\end{array}$ $\Leftrightarrow\;m=-4k$ oder $m=4k$

Da die Diskriminante $D(m)$ eine nach oben geöffnete Parabel darstellt, kannst du daran das Vorzeichenverhalten ablesen.

Ist $m<-4k$ oder $m>4k$ , dann ist $D\left(m\right)>0$ und es gibt zwei Lösungen. Ist $m=-4k$ oder $m=4k$, so ist $D\left(m\right)=0$ und es gibt genau eine Lösung. Für $m\ \in\left(-4k,4k\right)\$ ist $D\left(m\right)<0$, also gibt es keine Lösung.

Wende nun die Mitternachtsformel an, um die Lösungen zu bestimmen. Beachte dabei aber die verschiedenen Fälle von oben

Für $m<-4k$ oder $m>4k$ ist:

$x_{1{,}2}=\frac{-m\pm\sqrt{m^2-16k}}{8}$

Für $m=-4k$ oder $m=4k$ ist:

$x_{}=\frac{-m\pm0}8=\frac{-m}8$

Ist stattdessen $m\in(-4k,\;4k)$, dann gibt es keine Lösung.