$a{x}^2+4x+4=2x+3ax^2+4x+4=2x+3$

Forme die quadratische Gleichung so um, dass auf einer Seite die Null steht, und fasse so weit wie möglich zusammen.

$a{x}^2+2x+1=0ax^2+2x+1=0$

Lies die Werte der Koeffizienten $aa$, $bb$ und $cc$ ab. Beachte, dass das $aa$ auf der linken Seite dem $aa$ aus der allgemeinen Form entspricht.

$a=a,b=2,c=1a=a,\backslash ;b=2,\backslash ;c=1$

Im Sonderfall $a=0a=0$ fällt der Term mit $x^{2}x^2$ weg und es ergibt sich eine lineare Gleichung. Diesen Fall betrachtest du unten gesondert.

Sei nun $\mathbf{a}\mathrm{\ne }\mathbf{0}\backslash mathbf\; a\backslash neq\backslash mathbf0$:

Berechne die Diskriminante $D=b^2-4acD=b^2-4ac$ der Gleichung.

$D=2^2-4\cdot a\cdot 1=4-4a=4(1-a)D=2^2-4\backslash cdot\; a\backslash cdot1=4-4a=4(1-a)$

Überprüfe die Diskriminante in Abhängigkeit von $aa$ auf ihr Vorzeichen, indem du sie gleich Null setzt.

$D=4(1-a)=0\iff a=1D=4(1-a)=0\backslash Leftrightarrow\; a=1$

Du kannst $1-a1-a$ als eine Gerade mit negativer Steigung betrachten und so das Vorzeichenverhalten der Diskriminante bestimmen. Dadurch erhältst du eine Aussage über die Anzahl der Lösungen.

Dabei ist $a=0a=0$ ein Spezielfall, den du getrennt betrachten musst.

$a=1\Rightarrow D=0\Rightarrow a=1\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;D=0\backslash ;\backslash Rightarrow$

$a=1\Rightarrow a=1\backslash ;\backslash Rightarrow$

zwei Lösungen

eine Lösungen

keine Lösung

Spezialfall

Wende die nun Mitternachtsformel an.

$a=1:x=\frac{-2\pm 0}{2\cdot 1}=-1a=1:\backslash :x=\backslash frac\{-2\backslash pm0\}\{2\backslash cdot1\}=-1$

$a>1:keineL\ddot{o}sunga>1:\backslash ;keine\backslash ;Lösung$

Sei nun $\mathit{a}=\mathbf{0}\backslash boldsymbol\; a\backslash boldsymbol=\backslash mathbf0$:

In diesem Fall fällt der Term mit $x^{2}x^2$ weg und es ergibt sich eine lineare Gleichung.

Diese kannst du durch Äquivalenzumformung lösen.