$3x^2+mx-3=4x+m3x^2+mx-3=4x+m$

Forme die quadratische Gleichung so um, dass auf einer Seite die Null steht.

$3x^2+mx-4x-3-m=03x^2+mx-4x-3-m=0$

Fasse die Summanden mit $xx$ zusammen indem du $xx$ ausklammerst.

$3x^2+(m-4)x-3-m=03x^2+(m-4)x-3-m=0$

Lies $aa$, $bb$ und $cc$ ab.

$a=3,b=m-4,c=-3-ma=3,\backslash ;b=m-4,\backslash ;c=-3-m$

Berechne die Diskriminante $D=b^2-4acD=b^2-4ac$ der Gleichung. Dabei hilft dir die zweite binomische Formel .

$\begin{array}{c}D=(m-4{)}^2-4\cdot 3(-3-m)\\ =m^2-8m+16+36+12m\\ =m^2+4m+52\end{array}\backslash def\backslash arraystretch\{1.25\}\; \backslash begin\{array\}\{l\}D=(m-4)^2-4\backslash cdot3(-3-m)\backslash \backslash =m^2-8m+16+36+12m\backslash \backslash =m^2+4m+52\backslash end\{array\}$

Überprüfe die Diskriminante in Abhängigkeit von $mm$ auf ihr Vorzeichen, indem du quadratisch ergänzt .

$\begin{array}{c}D=m^2+4m+52\\ =m^2+4m+4+48\\ =(m+2{)}^2+48\end{array}\backslash def\backslash arraystretch\{1.25\}\; \backslash begin\{array\}\{l\}D=m^2+4m+52\backslash \backslash =m^2+4m+4+48\backslash \backslash =(m+2)^2+48\backslash end\{array\}$

Du erkennst, dass $(m+2{)}^2(m+2)^2$ als Quadrat immer größer oder gleich Null ist und somit die Diskriminante insgesamt immer größer als Null ist, so dass für alle $mm$ zwei Lösungen existieren.

$D=(m+2{)}^2+48>0D=(m+2)^2+48>0$ $\Rightarrow \backslash Rightarrow$ zwei Lösungen für alle $mm$

Wende nun die Mitternachtsformel an.

$x_{\mathrm{1,2}}=\frac{-m+4\pm \sqrt{(m+2{)}^2+48}}{6}x\_\{1\{,\}2\}=\backslash frac\{-m+4\backslash pm\backslash sqrt\{(m+2)^2+48\}\}6$