$3x^2+mx-3=4x+m$

Forme die quadratische Gleichung so um, dass auf einer Seite die Null steht.

$3x^2+mx-4x-3-m=0$

Fasse die Summanden mit $x$ zusammen indem du $x$ ausklammerst.

$3x^2+(m-4)x-3-m=0$

Lies $a$, $b$ und $c$ ab.

$a=3,\;b=m-4,\;c=-3-m$

Berechne die Diskriminante $D=b^2-4ac$ der Gleichung. Dabei hilft dir die zweite binomische Formel .

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}D=(m-4)^2-4\cdot3(-3-m)\\=m^2-8m+16+36+12m\\=m^2+4m+52\end{array}$

Überprüfe die Diskriminante in Abhängigkeit von $m$ auf ihr Vorzeichen, indem du quadratisch ergänzt .

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}D=m^2+4m+52\\=m^2+4m+4+48\\=(m+2)^2+48\end{array}$

Du erkennst, dass $(m+2)^2$ als Quadrat immer größer oder gleich Null ist und somit die Diskriminante insgesamt immer größer als Null ist, so dass für alle $m$ zwei Lösungen existieren.

$D=(m+2)^2+48>0$ $\Rightarrow$ zwei Lösungen für alle $m$

Wende nun die Mitternachtsformel an.

$x_{1{,}2}=\frac{-m+4\pm\sqrt{(m+2)^2+48}}6$