Bestimme die Lösungsmengen folgender Gleichungssysteme.

%%\begin{array}{l}(I)\;2y=2x-40\\(II)\;3x=10-2y\end{array}%%

Gegeben:   %%\begin{array}{l}(I)\;2y=2x-40\\(II)\;3x=10-2y\end{array}%%

Setze die Gleichung %%(I)%% in %%(II)%% ein.

%%3x=10-\left(2x-40\right)%%

Löse die Klammer auf und löse nach %%y%% auf.

%%3x=10-2x+40%%

%%\left|+2x\right.%%

%%5x=50%%

%%\left|:5\right.%%

%%x=10%%

Um %%y%% zu finden, setze den Wert von %%x%% in %%(I)%% ein.

%%2y=2\cdot10-40%%

%%2y=-20%%

%%\left|:2\right.%%

%%y=-10%%

Gib die Lösungsmenge an, dabei zuerst die Lösung für %%x%%, dann für %%y%%.

%%L=\left\{\left(10\;\left|\;-10\right.\right)\right\}%%

 

 

 

Gegeben:  %%\begin{array}{l}(I)\;2y=2x-40\\(II)\;3x=10-2y\end{array}%%

Forme %%(II)%% um, sodass %%2y%% auf einer Seite alleine steht.  %%\left|+2y\;\;\;\left|-3x\right.\right.%%

%%(II)`\;2y=10-3x%%

Setze die beiden Gleichungen gleich.

%%2x-40=10-3x%%

Löse nach %%x%% auf.  %%\left|+3x\;\;\;\left|+40\right.\right.%%

%%5x=50%%

%%\left|:5\right.%%

%%x=10%%

Um %%y%% zu finden, setze den Wert von %%x%% in %%(II)'%% ein.

%%2y=10-3\cdot10%%

%%2y=-20%%

%%\left|:2\right.%%

%%y=-10%%

Gib die Lösungsmenge an, dabei zuerst die Lösung für %%x%%, dann für %%y%%.

%%L=\left\{\left(10\;\left|\;-10\right.\right)\right\}%%

 

 

Gegeben:  %%\begin{array}{l}(I)\;2y=2x-40\\(II)\;3x=10-2y\end{array}%%

Forme die Gleichungen so um, dass die Zahlen mit den Variablen auf einer Seite und die ohne, auf der anderen stehen.

%%\begin{array}{l}(I)`\;-40=2y-2x\\(II)`-10=-2y-3x\end{array}%%

Wende das Additionsverfahren an.

%%\frac{\begin{array}{l}(I)`\;-40=\;\;\;\;2y-2x\\(II)`-10=-2y-3x\end{array}}{\;\;\;\;\;\;-50=\;\;\;\;\;\;\;\;-5x}%%

%%\left|:-5\right.%%

%%x=10%%

Um %%y%% zu finden, setze den Wert von %%x%% in %%(II)'%% ein.

%%2y=2\cdot10-40%%

%%2y=-20%%

%%\left|:2\right.%%

%%y=-10%%

Gib die Lösungsmenge an, dabei zuerst die Lösung für %%x%%, dann für %%y%%.

%%L=\left\{\left(10\;\left|\;-10\right.\right)\right\}%%

%%\begin{array}{l}(I)\;\;\frac x2-\frac{3y}5=3\\(II)\;\frac x4+y=8\end{array}%%

Gegeben:   %%\begin{array}{l}(I)\;\;\frac x2-\frac{3y}5=3\\(II)\;\frac x4+y=8\end{array}%%

Forme %%(II)%% so um, dass auf der einen Seite am Ende %%\frac x2%% steht.

%%(II)\;\frac x4+y=8%%

%%\left|\cdot2\right.%%

%%(II)`\;\frac x2+2y=16%%

%%\left|-2y\right.%%

%%(II)`\;\frac x2=16-2y%%

Setze %%(II)'%% in %%(I)%% ein.

%%16-2y-\frac{3y}5=3%%

Löse nach %%y%% auf.  %%\left|-16\right.%%

%%-\frac{13y}5=-13%%

%%\left|\cdot5\right.%%

%%-13y=-65%%

%%\left|:-13\right.%%

%%y=5%%

Um %%x%% zu finden, setze den Wert von %%y%% in %%(II)'%% ein.

%%\frac x2=16-2\cdot5%%

%%\frac x2=6%%

%%\left|\cdot2\right.%%

%%x=12%%

Gib die Lösungsmenge an, dabei zuerst die Lösung für %%x%%, dann für %%y%%.

%%L=\left\{\left(12\;\left|\;5\right.\right)\right\}%%

 

 

Gegeben:   %%\begin{array}{l}(I)\;\;\frac x2-\frac{3y}5=3\\(II)\;\frac x4+y=8\end{array}%%

Forme %%(II)%% und %%(I)%% so um, dass am Ende %%\frac x2%% auf einer Seite der jeweiligen Gleichung steht.

%%(II)\;\frac x4+y=8%%

%%\left|\cdot2\right.%%

%%(II)`\;\frac x2+2y=16%%

%%\left|-2y\right.%%

%%(II)`\;\frac x2=16-2y%%

%%(I)=\frac x2-\frac{3y}5=3%%

%%\left|+\frac{3y}5\right.%%

%%(I)`=\frac x2=3+\frac{3y}5%%

Setze %%(I)'%% und %%(II)'%% gleich.

%%16-2y=3+\frac{3y}5%%

Löse nach %%y%% auf. %%\left|-3\;\;\left|+2y\right.\right.%%

%%13=\frac{13y}5%%

%%\left|\cdot5\right.%%

%%13y=65%%

%%\left|:13\right.%%

%%y=5%%

Um %%x%% zu finden, setze den Wert von %%y%% in %%(II)'%% ein.

%%\frac x2=16-2\cdot5%%

%%\frac x2=6%%

%%\left|\cdot2\right.%%

%%x=12%%

Gib die Lösungsmenge an, dabei zuerst die Lösung für %%x%%, dann für %%y%%.

%%L=\left\{\left(12\;\left|\;5\right.\right)\right\}%%

 

 

%%\Rightarrow\;\;%% Das Verfahren ist hier nicht sinnvoll.

%%\begin{array}{l}(I)\;\;\frac{4}{3x+1}=\frac{2}{3y-13}\\(II)\;\frac 2{5x-10}=\frac{4}{7y-6}\end{array}%%

Gegeben:  %%\begin{array}{l}(I)\;\;\frac{4}{3x+1}=\frac{2}{3y-13}\\(II)\;\frac 2{5x-10}=\frac{4}{7y-6}\end{array}%%

Forme %%(I)%% und %%(II)%% so um, dass beide Gleichungen keinen Bruch mehr beinhalten.

%%\begin{array}{l}(I)\;\;\frac{4}{3x+1}=\frac{2}{3y-13}\\(II)\;\frac 2{5x-10}=\frac{4}{7y-6}\end{array}%%

%%\left|\frac{(I)\;\left|\cdot\left(3x+1\right)\;\;\left|\cdot\left(3y-13\right)\right.\right.}{(II)\;\left|\cdot\left(5x-10\right)\;\left|\cdot\left(7y-6\right)\right.\right.}\right.%%

 

%%\begin{array}{l}(I)\;\;4\cdot(3y-13)=2(3x+1)\\(II)\;2\cdot(7y-6)=4(5x-10)\end{array}%%

 

%%\begin{array}{l}(I)\;\;12y-52=6x+2\\(II)\;14y-12=20x-40\end{array}%%

Forme %%(I)%% so um,dass nur noch %%y%% auf einer Seite steht.    %%\left|+52\right.%%

 

%%(\textstyle I\textstyle)\textstyle\;\textstyle\;\textstyle12\textstyle y\textstyle=\textstyle6\textstyle x\textstyle+\textstyle54%%

%%\left|\div12\right.%%

%%(\textstyle I\textstyle)\textstyle\;\textstyle\;\textstyle y\textstyle=\textstyle0\textstyle,\textstyle5\textstyle x\textstyle+\textstyle4\textstyle,\textstyle5%%

Setze %%y%% in %%(II)%% ein.

 

%%(\textstyle I\textstyle I\textstyle)\textstyle\;\textstyle\;\textstyle14\textstyle\left(0,5x+4,5\right)\textstyle-\textstyle12\textstyle=\textstyle20\textstyle x\textstyle-\textstyle40%%

Löse nach %%x%% auf.

%%(\textstyle I\textstyle I\textstyle)\textstyle\;\textstyle\;\textstyle7\textstyle x\textstyle+\textstyle51\textstyle=\textstyle20\textstyle x\textstyle-\textstyle40%%

%%\left|+40\;\left|-7x\right.\right.%%

%%(\textstyle I\textstyle I\textstyle)\textstyle\;\textstyle\;\textstyle91\textstyle=\textstyle13\textstyle x%%

%%\left|\div13\right.%%

%%(\textstyle I\textstyle I\textstyle)\textstyle\;\textstyle\;\textstyle7\textstyle=\textstyle x%%

Setze %%x%% in %%(I)%% ein, um %%y%% zu finden.

 

%%(\textstyle I\textstyle)\textstyle\;\textstyle y\textstyle=\textstyle0\textstyle,\textstyle5\textstyle\cdot\left(7\right)\textstyle+\textstyle4\textstyle,\textstyle5%%

%%(\textstyle I\textstyle)\textstyle\;\textstyle\;\textstyle y\textstyle=\textstyle8%%

Mache die Probe mit der Grundgleichung %%(II)%%.

 

%%(\textstyle I\textstyle I\textstyle)\textstyle\;\textstyle\;\textstyle14\textstyle\cdot\left(8\right)\textstyle-\textstyle12\textstyle=\textstyle100%%

%%(\textstyle I\textstyle I\textstyle)\textstyle\;\textstyle20\textstyle\cdot\left(7\right)\textstyle-\textstyle40\textstyle=\textstyle100%%

Gib die Lösungmenge an. %%L=\left\{\left(x\left|y\right.\right)\right\}%%

%%L=\left\{\left(7\left|8\right.\right)\right\}%%

%%\left(I\right)\frac7x-\frac{12}y=\frac56%%

%%\left(II\right)\frac4y+\frac52=\frac9x%%

Gegeben:

%%\left(I\right)\frac7x-\frac{12}y=\frac56%%

%%\left(II\right)\frac4y+\frac52=\frac9x%%

Forme %%(II)%% so um, dass auf einer Seite alle Variablen und auf der anderen nur Zahlen sind.

%%\left(I\right)\frac7x-\frac{12}y=\frac56%%

%%\left(II\right)\frac4y+\frac52=\frac9x%%

%%\left|(II)\;-\frac9x\;\;\;\;\left|-\frac52\right.\right.%%

%%\left(I\right)\frac7x-\frac{12}y=\frac56%%

%%\left(II\right)\frac4y-\frac9x=-\frac52%%

Jetzt ordne alle Variablen so an, dass diese untereinander stehen.

%%\left(I\right)\frac7x-\frac{12}y=\frac56%%

%%\left(II\right)-\frac9x+\frac4y=-\frac52%%

Nimm die Gleichung %%(II)%% mal %%3%%, um das Additionsverfahren anwenden zu können.

%%\left(I\right)\frac7x-\frac{12}y=\frac56%%

%%\left(II\right)-\frac{27}x+\frac{12}y=-\frac{15}2%%

Wende jetzt das Additionsverfahren an.

%%\left(I\right)\frac7x-\frac{12}y=\frac56%%

%%\left(II\right)-\frac{27}x+\frac{12}y=-\frac{15}2%%

%%\overline{\;\;\;\;\;\;\;\;-\frac{20}x=-\frac{40}6}%%

Bilde die Kehrbrüche.

%%-\frac x{20}=-\frac6{40}%%

%%\left|\cdot\left(-20\right)\right.%%

%%x=3%%

Setze %%x%% in %%(II)%% ein.

%%\left(II\right)\frac4y+\frac52=\frac93%%

%%\left|-\frac52\right.%%

%%\frac4y=\frac12%%

Bilde die Kehrbrüche.

%%\frac y4=2%%

%%\left|\cdot4\right.%%

%%y=8%%

Gib die Lösungsmenge an. %%L=\left\{\left(x\;\left|\;y\right.\right)\right\}%%

%%L=\left\{\left(3\;\left|\;8\right.\right)\right\}%%

%%\Rightarrow\;\;%% Das Verfahren ist hier nicht sinnvoll.

%%\Rightarrow\;\;%% Das Verfahren ist hier nicht sinnvoll.

%%(I)\frac4x+\frac8y=\frac53%%

%%(II)\;\frac2x-\frac4y=-\frac16%%

%%(I)\frac4x+\frac8y=\frac53%%

%%(II)\;\frac2x-\frac4y=-\frac16%%

Nimm %%(II)%% mal %%2%%, um das Additionsverfahren anwenden zu können.

%%(I)\frac4x+\frac8y=\frac53%%

%%(II)\;\frac4x-\frac8y=-\frac13%%

Wende nun das Additionsverfahren an.

%%(I)\frac4x+\frac8y=\frac53%%

%%(II)\;\frac4x-\frac8y=-\frac13%%

%%\overline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac8x=\frac43}%%

%%\frac x8=\frac34%%

%%\left|\cdot8\right.%%

Bilde die Kehrbrüche.

%%x=6%%

Setze %%x%% in %%(I)%% ein.

%%(I)\frac46+\frac8y=\frac53%%

%%\left|-\frac46\right.%%

%%\frac8y=\frac53-\frac46%%

 

%%\frac8y=\frac33%%

%%\frac y8=1%%

%%\left|\cdot8\right.%%

Bilde die Kehrbrüche.

%%y=8%%

Gib die Lösungsmenge an. %%L=\left\{\left(x\;\left|\;y\right.\right)\right\}%%

%%L=\left\{\left(6\;\left|\;8\right.\right)\right\}%%

%%\Rightarrow\;\;%% Das Verfahren ist hier nicht sinnvoll.

%%\Rightarrow\;\;%% Das Verfahren ist hier nicht sinnvoll.

%%(I)\frac3{2x-1}-\frac8{3y+2}=-\frac15%%

%%(II)\frac5{2x-1}+\frac4{3y+2}=\frac8{15}%%

%%(I)\frac3{2x-1}-\frac8{3y+2}=-\frac15%%

%%(II)\frac5{2x-1}+\frac4{3y+2}=\frac8{15}%%

Nimm %%(II)%% mal %%2%%, um das Additionsverfahren anwenden zu können.

%%(I)\frac3{2x-1}-\frac8{3y+2}=-\frac15%%

%%(II)\frac{10}{2x-1}-\frac8{3y+2}=\frac{16}{15}%%

Addiere beide Gleichungen.

%%(I)+(II)\frac3{2x-1}-\frac8{3y+2}+\frac8{3y+2}+\frac{10}{2x-1}=-\frac15+\frac{16}{15}%%

Fasse auf beiden Seiten zusammen und bilde den Hauptnenner.

%%(I)+(II)\frac{13}{2x-1}=-\frac3{15}+\frac{16}{15}%%

%%(I)+(II)\frac{13}{2x-1}=\frac{13}{15}%%

%%(I)+(II)13=\frac{13\left(2x-1\right)}{15}%%

%%\left|\cdot15\right.%%

%%(I)+(II)195=26x-13%%

%%\left|+13\right.%%

%%(I)+(II)208=26x%%

%%\left|:26\right.%%

%%x=8%%

Setze %%x%% in  %%(I)%% ein.

%%(I)\frac3{2\cdot8-1}-\frac8{3y+2}=-\frac15%%

%%(I)\frac3{15}-\frac8{3y+2}=-\frac15%%

%%\left|-\frac3{15}\right.%%     Bilde den Hauptnenner.

%%(I)-\frac8{3y+2}=-\frac3{15}-\frac3{15}%%

Fasse zusammen.

%%(I)-\frac8{3y+2}=-\frac6{15}%%

%%\left|\cdot\left(-1\right)\right.%%

%%(I)\frac8{3y+2}=\frac6{15}%%

%%\left|\cdot\left(3y+2\right)\right.%%

%%(I)8=\frac{6\left(3y+2\right)}{15}%%

%%\left|\cdot\right.15%%

%%(I)120=6\left(3y+2\right)%%

%%\left|:6\right.%%

%%(I)20=3y+2%%

%%\left|-2\right.%%

%%(I)18=3y%%

%%\left|:3\right.%%

%%y=6%%

Gib die Lösungsmenge an, dabei zuerst die Lösung für %%x%%, dann für %%y%%.

%%L=\left\{\left(8\;\left|\;6\right.\right)\right\}%%

%%\Rightarrow\;\;%% Das Verfahren ist hier nicht sinnvoll.

%%\Rightarrow\;\;%% Das Verfahren ist hier nicht sinnvoll.