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Aufgaben mit zwei Unbekannten

Hier findest du gemischte Aufgaben zu linearen Gleichungssystemen mit zwei Unbekannten. Lerne, verschiedene Verfahren anzuwenden!

  1. 1

    Teste dein Wissen!

    1. Ordne die Schritte des Gleichsetzungsverfahrens richtig ein! Trage dafür in das Lösungsfeld die Nummern der Schritte nacheinander und ohne Leerzeichen ein (z. B. 123).

      1. Die Variable in eine Gleichung einsetzen.

      2. Die Gleichungen I\mathrm{I} und II\mathrm{II} gleichsetzen.

      3. Die entstandene Gleichung nach einer Variable auflösen.


    2. Welche der folgenden Aussagen beschreibt einen Schnittpunkt?

    3. Warum brauchst du ein lineares Gleichungssytem?

  2. 2

    Löse die Gleichungssysteme.

    Gib die Lösungsmenge in der Form (x;y)(x;y) in das Eingabefeld ein. Beispiel: (−2,5;1)(-2{,}5;1)

    1. II)3x+4=2y\hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I}) \quad 3x + 4 = 2y

      II)4y=2x+10\mathrm{II}) \quad 4y = 2x + 10


    2. II)y−1=2x+3\hphantom{\mathrm{I}} \mathrm{I}) \quad y - 1 = 2x + 3

      II)2y−2=5x−1\mathrm{II}) \quad 2y - 2 = 5x - 1


    3. II)2x+3y=4x−5\hphantom{\mathrm{I}} \mathrm{I}) \quad 2x + 3y = 4x - 5

      II)3x−2y=2y+8\mathrm{II}) \quad 3x - 2y = 2y + 8


  3. 3

    Löse die Linearen Gleichungssysteme mit dem Einsetzungsverfahren.

    Gib die Lösungsmenge in der Form (x;y)(x;y) in das Eingabefeld ein. Beispiel: (−2,5;1)(-2{,}5;1)

    Brüche werden mit einem "/" angegeben. Beispiel: 38\frac38 sind im Eingabefeld 3/8.

    1. II3x+4=y\hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I} \quad 3x + 4 = y

      II4y−3x=9\mathrm{II} \quad 4y -3x = 9


    2. II3s−4t=4\hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I} \quad 3s - 4t = 4

      II4s+t=−2\mathrm{II} \quad 4s + t = -2


  4. 4

    Löse das folgende Gleichungssystem mit dem Additions-/Subtraktionsverfahren!

    I4x+2y=4II6x−3y=−3\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lrrll}\mathrm{I} &4x+2y &= &4 \\\mathrm{II} &6x-3y &= &-3\end{array}

    Gib die Lösungsmenge in der Form (x;y)(x;y) in das Eingabefeld ein. Beispiel: (−2,5;1)(-2{,}5;1)

    Brüche werden mit einem "/" im Eingabefeld eingegeben. Beispiel: 38\frac38 wird zu 3/8.


  5. 5

    Teste dein Wissen! Mit welchen Verfahren ist es sinnvoll die folgenden Gleichungssysteme zu lösen?

    1. II3x+6y=2\hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I} \quad 3x + 6y = 2

      II4x+2=y\mathrm{II} \quad 4x + 2 = y

    2. IIs=4t−7\hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I} \quad s = 4t -7

      IIs=−2+3t\mathrm{II} \quad s = -2 + 3t

    3. II2a−2b=3\hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I} \quad 2a - 2b = 3

      II5a+2b=6\mathrm{II} \quad 5a + 2b = 6

  6. 6

    Löse mit dem am besten geeigneten Verfahren.

    1. Ie+4f=20II−3e+4f=−12\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lrcc}\mathrm{I}& e+4f&=&20\\\mathrm{II}&-3e+4f&=&-12\end{array}

    2. I7y=5+2xII4x−14y=46\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lrcl}\mathrm{I}& 7y&=&5+2x\\\mathrm{II}&4x-14y&=&46\end{array}

    3. I3,5=−0,5k+2,5mII10m=14+2k\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lrcl}\mathrm{I}& 3{,}5&=&-0{,}5k+2{,}5m\\\mathrm{II}&10m&=&14+2k\end{array}

  7. 7
    123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann

    Bestimmen Sie die Lösungsmengen folgender Gleichungssysteme.

    Gib die Lösungsmenge in der Form (x;y)(x;y) in das Eingabefeld ein.

    1. I5y−3x=1II x=y+1\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&5y& -& 3x& =& 1\\\mathrm{II}&  x &=& y& +& 1\end{array}


    2. I4x+5y=32IIy=5x−11\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&4x&+&5y&=&32\\\mathrm{II}&y&=&5x&-&11\end{array}


    3. I15y−4x=−50IIx=y+7\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccc}\mathrm{I}&15y&-&4x&=&-50\\\mathrm{II}&x&=&y&+&7\end{array}


    4. I3x=y+15II2y−10=2x\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccc}\mathrm{I}&3x&=&y&+&15\\\mathrm{II}&2y&-&10&=&2x\end{array}


  8. 8

    Löse die folgenden Gleichungssysteme mit 2 Gleichungen und 2 Variablen zunächst graphisch und dann rechnerisch.

    Gib die Lösungsmenge in der Form (x;y)(x;y) in das Eingabefeld ein. Beispiel: (−2,5;1)(-2{,}5;1)

    Brüche werden mit einem "/" in das Eingabefeld eingegeben. Beispiel: 38\frac38 wird zu 3/8.

    1. Iy−3x=1IIx+y=1\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&y& -& 3x& =& 1\\\mathrm{II}& x &+& y &=& 1\end{array}


    2. I2y+5x=3IIx−y=1\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&2y& +& 5x& =& 3\\\mathrm{II}& x &-& y &=& 1\end{array}

    3. I5y−3x=10II4x+5y=16\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&5y& -& 3x& =& 10\\\mathrm{II}& 4x &+& 5y &=& 16\end{array}

  9. 9

    Teste dein Wissen!

    1. Welche der folgenden Systeme ist ein lineares Gleichungssystem? Markiere alle zutreffenden Antworten.

    2. Wie viele Lösungen hat folgendes lineares Gleichungssystem?

      I−3=x+2yII1=x+2y\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrll}\mathrm{I} &-3& = &x& + &2y&\\\mathrm{II} &1& = &x& + &2y&\end{array}

    3. Wie viele Lösungen hat folgendes Gleichungssystem?

      I92x−32y=3II3x=2+y\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrll}\mathrm{I} &\frac{9}{2}x&-&\frac{3}{2}y&=&3\\\mathrm{II} &3x& = &2&+&y\end{array}

    4. Wie viele Lösungen hat folgendes lineares Gleichungssystem?

      I2x+y=56IIx−2y=2\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrll}\mathrm{I} &2x&+&y&=&\frac56\\\mathrm{II} &x&-&2y& = &2\end{array}

  10. 10
    123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann

    Bestimme die Lösungsmengen folgender linearer Gleichungssysteme.

    Gib die Lösungsmenge in der Form (x;y)(x;y) in das Eingabefeld ein. Beispiel: (−2,5;1)(-2{,}5;1)

    1. (I)2y=2x−40(II)3x=10−2y\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lrcll}(\text I)&2y&=&2x-40\\(\text {II})&3x&=&10-2y\end{array}


    2. (I)    12x−35y=3(II)  14x+y=8\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}(\text I)\;\;\frac 12 x-\frac35y=3\\(\text{II})\;\frac 14x+y=8\end{array}


  11. 11

    Ein Hotel verfügt über 105 Betten, die sich in 40 Zwei-bzw.-Dreibettzimmern befinden. Wie viele Zwei-und-Dreibettzimmer kann das Hotel vermieten?

    Löse mit einem Gleichungssystem!

  12. 12

    Ein Bauer hält in seinem Stall Hühner und Kaninchen. Er zählt insgesamt 120 Beine. Es gibt dreimal mehr Hühner als Kaninchen. Wie viele Hühner und Kaninchen hat der Bauer?

    Löse mit einem Gleichungssystem!

  13. 13

    Bestimme die Lösungsmengen folgender nicht-linearer Gleichungssysteme.

    Gib die Lösungsmenge in der Form (x;y)(x;y) in das Eingabefeld ein. Beispiel: (−2,5;1)(-2{,}5;1)

    1. 123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann

      (I)4x+8y=53(II)2x−4y=−16\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcll}(\text{I})&\dfrac 4x+\dfrac 8y&=&\dfrac53\\\\(\text{II})&\dfrac 2x-\dfrac 4y&=&-\dfrac16\end{array}

      wobei x,y≠0x,y \neq 0


    2. 123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann

      (I)7x−12y=56(II)4y+52=9x\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrcl}(\text I)&\frac{7}{x}-\frac{12}{y}&=&\frac{5}{6}\\\left(\text{II}\right)&\frac{4}{y}+\frac{5}{2}&=&\frac{9}{x}\end{array}

      wobei x,y≠0x,y \neq 0


    3. 123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann

      (I)    43x+1=23y−13(II)  25x−10=47y−6\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}(\text I)\;\;\frac{4}{3x+1}=\frac{2}{3y-13}\\(\text{II})\;\frac 2{5x-10}=\frac{4}{7y-6}\end{array}

      wobei x∉{−13;2}x\notin\left\{-\frac{1}{3};2\right\} und y∉{133;67}y\notin\left\{\frac{13}{3};\frac{6}{7}\right\}


    4. 123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann

      (I)32x−1−83y+2=−15(II)52x−1+43y+2=815\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrcl}(\text I)&\frac{3}{2x-1}-\frac{8}{3y+2}&=&-\frac{1}{5}\\\left(\text{II}\right)&\frac5{2x-1}+\frac4{3y+2}&=&\frac8{15}\end{array}

      wobei x≠12x \neq \frac 12 und y≠−23y \neq -\frac 23


  14. 14

    Einem Schüler sind beim Lösen der folgenden Aufgaben einige Fehler unterlaufen. Korrigiere seine Lösungen.

    1. Korrigiere die Lösung mithilfe des Gleichsetzungsverfahren

      I. x1\displaystyle I.\ x_1==x2+4\displaystyle x_2+4
      II. 2x1\displaystyle II.\ 2x_1==10+3x2\displaystyle 10+3x_2
      ↓

      Gleichsetzen:

      x2+4\displaystyle x_2+4==10+3x2\displaystyle 10+3x_2−x2\displaystyle -x_2
      4\displaystyle 4==10+2x2\displaystyle 10+2x_2−10\displaystyle -10
      −6\displaystyle -6==2x2\displaystyle 2x_2:2\displaystyle :2
      −3\displaystyle -3==x2\displaystyle x_2
      x1\displaystyle x_1==−3+4\displaystyle -3+4
      x1\displaystyle x_1==1\displaystyle 1

    2. Korrigiere die folgende Lösung mithilfe des Einsetzungsverfahren

      I. 3x1+4x2\displaystyle I.\ 3x_1+4x_2==8\displaystyle 8
      II. x1\displaystyle II.\ x_1==3−2x2\displaystyle 3-2x_2
      ↓

      Einsetzen

      3⋅3−2x2+4x2\displaystyle 3\cdot3-2x_2+4x_2==8\displaystyle 8
      9x+2x2\displaystyle 9x+2x_2==8\displaystyle 8−9\displaystyle -9
      2x2\displaystyle 2x_2==−1\displaystyle -1:2\displaystyle :2
      x2\displaystyle x_2==−0,5\displaystyle -0{,}5
      x1\displaystyle x_1==3−2⋅(−0,5)\displaystyle 3-2\cdot\left(-0{,}5\right)
      x1\displaystyle x_1==4\displaystyle 4

    3. Korrigiere folgende Lösung mithilfe des Additionsverfahren

      I. 2x1+x2\displaystyle I.\ 2x_1+x_2==−1\displaystyle -1
      II. 2x1−3x2\displaystyle II.\ 2x_1-3x_2==11\displaystyle 11
      I. + II. −2x2\displaystyle I.\ +\ II.\ -2x_2==10\displaystyle 10:(−2)\displaystyle :\left(-2\right)
      x2\displaystyle x_2==−5\displaystyle -5
      2x1−5\displaystyle 2x_1-5==−1\displaystyle -1+5\displaystyle +5
      2x1\displaystyle 2x_1==4\displaystyle 4:2\displaystyle :2
      x1\displaystyle x_1==2\displaystyle 2

      L = {(2/4)}


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