Aufgaben mit zwei Unbekannten

Hier findest du gemischte Aufgaben zu linearen Gleichungssystemen mit zwei Unbekannten. Lerne, verschiedene Verfahren anzuwenden!

1
Teste dein Wissen!
1. Ordne die Schritte des Gleichsetzungsverfahrens richtig ein! Trage dafür in das Lösungsfeld die Nummern der Schritte nacheinander und ohne Leerzeichen ein (z. B. 123).
  Die Variable in eine Gleichung einsetzen.
  Die Gleichungen $\mathrm{I}$ und $\mathrm{II}$ gleichsetzen.
  Die entstandene Gleichung nach einer Variable auflösen.
2. Welche der folgenden Aussagen beschreibt einen Schnittpunkt?
  Der Punkt, an dem die Funktionswerte gleich sind.
  Ein beliebiger Punkt im Koordinatensystem.
  Der Scheitelpunkt einer Parabel wird auch Schnittpunkt genannt.
3. Warum brauchst du ein lineares Gleichungssytem?
  Ein Schnittpunkt ist nicht immer grafisch bestimmbar.
  Mit einem LGS kann man den Schnittpunkt zweier Kreise bestimmen.

Löse die Gleichungssysteme.

Gib die Lösungsmenge in der Form $(x; y)$ in das Eingabefeld ein. Beispiel: $(- 2,5; 1)$

$\hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I}) \quad 3x + 4 = 2y$

$\mathrm{II}) \quad 4y = 2x + 10$

$\hphantom{\mathrm{I}} \mathrm{I}) \quad y - 1 = 2x + 3$

$\mathrm{II}) \quad 2y - 2 = 5x - 1$

$\hphantom{\mathrm{I}} \mathrm{I}) \quad 2x + 3y = 4x - 5$
$\mathrm{II}) \quad 3x - 2y = 2y + 8$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichsetzungsverfahren
Lineares Gleichungssystem mit Gleichsetzungsverfahren
$\hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I}) \quad 2x+3y = 4x -5$
$\mathrm{II}) \quad 3x-2y = 2y+8$
1. Beide Gleichungen nach einer Variable auflösen
Löse beispielsweise nach $y$ auf
$\def\arraystretch{1.25} %%\begin{array}{lrl} \hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I}) & 2x+3y &= &4x -5 \\ \hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I})' & 3y &= &2x -5 \\ \hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I})'' & y &= &\frac{2}{3}x - \frac{5}{3} \end{array}%%$ $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lrll} \hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I}) & 2x+3y &= &4x -5 \quad \mid -2x\\ \hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I}') & 3y &= &2x -5 \quad \mid :3\\ \hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I}'') & y &= &\frac{2}{3}x - \frac{5}{3} \end{array}$
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lrcll} \mathrm{II}) & 3x-2y &=&2y+8 &| +2y -8 \\ \mathrm{II}') & 3x-8 &=&4y &| :4\\ \mathrm{II}'') & \frac{3}{4}x-2 &=&y \end{array}$
2. Gleichsetzen
Setze $\mathrm{I''}$ und $\mathrm{II''}$ gleich.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lrl}\Rightarrow &\frac{3}{4}x-2 &= &\frac{2}{3}x-\frac{5}{3} \end{array}$
3. Nach der einen Variable auflösen
Löse nach $x$ auf.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll} \frac{3}{4}x-2 &= &\frac{2}{3}x-\frac{5}{3} &| -\frac{2}{3}x \\\frac{3}{4}x-\frac{2}{3}x-2 &= &-\frac{5}{3} \quad\quad &|+2\\\frac{9}{12}x-\frac{8}{12}x &= &-\frac{5}{3} +2 \\\frac{1}{12}x &= &\frac{1}{3} \quad \quad &|\cdot12\\x &= &4 \end{array}$
4. In eine Gleichung einsetzten, um die andere Variable heraus zu finden
Setze $x$ beispielsweise in $\mathrm{II'}$ ein.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rl} \frac{3}{4}\cdot (4)-2 &= &y \\3-2 &= &y \\y &= &1\end{array}$
$4$ wird für $x$ eingesetzt.
Lösungsmenge angeben!
$L = \{(4{,}1)\}$
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Löse die Linearen Gleichungssysteme mit dem Einsetzungsverfahren.

Gib die Lösungsmenge in der Form $(x; y)$ in das Eingabefeld ein. Beispiel: $(- 2,5; 1)$

Brüche werden mit einem "/" angegeben. Beispiel: $\frac38$ sind im Eingabefeld 3/8.

$\hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I} \quad 3x + 4 = y$

$\mathrm{II} \quad 4y -3x = 9$

$\hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I} \quad 3s - 4t = 4$
$\mathrm{II} \quad 4s + t = -2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Einsetzungsverfahren
Als erstes musst du eine der beiden Gleichungen nach $s$ oder $t$ auflösen. Es bietet sich hier an, Gleichung $\mathrm{II}$ nach $t$ umzustellen.
Stelle Gleichung $\mathrm{II}$ nach $t$ um.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{crcll}\mathrm{II} & 4s + t &=& -2&|-4s\\&t&=&-2-4s\end{array}$
$\;$ Setze $t = - 2 - 4 s$ aus Gleichung $\mathrm{II}$ in $\mathrm{I}$ ein
$\hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I} \quad 3s - 4\cdot(-2 - 4s) = 4$
Multipliziere die Klammer aus und löse nach $s$ auf.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{crcll}\mathrm{I}&3s+8+16s&=&4&|-8\\&19s&=& -4&|:19\\&s&=&-\frac{4}{19}\end{array}$
Setze $s = -\frac{4}{19}$ in die umgeformte zweite Gleichung ein, um $t$ zu bestimmen.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{crcl}\mathrm{II} &t&=&-2-4\cdot(-\frac{4}{19})\\&t&=&-\frac{22}{19}\end{array}$
Gib nun noch die Lösungsmenge an.
$\mathbb{L}=\left\{(s|t)=\left(-\frac{4}{19}|-\frac{22}{19}\right)\right\}$ .
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4
Löse das folgende Gleichungssystem mit dem Additions-/Subtraktionsverfahren!
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lrrll}\mathrm{I} &4x+2y &= &4 \\\mathrm{II} &6x-3y &= &-3\end{array}$
Gib die Lösungsmenge in der Form $(x; y)$ in das Eingabefeld ein. Beispiel: $(- 2,5; 1)$
Brüche werden mit einem "/" im Eingabefeld eingegeben. Beispiel: $\frac38$ wird zu 3/8.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Additions-/ Subtraktionsverfahren
0. Schritt: Aufräumen der Gleichungen und Auswahl einer Variablen
Da die Gleichungen schon schön geordnet sind fällt dieser Punkt weg. In diesem Fall ist es gleich aufwendig die Aufgabe zu lösen, egal ob du $x$ oder $y$ auswählst.
Die Lösung wird für die Variable $x$ vorgerechnet.
1. Schritt: Vervielfachen der Gleichungen
In Gleichung $I$ sind es $4 x$ , in Gleichung $I I$ sind es $6 x$ . Ein gemeinsames Vielfaches ist also $12 x$ . Multipliziere dafür die erste Gleichung mit $3$ und die zweite Gleichung mit $2$ .
Gleichung 1
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lcccccl}\mathrm{I}& 4x&+&2y&=&4& \quad &|\cdot 3\\\mathrm{I}' &12x& + &6y &= &12& \end{array}$
Gleichung 2
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lcccccl}\mathrm{II}& 6x& - &3y &= &-3& \quad &|\cdot 2\\\mathrm{II}' &12x& - &6y &= &-6& \end{array}$
2. Schritt: Entfernung einer Variablen durch Addition/Subtraktion
Die Vorzeichen der ausgesuchten Variable sind beide Male gleich. Deswegen musst du das Subtraktionsverfahren anwenden.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{llcccll}&\mathrm{I}' & 12x&+& 6y&=&12\\-&\mathrm{II}' & 12x&-&6y&=&-6\\\hline& & \color{#009900}0&+&12y&=& 18\end{array}$
3. Schritt: Werte der beiden Variablen bestimmen
Wert von $y$ bestimmen
$\def\arraystretch{2} \begin{array}{rrll}12y &= &18 &\quad |: 12\\\color{#FF6600}y &= &\color{#FF6600}{\dfrac{3}{2}}\end{array}$
Wert von $x$ bestimmen: Einsetzen von $y$ in $\mathrm{II}$
$\def\arraystretch{2} \begin{array}{rrll}6x - 3 \cdot \color{#FF6600}{\dfrac{3}{2}} &= &-3 \\6x - \dfrac{9}{2} &= &-3 \quad &|+ \dfrac{9}{2}\\6x &=& \dfrac{3}{2} \quad &|: 6\\\color{#009999}x &= &\color{#009999}{\dfrac{1}{4}}\end{array}$
Die Lösung ist also ${\color{#009999}x} = {\color{#009999}\dfrac{1}{4}}$ und ${\color{#FF6600}y} = \color{#FF6600}{\dfrac{3}{2}}$ : $\quad \mathbb{L}=\left\{(x|y)=\left({\color{#009999}\dfrac{1}{4}}\;\bigg\vert\;{\color{#FF6600}\dfrac{3}{2}}\right)\right\}$ .
5
Teste dein Wissen! Mit welchen Verfahren ist es sinnvoll die folgenden Gleichungssysteme zu lösen?
1. $\hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I} \quad 3x + 6y = 2$
  $\mathrm{II} \quad 4x + 2 = y$
  Einsetzungsverfahren
  Gleichsetzungsverfahren
  Additions- bzw. Subtraktionsverfahren
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Gleichungssysteme
  Die Gleichung $\mathrm{II}$ ist bereits nach $y$ aufgelöst. Es bietet sich also an, das Einsetzungsverfahren zu verwenden.
  Bei den anderen beiden Verfahren müssen noch Umformungsschritte vorgenommen werden, bevor man sie anwenden kann.
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2. $\hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I} \quad s = 4t -7$
  $\mathrm{II} \quad s = -2 + 3t$
  Gleichsetzungsverfahren
  Additions- bzw. Subtraktionsverfahren
  Einsetzungsverfahren
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Gleichungssysteme
  Alle drei Verfahren können direkt angewendet werden und sind daher sinnvoll. Am einfachsten ist aber hier das Gleichsetzungsverfahren.
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3. $\hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I} \quad 2a - 2b = 3$
  $\mathrm{II} \quad 5a + 2b = 6$
  Additions- bzw. Subtraktionsverfahren
  Einsetzungsverfahren
  Gleichsetzungsverfahren
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Gleichungssysteme
  In Gleichung $\mathrm{I}$ steht $- 2 b$ , in Gleichung $\mathrm{II}$ $2 b$ . Da bei Addition das $b$ wegfällt, eignet sich das Additionsverfahren.
  Bei den anderen beiden Verfahren müssen noch Umformungsschritte vorgenommen werden, bevor man sie anwenden kann.
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Löse mit dem am besten geeigneten Verfahren.
1. $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lrcc}\mathrm{I}& e+4f&=&20\\\mathrm{II}&-3e+4f&=&-12\end{array}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Gleichungssysteme
  In dieser Aufgabe bietet sich das Additions-/Subtraktionsverfahren an. Du verwendest das Subtraktionsverfahren, da in beiden Gleichungen $+ 4 f$ vorkommt.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrrcrlr}&\mathrm{I} &e&+&4f&=&20\\-&\mathrm{II}&-3e&+&4f&=&-12\\\hline&&4e&+&0&=&32\end{array}$
  Löse nach $e$ auf
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{llccll}4e&+&0&=&32 \quad |:4\\&&e&=&\color{#009900}8\end{array}$
  Setze $e$ in eine der Gleichungen ein
  $e$ in $\mathrm{I}$
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{llccll}\color{#009900}8&+&4f&=&20&|-8&\\&&4f&=&12&|:4&\\&&f&=&\color{#cc0000}3\end{array}$
  Bestimme die Lösungsmenge.
  $\mathbb{L}=\{(e|f)=(8|3)\}$
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2. $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lrcl}\mathrm{I}& 7y&=&5+2x\\\mathrm{II}&4x-14y&=&46\end{array}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Gleichungssysteme
  Eine sehr schöne Lösung ergibt sich mit dem Einsetzungsverfahren.
  $\;$
  Die Gleichung $\mathrm{I}$ ist nach $7 y$ aufgelöst und in Gleichung $\mathrm{II}$ steht $14 y$ . Du kannst sogar ohne Umformung das Einsetzungsverfahren verwenden.
  Schreibe Gleichung $\mathrm{II}$ um.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lrcl}\mathrm{II}&4x-2\cdot7y&=&46\end{array}$
  Setze $7 y$ aus Gleichung $\mathrm{I}$ in Gleichung $\mathrm{II}$ ein.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lrcl}\mathrm{II}&4x-2\cdot(5 + 2x)&=&46\end{array}$
  Fasse zusammen und löse nach $x$ auf.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lrcl}\mathrm{II}&4x-10 - 4x&=&46& \vert +10\\ \mathrm{II}&0&=&56\end{array}$
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lrcl}\end{array}$
  Wie du jetzt sehen kannst, gleichen sich die Ergebnisse nicht wodurch sich ein Widerspruch ergibt. Daraus folgt, dass das LGS keine Lösungen hat, da für $x$ keine Zahl zugeordnet werden kann.
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3. $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lrcl}\mathrm{I}& 3{,}5&=&-0{,}5k+2{,}5m\\\mathrm{II}&10m&=&14+2k\end{array}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Gleichungssysteme
  Du verwendest am Besten das Additionsverfahren, da du mit einem scharfen Blick siehst, dass $2 k$ das $4$ -fache von $0,5 k$ ist.
  Vervielfache die erste Gleichung
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrl}\mathrm{I}&3{,}5&=&-0{,}5k+2{,}5m&|\cdot 4\\\mathrm{II}&10m&=&14+2k\\\mathrm{I'}&14&=&-2k+10m&|+2k\\\mathrm{II}&10m&=&14+2k\\\mathrm{I'}&14+2k&=&10m&\\\mathrm{II}&10m&=&14+2k\end{array}$
  Wie du jetzt sehen kannst, sind beide Gleichungen identisch. Daraus folgt, dass das LGS unendlich viele Lösungen hat. Graphisch betrachtet können das zwei Geraden sein, die aufeinander liegen.
  Löse die Gleichung noch nach einer Variablen auf um die Lösungsmenge anzugeben.
  $10 m = 14 + 2 k \quad | : 10 \\m = 1{,}4 + 0{,}2 k$
  $\mathbb{L} = \left\{ (m|k) \;\big |\; m = 1{,}4 + 0{,}2 k \right\}$
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123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Bestimmen Sie die Lösungsmengen folgender Gleichungssysteme.
Gib die Lösungsmenge in der Form $(x; y)$ in das Eingabefeld ein.
1. $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&5y& -& 3x& =& 1\\\mathrm{II}& x &=& y& +& 1\end{array}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Gleichungssysteme
  In diesem Fall ist das Einsetzungsverfahren sinnvoll, da die zweite Gleichung bereits nach einer Variablen aufgelöst ist.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&5y& -& 3x& =& 1\\\mathrm{II}& x &=& y& +& 1\end{array}$
  Setz die Gleichung $\mathrm{II}$ in $\mathrm{I}$ ein.
  $\mathrm{I}'\quad5y-3\left(y+1\right)=1$
  Lös $\text{I}'$ nach $y$ auf.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcccc}5y-3y-3&=&1&\\2y-3&=&1&|+3\\2y&=&4&|:2\\y&=&2\end{array}$
  Nun kannst du $y = 2$ in $\mathrm{II}$ einsetzen und nach $x$ auflösen.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcccc}5\cdot2-3x&=&1&|-10\\-3x&=&-9&|:(-3)\\x&=&3\end{array}$
  $L=\left\{\left(x\;\left|\;y\right.\right)\right\}=\left\{\left(3\;\left|\;2\right.\right)\right\}$
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2. $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&4x&+&5y&=&32\\\mathrm{II}&y&=&5x&-&11\end{array}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineares Gleichungssystem
  In diesem Fall ist das Einsetzungsverfahren sinnvoll, da die zweite Gleichung bereits nach einer Variablen aufgelöst ist.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&4x&+&5y&=&32\\\mathrm{II}&y&=&5x&-&11\end{array}$
  Setz die Gleichung $\mathrm{II}$ in $\mathrm{I}$ ein.
  $\mathrm{I}'\quad 4x+5\cdot \left(5x-11\right)=32$
  Löse nach $x$ auf.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rccc}4x+25x-55&=&32&\\29x-55&=&32&|+55\\29x&=&87&&|:29\\x&=&3\end{array}$
  Setz $x = 3$ in $\mathrm{II}$ ein und löse nach $y$ auf.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}y&=&5\cdot3-11\\y&=&4\end{array}$
  $L=\left\{\left(x\;\left|\;y\right.\right)\right\}=\left\{\left(3\;\left|\;4\right.\right)\right\}$
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3. $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccc}\mathrm{I}&15y&-&4x&=&-50\\\mathrm{II}&x&=&y&+&7\end{array}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineares Gleichungssystem
  In diesem Fall ist das Einsetzungsverfahren sinnvoll, da die zweite Gleichung bereits nach einer Variablen aufgelöst ist.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccc}\mathrm{I}&15y&-&4x&=&-50\\\mathrm{II}&x&=&y&+&7\end{array}$
  Setz die Gleichung $\mathrm{II}$ in $\mathrm{I}$ ein.
  $\mathrm{I}'\quad15y-4\left(y+7\right)=-50$
  Lös nach $x$ auf.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}15y-4y-28&=&-50&\\11y-28&=&-50&|+28\\11y&=&-22&|:11\\y&=&-2\end{array}$
  Setz nun $y = - 2$ in $\mathrm{II}$ ein und lös nach $x$ auf.
  $x = - 2 + 7$
  $x = 5$
  $L=\left\{\left(x\;\left|\;y\right.\right)\right\}=\left\{\left(5\;\left|\;-2\right.\right)\right\}$
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4. $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccc}\mathrm{I}&3x&=&y&+&15\\\mathrm{II}&2y&-&10&=&2x\end{array}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineares Gleichungssystem
  Lösung mit Einsetzungsverfahren
  In diesem Fall ist das Einsetzungsverfahren sinnvoll, da die zweite Gleichung bereits nach einer Variablen aufgelöst ist.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccc}\mathrm{I}&3x&=&y&+&15\\\mathrm{II}&2y&-&10&=&2x\end{array}$
  Teile $\mathrm{II}$ durch 2, um nach der Variablen $x$ aufzulösen.
  $\mathrm{II}:2\to\mathrm{II}'\quad y-5= x$
  Setze $\mathrm{II}'$ in $\mathrm{I}$ ein.
  $\mathrm{II}'$ in $\mathrm{I}$ eingesetzt:
  $\mathrm{I}'\quad3\left(y-5\right)=y+15$
  Löse dann $\mathrm{I}'$ nach $y$ auf.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}3y-15&=&y+15&|-y; +15\\2y&=&30&|:2\\y&=&15\end{array}$
  Setze anschließend $y = 15$ in $\mathrm{II}'$ ein und löse nach $x$ auf.
  $y = 15$ in $\mathrm{II}'$ eingesetzt:
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}15-5&=&x\\10&=&x\end{array}$
  $L=\left\{\left(x\;\left|\;y\right.\right)\right\}=\left\{\left(10\;\left|\;15\right.\right)\right\}$
  Alternative Lösung: Gleichsetzungsverfahren
  Eine weitere Möglichkeit ist, hier das Gleichsetzungsverfahren anzuwenden, da auf der linken Seite von $\mathrm{I}$ und auf der rechten Seite von $\mathrm{II}$ fast der gleiche Term steht.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccc}\mathrm{I}&3x&=&y&+&15\\\mathrm{II}&2y&-&10&=&2x\end{array}$
  Multipliziere $\mathrm{II}$ mit $\frac32$ , um auf der rechten Seite $3 x$ zu erzeugen.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccc}\mathrm{I}&3x&=&y&+&15\\\mathrm{II}'&3y&-&15&=&3x\end{array}$
  Setze die rechte Seite von $\mathrm{I}$ mit der linken von $\mathrm{II}'$ gleich und löse nach $y$ auf.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}y+15&=&3y-15&|-y;\;+15\\30&=&2y&|:2\\y&=&15\end{array}$
  Setze $y = 15$ in $\mathrm{I}$ (oder auch $\mathrm{II}$ ) ein und löse nach $x$ auf.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}3\cdot x&=&y+15&\\3\cdot x&=&15+15&\\3\cdot x&=&30&|:3\\x&=&10\end{array}$
  $L=\left\{\left(x\;\left|\;y\right.\right)\right\}=\left\{\left(10\;\left|\;15\right.\right)\right\}$
  Alternative Lösung: Kombination Additionsverfahren und Einsetzverfahren
  Auch das Additionsverfahren kann hier sinnvoll eingesetzt werden. Dazu stellt man die Gleichungen zunächst so um, dass die passenden Terme untereinander stehen:
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccc}\mathrm{I}&3x&=&y&+&15\\\mathrm{II}&2x&=&2y&-&10\end{array}$
  Subtrahiere die zweite von der ersten Gleichung.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccc}\mathrm{I}'&x&=&-y&+&25\\\mathrm{II}&2x&=&2y&-&10\end{array}$
  Da die erste Gleichung nun nach $x$ aufgelöst ist, kann man wieder das Einsetzungsverfahren anwenden.
  Setze dazu $\mathrm{I}'$ in $\mathrm{II}$ ein und löse nach $y$ auf.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{crcll}\mathrm{II}'&2\cdot(-y+25)&=&2y-10&\\&-2y+50&=&2y-10&|-2y \;\;|-50\\&-4y&=&-60&|:(-4)\\&y&=&15\end{array}$
  Setze $y = 15$ in $\mathrm{I}'$ ein und löse nach $x$ auf.
  $x = - 15 + 25$
  $x = 10$
  $L=\{(x|y)\}=\{(10|15)\}$
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8
Löse die folgenden Gleichungssysteme mit 2 Gleichungen und 2 Variablen zunächst graphisch und dann rechnerisch.
Gib die Lösungsmenge in der Form $(x; y)$ in das Eingabefeld ein. Beispiel: $(- 2,5; 1)$
Brüche werden mit einem "/" in das Eingabefeld eingegeben. Beispiel: $\frac38$ wird zu 3/8.
1. $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&y& -& 3x& =& 1\\\mathrm{II}& x &+& y &=& 1\end{array}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Gleichunssysteme
  Lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten
  Ein lineares Gleichungssystem setzt sich aus mehreren linearen Gleichungen mit gemeinsamen Unbekannten (Variablen), die alle erfüllt werden sollen, zusammen.
  Graphisches Lösen
  Um das Gleichungssystem graphisch lösen zu können, kannst du die einzelnen Geichungen nach $y$ auflösen und in ein Koordinatensystem einzeichnen. Anschließend brauchst du nur noch die Koordinaten des Schnittpunktes beider Geraden abzulesen.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&y -3x&=&1&|+3x\\\mathrm{I}&y& =& 3x+1\\\mathrm{II}& x + y &=& 1&|-x\\\mathrm{II}& y &=&-x+ 1\end{array}$
  Der Schnittpunkt liegt bei $x = 0$ und $y = 1$ . Somit lautet die Lösungsmenge $L=\left\{\left(0\left|\;1\right.\right)\right\}$ .
  Rechnerisches Lösen
  In diesem Fall bietet sich das Gleichsetzungsverfahren an, da du zum graphischen Lösen bereits beide Gleichungen nach $y$ aufgelöst hast.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&y& =& 3x+1\\\mathrm{II}& y &=&-x+ 1\end{array}$
  Setze $\mathrm{I}$ und $\mathrm{II}$ gleich und löse nach $x$ auf.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcccc}3x+1&=&-x+1&|-1\\3x&=&-x&|+x\\4x&=&0&|:4\\x&=&0\end{array}$
  Setze den erhaltenen Wert für $x$ in eine der Gleichungen ein, z.B in $\mathrm{II}$ .
  $y = 0 + 1 = 1$
  Du kannst nun die Lösungsmenge angeben.
  $L=\left\{\left(0\left|1\right.\right)\right\}$
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2. $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&2y& +& 5x& =& 3\\\mathrm{II}& x &-& y &=& 1\end{array}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Gleichungssysteme
  Lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten
  Ein lineares Gleichungssystem setzt sich aus mehreren linearen Gleichungen mit gemeinsamen Unbekannten (Variablen), die alle erfüllt werden sollen, zusammen.
  Graphisches Lösen
  Um das Gleichungssystem graphisch lösen zu können, kannst du die einzelnen Geichungen nach $y$ auflösen und in ein Koordinatensystem einzeichnen. Anschließend brauchst du nur noch die Koordinaten des Schnittpunktes beider Geraden abzulesen.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&2y+5x&=&3&|-5x\\\mathrm{I}&2y& =&-5x+3&|:2\\\mathrm{I}&y& =& -2{,}5x+1{,5}\\\mathrm{II}& x - y &=& 1&|-x\\\mathrm{II}& -y &=&-x+ 1&|\cdot(-1)\\\mathrm{II}& y &=&x- 1\end{array}$
  Der Schnittpunkt liegt bei $x\approx0{,}71$ und $y\approx-0{,}29$ . Somit lautet die Lösungsmenge $L=\left\{\left(0{,}71\left|\;-0{,}29\right.\right)\right\}$ .
  Rechnerisches Lösen
  In diesem Fall bietet sich das Gleichsetzungsverfahren an, da du zum graphischen Lösen bereits beide Gleichungen nach $y$ aufgelöst hast.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&y& =& -2{,}5x+1{,5}\\\mathrm{II}& y &=&x- 1\end{array}$
  Setze $\mathrm{I}$ und $\mathrm{II}$ gleich und löse nach $x$ auf.
  $\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcccc}-2{,}5x+1{,}5&=&x-1&|-x\\-3{,}5x+1{,5}&=&-1&|-1{,}5\\-3{,}5x&=&-2{,}5&|:(-3{,}5)\\x&=&\dfrac57\approx 0{,}71\end{array}$
  Setze den erhaltenen Wert für $x$ in eine der Gleichungen ein, z.B in $\mathrm{II}$ .
  $y=\dfrac57-1=-\dfrac27\approx-0{,}29$
  Du kannst nun die Lösungsmenge angeben.
  $L=\left\{\left(\dfrac57\left|-\dfrac27\right.\right)\right\}$
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3. $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&5y& -& 3x& =& 10\\\mathrm{II}& 4x &+& 5y &=& 16\end{array}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Gleichungssysteme
  Lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten
  Ein lineares Gleichungssystem setzt sich aus mehreren linearen Gleichungen mit gemeinsamen Unbekannten (Variablen), die alle erfüllt werden sollen, zusammen.
  Graphisches Lösen
  Um das Gleichungssystem graphisch lösen zu können, kannst du die einzelnen Geichungen nach $y$ auflösen und in ein Koordinatensystem einzeichnen. Anschließend brauchst du nur noch die Koordinaten des Schnittpunktes beider Geraden abzulesen.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&5y-3x&=&10&|+3x\\\mathrm{I}&5y& =&3x+10&|:5\\\mathrm{I}&y& =& 0{,}6x+2\\\mathrm{II}& 4x+5y &=& 16&|-4x\\\mathrm{II}& 5y &=&-4x+ 16&|:5\\\mathrm{II}& y &=&-0{,}8x+3{,}2\end{array}$
  Der Schnittpunkt liegt bei $x\approx0{,}86$ und $y\approx2{,}51$ . Somit lautet die Lösungsmenge $L=\left\{\left(0{,}86\left|\;2{,}51\right.\right)\right\}$ .
  Rechnerisches Lösen
  In diesem Fall bietet sich das Gleichsetzungsverfahren an, da du zum graphischen Lösen bereits beide Gleichungen nach $y$ aufgelöst hast.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&y& =& 0{,}6x+2\\\mathrm{II}& y &=&-0{,}8x+3{,}2\end{array}$
  Setze $\mathrm{I}$ und $\mathrm{II}$ gleich und löse nach $x$ auf.
  $\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcccc}0{,}6x+2&=&-0{,}8x+3{,}2&|-2\\0{,}6x&=&-0{,}8x+1{,}2&|+0{,}8x\\1{,}4x&=&1{,}2&|:1{,}4\\x&=&\dfrac67\approx0{,}86\end{array}$
  Setze den erhaltenen Wert für $x$ in eine der Gleichungen ein, z.B in $\mathrm{I}$ .
  $y=0{,}6\cdot\dfrac67+2=\dfrac{88}{35}\approx2{,51}$
  Du kannst nun die Lösungsmenge angeben.
  $L=\left\{\left(\dfrac67\left|\dfrac{88}{35}\right.\right)\right\}$
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9
Teste dein Wissen!
1. Welche der folgenden Systeme ist ein lineares Gleichungssystem? Markiere alle zutreffenden Antworten.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrll}\mathrm{I} &2& = &a& + &b& + &c&\\\mathrm{II} &3& = &a& - &b& + &c&\\\mathrm{III} &1& = &&&&&c&\end{array}$
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrll}\mathrm{I} &x& + &y& = &2&\\\mathrm{II} &5& - &y& = &4&\end{array}$
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrll}\mathrm{I} &x& = &1\\\mathrm{II} &y& = &2\end{array}$
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrll}\mathrm{I} &x& = &0\\\mathrm{II} &x& = &2&\end{array}$
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrll}\mathrm{I} &\frac7x&-&\frac{12}y&=&\frac56\\\mathrm{II} &x&-&y& = &2\end{array}$
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrll}\mathrm{I} &-3& = &x& + &2y&\\\mathrm{II} &1& = &x^2& + &y&\end{array}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Gleichungsystem
  Überlege dir, was ein lineares Gleichungssystem überhaupt ist:
  Mehrere Gleichungen, die gleichzeitig erfüllt sein müssen, nennt man Gleichungssystem.
  Wenn zusätzlich noch jede Variable höchstens mit dem Exponenten $1$ auftaucht, wird es Lineares Gleichungssystem genannt.
  Überprüfe nun die beiden Kriterien.
  Du erkennst, dass…
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrll}\mathrm{I} &\frac7x&-&\frac{12}y&=&\frac56\\\mathrm{II} &x&-&y& = &2\end{array}$
  … kein Lineares Gleichungssystem ist, weil in der ersten Gleichung sowohl $x$ als auch $y$ den Exponenten $- 1$ haben.
  Du erkennst weiter, dass…
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrll}\mathrm{I} &-3& = &x& + &2y&\\\mathrm{II} &1& = &x^2& + &y&\end{array}$
  … kein Lineares Gleichungssystem ist, weil $x$ in der zweiten Gleichung mit dem Exponenten $2$ auftaucht.
  In allen anderen Fällen sind beide Kriterien erfüllt. Es handelt es sich somit um lineare Gleichungssysteme.
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2. Wie viele Lösungen hat folgendes lineares Gleichungssystem?
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrll}\mathrm{I} &-3& = &x& + &2y&\\\mathrm{II} &1& = &x& + &2y&\end{array}$
  keine
  unendlich viele
  genau eine
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lösbarbarkeit von Gleichungssystemen
  Du zeigst, dass die Gleichungen $\mathrm{I}$ und $\mathrm{II}$ nicht gleichzeitig erfüllt sein können. Dabei verwendest du am besten das Subtraktionsverfahren.
  Subtrahiere Gleichung $\mathrm{II}$ von Gleichung $\mathrm{I}$ .
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rlrl}\mathrm{I} - \mathrm{II} \;\rightarrow &-4 &= &0 \end{array}$
  Die Gleichung ist offensichtlich falsch. Damit ist auch das gegebene Gleichungssystem falsch und hat keine Lösung.
  Die Lösungsmenge ist somit $\mathbb{L}=\{\}$ .
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3. Wie viele Lösungen hat folgendes Gleichungssystem?
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrll}\mathrm{I} &\frac{9}{2}x&-&\frac{3}{2}y&=&3\\\mathrm{II} &3x& = &2&+&y\end{array}$
  unendlich viele
  genau eine
  keine
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lösbarkeit von Gleichungssystemen
  Du zeigst, dass die Gleichungen $\mathrm{I}$ und $\mathrm{II}$ äquivalent sind. Das heißt, jedes $x$ und $y$ , das Gleichung $\mathrm{I}$ löst, liefert auch für Gleichung $\mathrm{II}$ eine wahre Aussage.
  Eine Möglichkeit, dies zu zeigen, ist das Einsetzungsverfahren.
  Stelle zunächst Gleichung $\mathrm{II}$ nach y um.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrll}\mathrm{II} &3x& = &2&+&y &\vert -2\end{array}$
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lrll}\mathrm{II}' &3x&-&2& = &y\end{array}$
  Setze nun $\mathrm{II}'$ in Gleichung $\mathrm{I}$ ein. Du erhältst die neue Gleichung $\mathrm{I'}$ .
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrll}\mathrm{I'} &\frac{9}{2}x&-&\frac{3}{2}(3x - 2)&=&3\end{array}$
  Fasse die linke Seite der Gleichung zusammen.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrll}\mathrm{I'} &3&=&3\end{array}$
  Die Gleichung $\mathrm{I'}$ ist wahr und zwar unabhängig von $x$ . Es gibt also unendlich viele Lösungen.
  $\mathbb{L}=\{(x|y)|\;y=3x-2\}$
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4. Wie viele Lösungen hat folgendes lineares Gleichungssystem?
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrll}\mathrm{I} &2x&+&y&=&\frac56\\\mathrm{II} &x&-&2y& = &2\end{array}$
  genau eine
  unendlich viele
  keine
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lösbarkeit der Gleichungssysteme
  Ein lineares Gleichungssystem hat genau eine Lösung, wenn es eindeutig nach $x$ und $y$ aufgelöst werden kann.
  Um das herauszufinden, bietet sich das Einsetzungsverfahren an, da man zum Beispiel Gleichung $\mathrm{I}$ sehr einfach nach $y$ umstellen kann.
  Stelle zunächst Gleichung $\mathrm{I}$ nach $y$ um.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrll}\mathrm{I} &2x&+&y& = &\frac{5}{6} & \vert -2x\end{array}$
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrll}\mathrm{I'} &y& = &\frac{5}{6}&-&2x\end{array}$
  Setze nun $\mathrm{I'}$ in Gleichung $\mathrm{II}$ ein. Du erhältst die neue Gleichung $\mathrm{II'}$ .
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrll}\mathrm{II'} &x&-&2(\frac56 - 2x)&=&2\end{array}$
  Fasse die linke Seite zusammen.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrll}\mathrm{II'} &5x&-&\frac53&=&2\end{array}$
  Löse nach $x$ auf.
  $x = \frac{11}{15}$
  $x = \frac{11}{15}$ zum Beispiel in Gleichung $\mathrm{I}$ ein, um $y$ zu bestimmen.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrll}\mathrm{I} &2\cdot(\frac{11}{15})&+&y& = &\frac{5}{6}\end{array}$
  Löse nach $y$ auf.
  $y = -\frac{19}{30}$
  Es gibt also genau eine Lösung.
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Bestimme die Lösungsmengen folgender linearer Gleichungssysteme.

Gib die Lösungsmenge in der Form $(x; y)$ in das Eingabefeld ein. Beispiel: $(- 2,5; 1)$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lrcll}(\text I)&2y&=&2x-40\\(\text {II})&3x&=&10-2y\end{array}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme kannst du mit dem Einsetzungsverfahren, Gleichsetzungsverfahren oder Additionsverfahren lösen.

Mit den verschiedenen Lösungsverfahren kannst du wie folgt die Lösung berechnen. Das Einsetzungsverfahren eignet sich hier aber am Besten.

Einsetzungsverfahren

Hier die Lösung mit dem Einsetzungsverfahren:

Gegeben: $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}(\text I)\;2y=2x-40\\(\text{II})\;3x=10-2y\end{array}$

Gleichung $(\text I)$ ist nach $2 y$ aufgelöst. Dieser Term kommt auch in Gleichung $(\text{II})$ vor. Setze also die Gleichung $(I)$ in $(I I)$ ein.

$\displaystyle \left(\text{II}\right)\ \ \ \ \ 3x$	$=$	$\displaystyle 10-\textcolor{orange}{2y}$
	↓	Aus Gleichung $(\text I)$ : $\textcolor{orange}{2y=2x-40}$ einsetzen.
$\displaystyle 3x$	$=$	$\displaystyle 10-(\textcolor{orange}{2x-40})$
	↓	Löse die Klammer auf.
$\displaystyle 3x$	$=$	$\displaystyle 10-2x+40$	$\displaystyle +2x$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle 5x$	$=$	$\displaystyle 50$	$\displaystyle :5$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 10$

Um $y$ zu finden, setze den Wert von $x$ in $(\text{I})$ ein.

$\displaystyle \left(\text{I}\right)\ \ \ \ 2y$	$=$	$\displaystyle 2\textcolor{green}{x}-40$
	↓	Setze $\textcolor{green}{x=10}$ ein.
$\displaystyle 2y$	$=$	$\displaystyle 2\cdot\textcolor{green}{10}-40$
$\displaystyle 2y$	$=$	$\displaystyle 20-40$
$\displaystyle 2y$	$=$	$\displaystyle -20$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle -10$

Gib die Lösungsmenge an, dabei zuerst die Lösung für $x$ , dann für $y$ eintragen.

$L=\left\{\left(x\left|y\right.\right)\right\}=\left\{\left(10\;\left|\;-10\right.\right)\right\}$

Lösung mithilfe der anderen Verfahren

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$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}(\text I)\;\;\frac 12 x-\frac35y=3\\(\text{II})\;\frac 14x+y=8\end{array}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme kannst du mit dem Einsetzungsverfahren, Gleichsetzungsverfahren oder Additionsverfahren lösen.

Mit den verschiedenen Lösungsverfahren kannst du wie folgt die Lösung berechnen. Das Einsetzungsverfahren eignet sich hier am Besten.

Einsetzungsverfahren

Hier die Lösung mit dem Einsetzungsverfahren:

Gegeben: $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}(I)\;\;\frac 12x-\frac{3}5y=3\\(\text{II})\;\frac 14x+y=8\end{array}$

Forme $(\text{II})$ so um, dass auf der einen Seite $y$ steht.

$\displaystyle (\text {II})\;\;\;\; \frac 14 x+y$	$=$	$\displaystyle 8\;\;\;$	$\displaystyle -\frac{1}{4}x$
$\displaystyle \left(\text{II'}\right)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y$	$=$	$\displaystyle 8-\frac 14 x$

Setze $y=8-\frac{1}{4}x$ in $(\text I)$ ein und löse nach $x$ auf.

$\displaystyle \left(\text{I}\right)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{1}{2}x-\frac{3}{5}y$	$=$	$\displaystyle 3$
	↓	Setze $y=8-\frac 14 x$ ein.
$\displaystyle \frac{1}{2}x-\frac{3}{5}\cdot\left(8-\frac{1}{4}x\right)$	$=$	$\displaystyle 3$
$\displaystyle \frac{1}{2}x-\frac{24}{5}+\frac{3}{20}x$	$=$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle +\frac{24}{5}$
$\displaystyle \frac{1}{2}x+\frac{3}{20}x$	$=$	$\displaystyle 3+\frac{24}{5}$
	↓	Berechne die Brüche.
$\displaystyle \frac{10}{20}x+\frac{3}{20}x$	$=$	$\displaystyle 3+4\ \frac{4}{5}$
$\displaystyle \frac{13}{20}x$	$=$	$\displaystyle 7\ \frac{4}{5}$	$\displaystyle \cdot\frac{20}{13}$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 12$

Setze $x = 12$ in $\left(\text{II'}\right)$ ein.

$\displaystyle \left(\text{II'}\right)\ \ y$	$=$	$\displaystyle 8-\frac{1}{4}x$
	↓	Setze $x = 12$ ein.
	$=$	$\displaystyle 8-\frac{1}{4}\cdot12$
	$=$	$\displaystyle 8-3$
	$=$	$\displaystyle 5$

Gib die Lösungsmenge an, dabei zuerst die Lösung für $x$ , dann für $y$ .

$L=\left\{\left(12\;\left|\;5\right.\right)\right\}$

Lösung mithilfe anderer Verfahren

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11
Ein Hotel verfügt über 105 Betten, die sich in 40 Zwei-bzw.-Dreibettzimmern befinden. Wie viele Zwei-und-Dreibettzimmer kann das Hotel vermieten?
Löse mit einem Gleichungssystem!
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Gleichungssysteme
Gleichungen aus dem Text aufstellen
Was ist bekannt? Die Summe der Anzahl der Zweibettzimmer $x$ und der Anzahl der Dreibettzimmer $y$ beträgt 40. Diese Aussage liefert dir Gleichung $\mathrm{I}$ :
$\displaystyle \mathrm{I}\quad x + y =40$
In einem Zweibettzimmer stehen zwei Betten. In $x$ Zweibettzimmern stehen somit $2\cdot x$ Betten und entsprechend stehen in den Dreibettzimmern $3\cdot x$ Betten. Insgesamt hat das Hotel 105 Betten, so dass du Gleichung $\mathrm{II}$ aufstellen kannst:
$\displaystyle \mathrm{II} \quad 2x + 3y =105$
Du hast nun folgendes lineare Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten erhalten:
$\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cl} \mathrm{I}\quad x & + & y & = & 40 & \\ \mathrm{II}\quad 2x & + & 3y & =& 105 \end{array}$
Gleichungssystem lösen
Zur Lösung dieses Gleichungssystems stehen dir drei Lösungsverfahren zur Verfügung:
Einsetzungsverfahren
Gleichsetzungsverfahren
Additionsverfahren
Lösung mit dem Einsetzungsverfahren
Löse Gleichung $\mathrm{I}$ nach einer der beiden Variablen auf und setze diese Variable in Gleichung $\mathrm{II}$ ein. Es spielt keine Rolle, ob du $\mathrm{I}$ nach $x$ oder $y$ auflöst.
$\mathrm{I'}\quad y=40-x$ . Eingesetzt in $\mathrm{II}:$
$\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}2\cdot x +3\cdot(40-x)&=&105&\vert\text{Klammer auflösen}\\\\2x+120-3x&=&105&\vert\text{zusammenfassen}\\\\-x+120&=&105&\vert-120\\\\-x&=&-15&\vert\cdot (-1)\\\\x&=&15\end{array}$
Setze $x = 15$ in Gleichung $\mathrm{I'}$ ein: $y = 40 - 15 = 25$
Die Lösungsmenge deines Gleichungssystems lautet also : $\mathbb{L}=\{(15\vert 25)\}$
Antwort: Das Hotel verfügt über $15$ Zweibettzimmer und über $25$ Dreibettzimmer.
Lösung mit dem Gleichsetzungsverfahren
Löse beide Gleichungen nach derselben Variablen auf. Du hast beim Einsetzungsverfahren schon Gleichung $\mathrm{I}$ nach $y$ aufgelöst.
$\mathrm{I'}\quad y=40-x$ . Nun muss Gleichung $\mathrm{II}$ auch nach $y$ aufgelöst werden:
$\displaystyle \def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl}2\cdot x +3\cdot y&=&105&\vert-2 x\\\\3y&=&105-2x&\vert:3\\\\\mathrm{II'}\quad y&=&35-\dfrac{2}{3}x\end{array}$
Setze nun die beiden rechten Seiten der Gleichungen $\mathrm{I'}$ und $\mathrm{II'}$ gleich:
$\displaystyle \def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl}40- x &=&35-\dfrac{2}{3}x&\vert+x\\\\40&=&35+\dfrac{1}{3}x&\vert-35\\\\5&=&\dfrac{1}{3}x&\vert\cdot3\\\\x&=&15\end{array}$
Setze $x = 15$ in Gleichung $\mathrm{I'}$ ein: $y = 40 - 15 = 25$
Die Lösungsmenge deines Gleichungssystems lautet also : $\mathbb{L}=\{(15\vert 25)\}$
Antwort: Das Hotel verfügt über $15$ Zweibettzimmer und über $25$ Dreibettzimmer.
Lösung mit dem Additionsverfahren
$\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccccccl} \mathrm{I}\quad x & + & y & = & 40 & \\ \mathrm{II}\quad 2x & + & 3y & =& 105 \end{array}$
Ziel ist es, dass sich durch Addition der beiden Gleichungen eine der unbekannten Größen aufhebt. In diesem Gleichungssystem kannst du z.B. die Gleichung $\mathrm{I}$ mit $(- 2)$ multiplizieren $\Rightarrow \mathrm{I'}$ . Durch Addition der beiden Gleichungen $\mathrm{I'}$ und $\mathrm{II}$ erhältst du schon die Lösung für $y$ :
$\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cl} \mathrm{I'}\quad &-2x& - &2y & = & -80 \\\mathrm{II}\quad &2x& + &3y & = & 105\\\mathrm{I'}+\mathrm{II}&0x&+&y&=&25\end{array}$
Setze $y = 25$ in Gleichung $\mathrm{I}$ ein: $x+25=40\Rightarrow x=15$
Die Lösungsmenge deines Gleichungssystems lautet also : $\mathbb{L}=\{(15\vert 25)\}$
Antwort: Das Hotel verfügt über $15$ Zweibettzimmer und über $25$ Dreibettzimmer.
Erstelle aus dem Aufgabentext ein lineares Gleichungssystem.
Tipp: Wähle die Variable $x$ für die Anzahl der Zweibettzimmer und die Variable $y$ für die Anzahl der Dreibettzimmer.
12
Ein Bauer hält in seinem Stall Hühner und Kaninchen. Er zählt insgesamt 120 Beine. Es gibt dreimal mehr Hühner als Kaninchen. Wie viele Hühner und Kaninchen hat der Bauer?
Löse mit einem Gleichungssystem!
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Gleichungssysteme
Gleichungen aus dem Text aufstellen
Die Anzahl der Hühner bezeichnest du mit der Variablen $x$ und mit der Variablen $y$ die Anzahl der Kaninchen. Was ist bekannt? Ein Huhn hat zwei Beine, ein Kaninchen hat vier Beine. Somit haben $x$ Hühner $2\cdot x$ Beine und $y$ Kaninchen haben $4\cdot y$ Beine. Diese Aussage liefert dir Gleichung $\mathrm{I}$ :
$\displaystyle \mathrm{I}\quad 2\cdot x + 4 \cdot y =120$
"Es gibt dreimal mehr Hühner als Kaninchen" muss als Gleichung formuliert werden. Da $y$ die Anzahl der Kaninchen ist, musst du $y$ mit $3$ multiplizieren um die Anzahl $x$ der Hühner zu erhalten. Du kannst nun Gleichung $\mathrm{II}$ aufstellen:
$\displaystyle \mathrm{II} \quad x =3\cdot y$
Du hast nun folgendes lineare Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten erhalten:
$\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cl} \mathrm{I}\quad 2x & + &4 y & = & 120 & \\ \mathrm{II}\quad x&=&3y& \end{array}$
Zur Lösung dieses Gleichungssystems stehen dir drei Lösungsverfahren zur Verfügung:
Einsetzungsverfahren
Gleichsetzungsverfahren
Additionsverfahren
Hier bietet sich das Einsetzungsverfahren an, da Gleichung $\mathrm{II}$ schon nach der Variablen $x$ aufgelöst ist.
Lösung mit dem Einsetzungsverfahren
Setze Gleichung $\mathrm{II}\;\; x =3\cdot y$ in Gleichung $\mathrm{I}$ ein:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}2\cdot (3y) +4y&=&120&\vert\text{Klammer auflösen}\\\\6y+4y&=&120&\vert\text{ zusammenfassen}\\\\10y&=&120&\vert:10\\\\y&=&12&\end{array}$
Setze $y = 12$ in Gleichung $\mathrm{II}$ ein: $x=3 \cdot12=36$
Die Lösungsmenge deines Gleichungssystems lautet also : $\mathbb{L}=\{(36\vert 12)\}$
Antwort: Der Bauer besitzt $36$ Hühner und $12$ Kaninchen.
Erstelle aus dem Aufgabentext ein lineares Gleichungssystem.
Tipp: Wähle die Variable $x$ für die Anzahl der Hühner und die Variable $y$ für die Anzahl der Kaninchen.

Bestimme die Lösungsmengen folgender nicht-linearer Gleichungssysteme.

Gib die Lösungsmenge in der Form $(x; y)$ in das Eingabefeld ein. Beispiel: $(- 2,5; 1)$

$\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcll}(\text{I})&\dfrac 4x+\dfrac 8y&=&\dfrac53\\\\(\text{II})&\dfrac 2x-\dfrac 4y&=&-\dfrac16\end{array}$

wobei $x,y \neq 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme kannst du mit dem Einsetzungsverfahren, Gleichsetzungsverfahren oder Additionsverfahren lösen.

Probiere diese Verfahren für dieses nicht-lineare Gleichungssystem aus.

Hier eignet sich das Additionsverfahren. Wenn man die beiden Gleichungen so umformt, dass die Terme mit $x$ oder $y$ identisch sind, kann man die beiden umgeformten Gleichungen voneinander abziehen und muss nur noch eine Gleichung mit einer Variablen lösen.

Lösung mithilfe des Additionsverfahren

Mit dem Additionsverfahren kommst du auf diese Lösung:

Gegeben: $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}(\text{I})&\frac 4x+\frac 8y&=&\frac53\\(\text{II})&\frac 2x-\frac 4y&=&-\frac16\end{array}$

Die Gleichung $(\text{II})$ enthält den Term $-\frac{4}{y}$ und die Gleichung $(\text I)$ ein Vielfaches von $-\frac{4}{y}$ und zwar $\frac{8}{y}$ . Nimm also $(\text{II})$ mal $2$ und addiere dann die Gleichungen, um den Term $\frac{8}{y}$ zu eliminieren.

$\displaystyle \left(\text{II}\right)\ \ \frac{2}{x}-\frac{4}{y}$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{6}$	$\displaystyle \cdot2$
$\displaystyle \left(\text{II}'\right)\ \ \frac{4}{x}-\frac{8}{y}$	$=$	$\displaystyle -\frac{2}{6}$

Das neue Gleichungssystem lautet also:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}(\text{I})&\frac 4x+\frac 8y&=&\frac53\\(\text{II}')&\frac 4x-\frac 8y&=&-\frac26\end{array}$

$(\text I) + (\text{II}')$ :

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}(\text{I})&\frac 4x+\frac 8y&=&\frac53\\+\;\;(\text{II}')&\frac 4x-\frac 8y&=&-\frac26\end{array}$

$\overline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{8}{x}\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;\frac{5}3-\frac{2}{6}\;\;\;}$

Löse nun die neu entstandene Gleichung nach $x$ auf.

$\displaystyle \frac{8}{x}$	$=$	$\displaystyle \frac{5}{3}-\frac{2}{6}$
$\displaystyle \frac{8}{x}$	$=$	$\displaystyle \frac{5}{3}-\frac{1}{3}$
$\displaystyle \frac{8}{x}$	$=$	$\displaystyle \frac{4}{3}$
	↓	Bilde die Kehrbrüche.
$\displaystyle \frac{x}{8}$	$=$	$\displaystyle \frac{3}{4}$	$\displaystyle \cdot8$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{3\cdot8}{4}$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 6$

Setze $x$ nun in eine der obigen Gleichungen ein, z.B. in $(\text{I})$ , und löse nach $y$ auf.

$\displaystyle \left(\text{I}\right)\ \ \frac{4}{x}+\frac{8}{y}$	$=$	$\displaystyle \frac{5}{3}$
	↓	Setze $x = 6$ ein.
$\displaystyle \frac{4}{6}+\frac{8}{y}$	$=$	$\displaystyle \frac{5}{3}$	$\displaystyle -\frac{4}{6}$
$\displaystyle \frac{8}{y}$	$=$	$\displaystyle \frac{5}{3}-\frac{4}{6}$
$\displaystyle \frac{8}{y}$	$=$	$\displaystyle \frac{5}{3}-\frac{2}{3}$
$\displaystyle \frac{8}{y}$	$=$	$\displaystyle \frac{3}{3}$
$\displaystyle \frac{8}{y}$	$=$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle \cdot y$
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 8$

Gib die Lösungsmenge an. $L=\left\{\left(x\;\left|\;y\right.\right)\right\}=\left\{\left(6\;\left|\;8\right.\right)\right\}$ .

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$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrcl}(\text I)&\frac{7}{x}-\frac{12}{y}&=&\frac{5}{6}\\\left(\text{II}\right)&\frac{4}{y}+\frac{5}{2}&=&\frac{9}{x}\end{array}$

wobei $x,y \neq 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme kannst du mit dem Einsetzungsverfahren, Gleichsetzungsverfahren oder Additionsverfahren lösen.

Probiere diese Verfahren für dieses nicht-lineare Gleichungssystem aus.

Lösung mithilfe des Additionsverfahren

Mit dem Additionsverfahren kommst du auf diese Lösung:

Gegeben: $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrcl}(\text I)&\frac{7}{x}-\frac{12}{y}&=&\frac{5}{6}\\\left(\text{II}\right)&\frac{4}{y}+\frac{5}{2}&=&\frac{9}{x}\end{array}$

Forme $(\text{II})$ so um, dass auf einer Seite alle Variablen und auf der anderen nur Zahlen sind.

$\displaystyle (\text{II})\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac4y+\frac52$	$=$	$\displaystyle \frac{9}{x}\ \ \ \ \ \ \$	$\displaystyle -\frac{9}{x}-\frac{5}{2}$
$\displaystyle (\text{II}')\;\;\;\;-\frac{9}{x}+\frac{4}{y}$	$=$	$\displaystyle -\frac{5}{2}$

Das neue Gleichungssystem lautet nun:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrcl}(\text I)&\frac{7}{x}-\frac{12}{y}&=&\frac{5}{6}\\\left(\text{II}'\right)&-\frac{9}{x}+\frac{4}{y}&=&-\frac{5}{2}\end{array}$

Die Gleichung $(\text{II}')$ enthält den Term $\frac{4}{y}$ und die Gleichung $(\text I)$ ein Vielfaches von $\frac{4}{y}$ und zwar $-\frac{12}{y}$ . Nimm also $(\text{II}')$ mal $3$ und addiere dann die Gleichungen, um den Term $\frac{12}{y}$ zu eliminieren.

$\displaystyle \left(\text{II}'\right)\ \ \ \ -\frac{9}{x}+\frac{4}{y}$	$=$	$\displaystyle -\frac{5}{2}$	$\displaystyle \cdot3$
$\displaystyle \left(\text{II}''\right)\ \ -\frac{27}{x}+\frac{12}{y}$	$=$	$\displaystyle -\frac{15}{2}$

$(\text I) +(\text{II}'')$ :

$\left(I\right)\frac7x-\frac{12}y=\frac56$

$\left(II\right)-\frac{27}{x}+\frac{12}{y}=-\frac{15}{2}$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrcr}(\text I)&\frac{7}{x}-\frac{12}{y}&=&\frac{5}{6}\\+\left(\text{II}''\right)&-\frac{27}{x}+\frac{12}{y}&=&-\frac{15}{2}\end{array}$

$\overline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-\frac{20}x\;=\;-\frac{40}6\;\;\;}$

Löse nun die Gleichung $-\frac{20}x\;=\;-\frac{40}6$ , indem du Kehrbrüche bildest.

$\displaystyle -\frac{20}{x}$	$=$	$\displaystyle -\frac{40}{6}$
$\displaystyle -\frac{x}{20}$	$=$	$\displaystyle -\frac{6}{40}$	$\displaystyle \cdot\left(-20\right)$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{6\cdot20}{2\cdot20}$
	↓	Kürze.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{6}{2}$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 3$

Setze $x$ nun in eine der obigen Gleichungen ein, z.B. in $(\text{II})$ , und löse nach $y$ auf.

$\displaystyle \left(\text{II}\right)\ \ \ \frac{4}{y}+\frac{5}{2}$	$=$	$\displaystyle \frac{9}{x}$
	↓	Setze $x = 3$ ein.
$\displaystyle \frac{4}{y}+\frac{5}{2}$	$=$	$\displaystyle \frac{9}{3}$	$\displaystyle -\frac{5}{2}$
$\displaystyle \frac{4}{y}$	$=$	$\displaystyle \frac{9}{3}-\frac{5}{2}$
$\displaystyle \frac{4}{y}$	$=$	$\displaystyle \frac{18}{6}-\frac{15}{6}$
$\displaystyle \frac{4}{y}$	$=$	$\displaystyle \frac{3}{6}$
$\displaystyle \frac{4}{y}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}$
	↓	Bilde Kehrbrüche.
$\displaystyle \frac{y}{4}$	$=$	$\displaystyle \frac{2}{1}$	$\displaystyle \cdot4$
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 8$

Gib die Lösungsmenge an. $L=\left\{\left(x\;\left|\;y\right.\right)\right\}=\left\{\left(3\;\left|\;8\right.\right)\right\}$

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$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}(\text I)\;\;\frac{4}{3x+1}=\frac{2}{3y-13}\\(\text{II})\;\frac 2{5x-10}=\frac{4}{7y-6}\end{array}$

wobei $x\notin\left\{-\frac{1}{3};2\right\}$ und $y\notin\left\{\frac{13}{3};\frac{6}{7}\right\}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme kannst du mit dem Einsetzungsverfahren, Gleichsetzungsverfahren oder Additionsverfahren lösen.

Das gegebene nicht-lineare Gleichungssystem kannst du jedoch in ein lineares Gleichungssystem umwandeln.

Gegeben: $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}(\text{I})\;\;\frac{4}{3x+1}=\frac{2}{3y-13}\\(\text{II})\;\frac 2{5x-10}=\frac{4}{7y-6}\end{array}$

Forme $(I)$ und $(I I)$ so um, dass beide Gleichungen keinen Bruch mehr beinhalten.

$\displaystyle \left(\text{I}\right)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{4}{3x+1}$	$=$	$\displaystyle \frac{2}{3y-13}$	$\displaystyle \cdot\left(3x+1\right)\cdot\left(3y-13\right)$
	↓	Multipliziere mit den Nennern.
$\displaystyle 4\cdot\left(3y-13\right)$	$=$	$\displaystyle 2\cdot\left(3x+1\right)$
$\displaystyle \left(\text{I}'\right)\ \ \ \ \ \ \ \ 12y-52$	$=$	$\displaystyle 6x+2$

$\displaystyle \left(\text{II}\right)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{2}{5x-10}$	$=$	$\displaystyle \frac{4}{7y-6}$	$\displaystyle \cdot\left(5x-10\right)\cdot\left(7y-6\right)$
	↓	Multipliziere mit den Nennern.
$\displaystyle 2\cdot\left(7y-6\right)$	$=$	$\displaystyle 4\cdot\left(5x-10\right)$
$\displaystyle \left(\text{II}'\right)\ \ \ \ \ 14y-12$	$=$	$\displaystyle 20x-40$

Das lineare Gleichungssystem lautet also:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}(\text{I}')\;\;12y-52=6x+2\\(\text{II}')\;14y-12=20x-40\end{array}$

Nun kannst du die bekannten Verfahren für die Lösung des Gleichungssystems anwenden.

Lösung mithilfe des Einsetzungsverfahren

Mit dem Einsetzungsverfahren kommst du auf diese Lösung:

Gegeben: $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}(\text I')\;\;12y-52=6x+2\\(\text{II}')\;14y-12=20x-40\end{array}$

Forme $(\text{I}')$ so um, dass nur noch $x$ auf einer Seite steht.

$\displaystyle \left(\text{I}'\right)\ \ \ \ \ 12y-52$	$=$	$\displaystyle 6x+2$	$\displaystyle -2$
$\displaystyle 12y-54$	$=$	$\displaystyle 6x$	$\displaystyle :6$
$\displaystyle \left(\text{I}''\right)\ \ \ \ \ \ \ \ 2y-9$	$=$	$\displaystyle x$

Setze $x = 2 y - 9$ in $(\text{II}')$ ein.

$\displaystyle \left(\text{II}'\right)\ \ \ 14y-12$	$=$	$\displaystyle 20x-40$
	↓	Setze $x = 2 y - 9$ ein.
$\displaystyle 14y-12$	$=$	$\displaystyle 20\cdot\left(2y-9\right)-40$
	↓	Löse nun nach $y$ auf.
$\displaystyle 14y-12$	$=$	$\displaystyle 40y-180-40$
$\displaystyle 14y-12$	$=$	$\displaystyle 40y-220$	$\displaystyle -14y+220$
$\displaystyle 208$	$=$	$\displaystyle 26y$	$\displaystyle :26$
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 8$

Setze $y = 8$ in $(\text I')$ ein, um $x$ zu berechnen.

$\displaystyle \left(\text{I}'\right)\ \ x$	$=$	$\displaystyle 2y-9$
	↓	Setze $y = 8$ ein.
	$=$	$\displaystyle 2\cdot8-9$
	$=$	$\displaystyle 16-9$
	$=$	$\displaystyle 7$

Gib die Lösungmenge an. $L=\left\{\left(x\left|y\right.\right)\right\}=\left\{\left(7\left|8\right.\right)\right\}$

Zusatz: Überprüfe deine Lösung durch eine Probe

Setze $x = 7$ und $y = 8$ in deine Gleichungen $(\text I)$ und $(\text{II})$ ein und prüfe, ob die Gleichung stimmt.

$\displaystyle (\text I)\;\;\frac{4}{3x+1}$	$=$	$\displaystyle \frac{2}{3y-13}$
	↓	Setze $x = 7$ und $y = 8$ ein.
$\displaystyle \frac{4}{3\cdot7+1}$	$=$	$\displaystyle \frac{2}{3\cdot8-13}$
$\displaystyle \frac{4}{21+1}$	$=$	$\displaystyle \frac{2}{24-13}$
$\displaystyle \frac{4}{22}$	$=$	$\displaystyle \frac{2}{11}$
$\displaystyle \frac{2}{11}$	$=$	$\displaystyle \frac{2}{11}\ \ \ \ \checkmark$

$\displaystyle (\text{II})\;\frac 2{5x-10}$	$=$	$\displaystyle \frac{4}{7y-6}$
	↓	Setze $x = 7$ und $y = 8$ ein.
$\displaystyle \frac 2{5\cdot 7-10}$	$=$	$\displaystyle \frac{4}{7\cdot 8-6}$
$\displaystyle \frac 2{35-10}$	$=$	$\displaystyle \frac{4}{56-6}$
$\displaystyle \frac 2{25}$	$=$	$\displaystyle \frac{4}{50}$
$\displaystyle \frac{2}{25}$	$=$	$\displaystyle \frac{2}{25}\ \ \ \ \ \ \ \checkmark$

Beide Gleichungen sind richtig, also stimmt unsere Lösung.

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$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrcl}(\text I)&\frac{3}{2x-1}-\frac{8}{3y+2}&=&-\frac{1}{5}\\\left(\text{II}\right)&\frac5{2x-1}+\frac4{3y+2}&=&\frac8{15}\end{array}$

wobei $x \neq \frac 12$ und $y \neq -\frac 23$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineares Gleichungssystem

Lineare Gleichungssysteme kannst du mit dem Einsetzungsverfahren, Gleichsetzungsverfahren oder Additionsverfahren lösen.

Probiere diese Verfahren für dieses nicht-lineare Gleichungssystem aus.

Lösung mithilfe des Additionsverfahren

Mit dem Additionsverfahren kommst du auf diese Lösung:

Gegeben: $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrcl}(\text I)&\frac3{2x-1}-\frac8{3y+2}&=&-\frac{1}{5}\\\left(\text{II}\right)&\frac5{2x-1}+\frac4{3y+2}&=&\frac{8}{15}\end{array}$

Die Gleichung $(\text{II})$ enthält den Term $\frac{4}{3y+2}$ und die Gleichung $(\text I)$ ein Vielfaches von $\frac{4}{3y+2}$ und zwar $-\frac{8}{3y+2}$ . Nimm also $(\text{II})$ mal $2$ und addiere dann die Gleichungen, um den Term $\frac{8}{3y+2}$ zu eliminieren.

$\displaystyle \left(\text{II}\right)\ \ \frac{5}{2x-1}+\frac{4}{3y+2}$	$=$	$\displaystyle \frac{8}{15}\ \ \ \ \$	$\displaystyle \cdot2$
$\displaystyle \left(\text{II}'\right)\ \ \frac{10}{2x-1}+\frac{8}{3y+2}$	$=$	$\displaystyle \frac{16}{15}$

Das neue Gleichungssystem lautet also:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrcl}(\text I)&\frac3{2x-1}-\frac8{3y+2}&=&-\frac{1}{5}\\\left(\text{II}'\right)&\frac{10}{2x-1}+\frac8{3y+2}&=&\frac{16}{15}\end{array}$

$(\text I)+(\text{II}')$ :

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrcl}(\text I)&\frac3{2x-1}-\frac8{3y+2}&=&-\frac{1}{5}\\+\left(\text{II}'\right)&\frac{10}{2x-1}+\frac8{3y+2}&=&\frac{16}{15}\end{array}$

$\overline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{13}{2x-1}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;-\frac{1}5+\frac{16}{15}\;\;\;}$

Löse nun die durch die Addition entstandene Gleichung nach $x$ auf.

$\displaystyle \frac{13}{2x-1}$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{5}+\frac{16}{15}$
$\displaystyle \frac{13}{2x-1}$	$=$	$\displaystyle -\frac{3}{15}+\frac{16}{15}$
$\displaystyle \frac{13}{2x-1}$	$=$	$\displaystyle \frac{13}{15}$
	↓	Bilde die Kehrbrüche.
$\displaystyle \frac{2x-1}{13}$	$=$	$\displaystyle \frac{15}{13}$	$\displaystyle \cdot13$
$\displaystyle 2x-1$	$=$	$\displaystyle 15$	$\displaystyle +1$
$\displaystyle 2x$	$=$	$\displaystyle 16$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 8$

Setze $x$ nun in eine der obigen Gleichungen ein, z.B. in $(\text{I})$ , und löse nach $y$ auf.

$\displaystyle \left(\text{I}\right)\ \ \frac{3}{2x-1}-\frac{8}{3y+2}$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{5}$
	↓	Setze $x = 8$ ein.
$\displaystyle \frac{3}{2\cdot8-1}-\frac{8}{3y+2}$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{5}$
$\displaystyle \frac{3}{15}-\frac{8}{3y+2}$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{5}$
$\displaystyle \frac{1}{5}-\frac{8}{3y+2}$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{5}$	$\displaystyle -\frac{1}{5}$
$\displaystyle -\frac{8}{3y+2}$	$=$	$\displaystyle -\frac{2}{5}$
	↓	Bilde den Kehrbruch.
$\displaystyle -\frac{3y+2}{8}$	$=$	$\displaystyle -\frac{5}{2}$	$\displaystyle \cdot\left(-8\right)$
$\displaystyle 3y+2$	$=$	$\displaystyle \frac{5\cdot8}{2}$
$\displaystyle 3y+2$	$=$	$\displaystyle 20$	$\displaystyle -2$
$\displaystyle 3y$	$=$	$\displaystyle 18$	$\displaystyle :3$
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 6$

Gib die Lösungsmenge an, dabei zuerst die Lösung für $x$ , dann für $y$ .

$L=\left\{\left(8\;\left|\;6\right.\right)\right\}$

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Einem Schüler sind beim Lösen der folgenden Aufgaben einige Fehler unterlaufen. Korrigiere seine Lösungen.

Korrigiere die Lösung mithilfe des Gleichsetzungsverfahren

$\displaystyle I.\ x_1$	$=$	$\displaystyle x_2+4$
$\displaystyle II.\ 2x_1$	$=$	$\displaystyle 10+3x_2$
	↓	Gleichsetzen:
$\displaystyle x_2+4$	$=$	$\displaystyle 10+3x_2$	$\displaystyle -x_2$
$\displaystyle 4$	$=$	$\displaystyle 10+2x_2$	$\displaystyle -10$
$\displaystyle -6$	$=$	$\displaystyle 2x_2$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle -3$	$=$	$\displaystyle x_2$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle -3+4$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle 1$

Korrigiere die folgende Lösung mithilfe des Einsetzungsverfahren

$\displaystyle I.\ 3x_1+4x_2$	$=$	$\displaystyle 8$
$\displaystyle II.\ x_1$	$=$	$\displaystyle 3-2x_2$
	↓	Einsetzen
$\displaystyle 3\cdot3-2x_2+4x_2$	$=$	$\displaystyle 8$
$\displaystyle 9x+2x_2$	$=$	$\displaystyle 8$	$\displaystyle -9$
$\displaystyle 2x_2$	$=$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle -0{,}5$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle 3-2\cdot\left(-0{,}5\right)$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle 4$

Korrigiere folgende Lösung mithilfe des Additionsverfahren

$\displaystyle I.\ 2x_1+x_2$	$=$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle II.\ 2x_1-3x_2$	$=$	$\displaystyle 11$
$\displaystyle I.\ +\ II.\ -2x_2$	$=$	$\displaystyle 10$	$\displaystyle :\left(-2\right)$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle -5$
$\displaystyle 2x_1-5$	$=$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle +5$
$\displaystyle 2x_1$	$=$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle 2$

L = {(2/4)}

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle 1{,}5x+2$	$=$	$\displaystyle 0{,}5x+2{,}5\;\;$	$\displaystyle -0{,}5x$
$\displaystyle x+2$	$=$	$\displaystyle 2{,}5$	$\displaystyle -2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 0{,}5$

$\displaystyle 0{,}5y-2$	$=$	$\displaystyle 0{,}4y-0{,}2\;\;$	$\displaystyle +2$
$\displaystyle 0{,}5y$	$=$	$\displaystyle 0{,}4y+1{,}8$	$\displaystyle -0{,}4y$
$\displaystyle 0{,}1y$	$=$	$\displaystyle 1{,}8$	$\displaystyle :0{,}1$
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 18$

I. - II.
	↓
$\displaystyle \left(2x_1+x_2\right)-\left(2x_1-3x_2\right)$	$=$	$\displaystyle -1-11$
$\displaystyle x_2+3x_2$	$=$	$\displaystyle -12$
$\displaystyle 4x_2$	$=$	$\displaystyle -12$	$\displaystyle :4$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle -3$

$\displaystyle \text{I}\ \ \ \ \ \ 3\cdot\left(-\frac{7}{9}\right)+4$	$=$	$\displaystyle y$
$\displaystyle \frac{3\cdot\left(-7\right)}{9}+4$	$=$	$\displaystyle y$
$\displaystyle \frac{3\cdot\left(-7\right)}{3\cdot3}+4$	$=$	$\displaystyle y$
	↓	Kürze den linken Bruch mit 3 und schreibe 4 als Bruch.
$\displaystyle -\frac{7}{3}+\frac{4}{1}$	$=$	$\displaystyle y$
	↓	Erweitere $\frac 41$ mit 3, um die Brüche zu addieren.
$\displaystyle -\frac{7}{3}+\frac{4\cdot3}{1\cdot3}$	$=$	$\displaystyle y$
	↓	Addiere die Brüche
$\displaystyle \frac{\left(-7\right)+12}{3}$	$=$	$\displaystyle y$
$\displaystyle \frac{5}{3}$	$=$	$\displaystyle y$

$\displaystyle II.\ 2x_1$	$=$	$\displaystyle 10+3x_2$
	↓	Teile Gleichung I durch 2, damit $x_{1}$ alleine steht
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle 5+1{,}5x_2$	$\displaystyle :2$

Setze Gleichung I und II gleich
	↓
$\displaystyle x_2+4$	$=$	$\displaystyle 5+1{,}5x_2$	$\displaystyle -x_2$
	↓	Bring das x2 auf die andere Seite, um alle Vorkommen auf einer Seite zu haben
$\displaystyle 4$	$=$	$\displaystyle 5+0{,}5x_2$	$\displaystyle -5$
	↓	Subtrahiere auf beiden Seiten 5
$\displaystyle -1$	$=$	$\displaystyle 0{,}5x_2$	$\displaystyle :0{,}5$
	↓	Teile durch 0,5
$\displaystyle -2$	$=$	$\displaystyle x_2$

$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle -2+4$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle 2$

Setze die rechte Seite der Gleichung II vor dem Einsetzen unbedingt in eine Klammer. Ersetze $x_{1}$ in Gleichung I durch den rechten Teil von Gleichung II.
	↓
$\displaystyle 3\cdot\left(3-2x_2\right)+4x_2$	$=$	$\displaystyle 8$
	↓	Multipliziere alle Werte in der Klammer mit 3
$\displaystyle 9-6x_2+4x_2$	$=$	$\displaystyle 8$
	↓	Vereinfache die Gleichung I
$\displaystyle 9-2x_2$	$=$	$\displaystyle 8$	$\displaystyle -9$
	↓	Subtrahiere von beiden Seiten 9
$\displaystyle -2x_2$	$=$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle :\left(-2\right)$
	↓	Teile beide Seiten durch -2
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle 0{,}5$
	↓	Setze $x_2=0{,}5$ in Gleichung II ein

$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle 3-2\cdot0{,}5$
	↓	Berechne den Term unter Beachtung von Punkt vor Strich
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle 2$

$\displaystyle 2x_1-3$	$=$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle +3$
$\displaystyle 2x_1$	$=$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle 1$

Aufgaben mit zwei Unbekannten

Lineares Gleichungssystem mit Gleichsetzungsverfahren

1. Beide Gleichungen nach y auflösen

2. Gleichsetzen

3. Gleichung nach x auflösen

4. x einsetzen, um y heraus zu finden

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Lineares Gleichungssystem mit Gleichsetzungsverfahren

1. Beide Gleichungen nach x auflösen

2. Gleichsetzen

3. Gleichung nach y auflösen

4. yyy einsetzen, um xxx heraus zu finden

Hast du eine Frage oder Feedback?

Lineares Gleichungssystem mit Gleichsetzungsverfahren

1. Beide Gleichungen nach einer Variable auflösen

2. Gleichsetzen

3. Nach der einen Variable auflösen

4. In eine Gleichung einsetzten, um die andere Variable heraus zu finden

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0. Schritt: Aufräumen der Gleichungen und Auswahl einer Variablen

1. Schritt: Vervielfachen der Gleichungen

Gleichung 1

Gleichung 2

2. Schritt: Entfernung einer Variablen durch Addition/Subtraktion

3. Schritt: Werte der beiden Variablen bestimmen

Wert von yyy bestimmen

Wert von xxx bestimmen: Einsetzen von yyy in II\mathrm{II}II

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Lösung mit Einsetzungsverfahren

Alternative Lösung: Gleichsetzungsverfahren

Alternative Lösung: Kombination Additionsverfahren und Einsetzverfahren

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Lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten

Graphisches Lösen

Rechnerisches Lösen

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Lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten

Graphisches Lösen

Rechnerisches Lösen

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Lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten

Graphisches Lösen

Rechnerisches Lösen

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Einsetzungsverfahren

Lösung mithilfe der anderen Verfahren

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Einsetzungsverfahren

Lösung mithilfe anderer Verfahren

Hast du eine Frage oder Feedback?

Gleichungen aus dem Text aufstellen

Gleichungssystem lösen

Lösung mit dem Einsetzungsverfahren

Lösung mit dem Gleichsetzungsverfahren

Lösung mit dem Additionsverfahren

Gleichungen aus dem Text aufstellen

Lösung mit dem Einsetzungsverfahren

Lösung mithilfe des Additionsverfahren

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Lösung mithilfe des Additionsverfahren

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Lösung mithilfe des Einsetzungsverfahren

Zusatz: Überprüfe deine Lösung durch eine Probe

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Lösung mithilfe des Additionsverfahren

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4. $y$ einsetzen, um $x$ heraus zu finden

Wert von $y$ bestimmen

Wert von $x$ bestimmen: Einsetzen von $y$ in $\mathrm{II}$