Aufgaben mit zwei Unbekannten - lernen mit Serlo!

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Welche der folgenden Systeme ist ein lineares Gleichungssystem? Markiere alle zutreffenden Antworten.
- $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrll}\mathrm{I} &2& = &a& + &b& + &c&\\\mathrm{II} &3& = &a& - &b& + &c&\\\mathrm{III} &1& = &&&&&c&\end{array}$
- $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrll}\mathrm{I} &x& + &y& = &2&\\\mathrm{II} &5& - &y& = &4&\end{array}$
- $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrll}\mathrm{I} &x& = &1\\\mathrm{II} &y& = &2\end{array}$
- $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrll}\mathrm{I} &x& = &0\\\mathrm{II} &x& = &2&\end{array}$
- $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrll}\mathrm{I} &\frac7x&-&\frac{12}y&=&\frac56\\\mathrm{II} &x&-&y& = &2\end{array}$
- $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrll}\mathrm{I} &-3& = &x& + &2y&\\\mathrm{II} &1& = &x^2& + &y&\end{array}$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Gleichungsystem
Überlege dir, was ein lineares Gleichungssystem überhaupt ist:
Mehrere Gleichungen, die gleichzeitig erfüllt sein müssen, nennt man Gleichungssystem.
Wenn zusätzlich noch jede Variable höchstens mit dem Exponenten $1$ auftaucht, wird es Lineares Gleichungssystem genannt.
Überprüfe nun die beiden Kriterien.
Du erkennst, dass…
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrll}\mathrm{I} &\frac7x&-&\frac{12}y&=&\frac56\\\mathrm{II} &x&-&y& = &2\end{array}$
… kein Lineares Gleichungssystem ist, weil in der ersten Gleichung sowohl $x$ als auch $y$ den Exponenten $- 1$ haben.
Du erkennst weiter, dass…
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrll}\mathrm{I} &-3& = &x& + &2y&\\\mathrm{II} &1& = &x^2& + &y&\end{array}$
… kein Lineares Gleichungssystem ist, weil $x$ in der zweiten Gleichung mit dem Exponenten $2$ auftaucht.
In allen anderen Fällen sind beide Kriterien erfüllt. Es handelt es sich somit um lineare Gleichungssysteme.
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Wie viele Lösungen hat folgendes lineares Gleichungssystem?
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrll}\mathrm{I} &-3& = &x& + &2y&\\\mathrm{II} &1& = &x& + &2y&\end{array}$
- keine
- unendlich viele
- genau eine
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lösbarbarkeit von Gleichungssystemen
Du zeigst, dass die Gleichungen $\mathrm{I}$ und $\mathrm{II}$ nicht gleichzeitig erfüllt sein können. Dabei verwendest du am besten das Subtraktionsverfahren.
Subtrahiere Gleichung $\mathrm{II}$ von Gleichung $\mathrm{I}$ .
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rlrl}\mathrm{I} - \mathrm{II} \;\rightarrow &-4 &= &0 \end{array}$
Die Gleichung ist offensichtlich falsch. Damit ist auch das gegebene Gleichungssystem falsch und hat keine Lösung.
Die Lösungsmenge ist somit $\mathbb{L}=\{\}$ .
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Wie viele Lösungen hat folgendes Gleichungssystem?
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrll}\mathrm{I} &\frac{9}{2}x&-&\frac{3}{2}y&=&3\\\mathrm{II} &3x& = &2&+&y\end{array}$
- unendlich viele
- genau eine
- keine
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lösbarkeit von Gleichungssystemen
Du zeigst, dass die Gleichungen $\mathrm{I}$ und $\mathrm{II}$ äquivalent sind. Das heißt, jedes $x$ und $y$ , das Gleichung $\mathrm{I}$ löst, liefert auch für Gleichung $\mathrm{II}$ eine wahre Aussage.
Eine Möglichkeit, dies zu zeigen, ist das Einsetzungsverfahren.
Stelle zunächst Gleichung $\mathrm{II}$ nach y um.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrll}\mathrm{II} &3x& = &2&+&y &\vert -2\end{array}$
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lrll}\mathrm{II}' &3x&-&2& = &y\end{array}$
Setze nun $\mathrm{II}'$ in Gleichung $\mathrm{I}$ ein. Du erhältst die neue Gleichung $\mathrm{I'}$ .
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrll}\mathrm{I'} &\frac{9}{2}x&-&\frac{3}{2}(3x - 2)&=&3\end{array}$
Fasse die linke Seite der Gleichung zusammen.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrll}\mathrm{I'} &3&=&3\end{array}$
Die Gleichung $\mathrm{I'}$ ist wahr und zwar unabhängig von $x$ . Es gibt also unendlich viele Lösungen.
$\mathbb{L}=\{(x|y)|\;y=3x-2\}$
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Wie viele Lösungen hat folgendes lineares Gleichungssystem?
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrll}\mathrm{I} &2x&+&y&=&\frac56\\\mathrm{II} &x&-&2y& = &2\end{array}$
- genau eine
- unendlich viele
- keine
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lösbarkeit der Gleichungssysteme
Ein lineares Gleichungssystem hat genau eine Lösung, wenn es eindeutig nach $x$ und $y$ aufgelöst werden kann.
Um das herauszufinden, bietet sich das Einsetzungsverfahren an, da man zum Beispiel Gleichung $\mathrm{I}$ sehr einfach nach $y$ umstellen kann.
Stelle zunächst Gleichung $\mathrm{I}$ nach $y$ um.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrll}\mathrm{I} &2x&+&y& = &\frac{5}{6} & \vert -2x\end{array}$
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrll}\mathrm{I'} &y& = &\frac{5}{6}&-&2x\end{array}$
Setze nun $\mathrm{I'}$ in Gleichung $\mathrm{II}$ ein. Du erhältst die neue Gleichung $\mathrm{II'}$ .
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrll}\mathrm{II'} &x&-&2(\frac56 - 2x)&=&2\end{array}$
Fasse die linke Seite zusammen.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrll}\mathrm{II'} &5x&-&\frac53&=&2\end{array}$
Löse nach $x$ auf.
$x = \frac{11}{15}$
$x = \frac{11}{15}$ zum Beispiel in Gleichung $\mathrm{I}$ ein, um $y$ zu bestimmen.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrll}\mathrm{I} &2\cdot(\frac{11}{15})&+&y& = &\frac{5}{6}\end{array}$
Löse nach $y$ auf.
$y = -\frac{19}{30}$
Es gibt also genau eine Lösung.
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