Aufgaben mit zwei Unbekannten - lernen mit Serlo!

Bestimme die Lösungsmengen folgender nicht-linearer Gleichungssysteme.

Gib die Lösungsmenge in der Form $(x;y)$ in das Eingabefeld ein. Beispiel: $(-2{,}5;1)$

$\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcll}(\text{I})&\dfrac 4x+\dfrac 8y&=&\dfrac53\\\\(\text{II})&\dfrac 2x-\dfrac 4y&=&-\dfrac16\end{array}$

wobei $x,y \neq 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme kannst du mit dem Einsetzungsverfahren, Gleichsetzungsverfahren oder Additionsverfahren lösen.

Probiere diese Verfahren für dieses nicht-lineare Gleichungssystem aus.

Hier eignet sich das Additionsverfahren. Wenn man die beiden Gleichungen so umformt, dass die Terme mit $x$ oder $y$ identisch sind, kann man die beiden umgeformten Gleichungen voneinander abziehen und muss nur noch eine Gleichung mit einer Variablen lösen.

Lösung mithilfe des Additionsverfahren

Mit dem Additionsverfahren kommst du auf diese Lösung:

Gegeben: $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}(\text{I})&\frac 4x+\frac 8y&=&\frac53\\(\text{II})&\frac 2x-\frac 4y&=&-\frac16\end{array}$

Die Gleichung $(\text{II})$ enthält den Term $-\frac{4}{y}$ und die Gleichung $(\text I)$ ein Vielfaches von $-\frac{4}{y}$ und zwar $\frac{8}{y}$ . Nimm also $(\text{II})$ mal $2$ und addiere dann die Gleichungen, um den Term $\frac{8}{y}$ zu eliminieren.

$\displaystyle \left(\text{II}\right)\ \ \frac{2}{x}-\frac{4}{y}$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{6}$	$\displaystyle \cdot2$
$\displaystyle \left(\text{II}'\right)\ \ \frac{4}{x}-\frac{8}{y}$	$=$	$\displaystyle -\frac{2}{6}$

Das neue Gleichungssystem lautet also:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}(\text{I})&\frac 4x+\frac 8y&=&\frac53\\(\text{II}')&\frac 4x-\frac 8y&=&-\frac26\end{array}$

$(\text I) + (\text{II}')$ :

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}(\text{I})&\frac 4x+\frac 8y&=&\frac53\\+\;\;(\text{II}')&\frac 4x-\frac 8y&=&-\frac26\end{array}$

$\overline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{8}{x}\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;\frac{5}3-\frac{2}{6}\;\;\;}$

Löse nun die neu entstandene Gleichung nach $x$ auf.

$\displaystyle \frac{8}{x}$	$=$	$\displaystyle \frac{5}{3}-\frac{2}{6}$
$\displaystyle \frac{8}{x}$	$=$	$\displaystyle \frac{5}{3}-\frac{1}{3}$
$\displaystyle \frac{8}{x}$	$=$	$\displaystyle \frac{4}{3}$
	↓	Bilde die Kehrbrüche.
$\displaystyle \frac{x}{8}$	$=$	$\displaystyle \frac{3}{4}$	$\displaystyle \cdot8$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{3\cdot8}{4}$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 6$

Setze $x$ nun in eine der obigen Gleichungen ein, z.B. in $(\text{I})$ , und löse nach $y$ auf.

$\displaystyle \left(\text{I}\right)\ \ \frac{4}{x}+\frac{8}{y}$	$=$	$\displaystyle \frac{5}{3}$
	↓	Setze $x=6$ ein.
$\displaystyle \frac{4}{6}+\frac{8}{y}$	$=$	$\displaystyle \frac{5}{3}$	$\displaystyle -\frac{4}{6}$
$\displaystyle \frac{8}{y}$	$=$	$\displaystyle \frac{5}{3}-\frac{4}{6}$
$\displaystyle \frac{8}{y}$	$=$	$\displaystyle \frac{5}{3}-\frac{2}{3}$
$\displaystyle \frac{8}{y}$	$=$	$\displaystyle \frac{3}{3}$
$\displaystyle \frac{8}{y}$	$=$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle \cdot y$
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 8$

Gib die Lösungsmenge an. $L=\left\{\left(x\;\left|\;y\right.\right)\right\}=\left\{\left(6\;\left|\;8\right.\right)\right\}$ .

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$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrcl}(\text I)&\frac{7}{x}-\frac{12}{y}&=&\frac{5}{6}\\\left(\text{II}\right)&\frac{4}{y}+\frac{5}{2}&=&\frac{9}{x}\end{array}$

wobei $x,y \neq 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme kannst du mit dem Einsetzungsverfahren, Gleichsetzungsverfahren oder Additionsverfahren lösen.

Probiere diese Verfahren für dieses nicht-lineare Gleichungssystem aus.

Lösung mithilfe des Additionsverfahren

Mit dem Additionsverfahren kommst du auf diese Lösung:

Gegeben: $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrcl}(\text I)&\frac{7}{x}-\frac{12}{y}&=&\frac{5}{6}\\\left(\text{II}\right)&\frac{4}{y}+\frac{5}{2}&=&\frac{9}{x}\end{array}$

Forme $(\text{II})$ so um, dass auf einer Seite alle Variablen und auf der anderen nur Zahlen sind.

$\displaystyle (\text{II})\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac4y+\frac52$	$=$	$\displaystyle \frac{9}{x}\ \ \ \ \ \ \$	$\displaystyle -\frac{9}{x}-\frac{5}{2}$
$\displaystyle (\text{II}')\;\;\;\;-\frac{9}{x}+\frac{4}{y}$	$=$	$\displaystyle -\frac{5}{2}$

Das neue Gleichungssystem lautet nun:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrcl}(\text I)&\frac{7}{x}-\frac{12}{y}&=&\frac{5}{6}\\\left(\text{II}'\right)&-\frac{9}{x}+\frac{4}{y}&=&-\frac{5}{2}\end{array}$

Die Gleichung $(\text{II}')$ enthält den Term $\frac{4}{y}$ und die Gleichung $(\text I)$ ein Vielfaches von $\frac{4}{y}$ und zwar $-\frac{12}{y}$ . Nimm also $(\text{II}')$ mal $3$ und addiere dann die Gleichungen, um den Term $\frac{12}{y}$ zu eliminieren.

$\displaystyle \left(\text{II}'\right)\ \ \ \ -\frac{9}{x}+\frac{4}{y}$	$=$	$\displaystyle -\frac{5}{2}$	$\displaystyle \cdot3$
$\displaystyle \left(\text{II}''\right)\ \ -\frac{27}{x}+\frac{12}{y}$	$=$	$\displaystyle -\frac{15}{2}$

$(\text I) +(\text{II}'')$ :

$\left(I\right)\frac7x-\frac{12}y=\frac56$

$\left(II\right)-\frac{27}{x}+\frac{12}{y}=-\frac{15}{2}$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrcr}(\text I)&\frac{7}{x}-\frac{12}{y}&=&\frac{5}{6}\\+\left(\text{II}''\right)&-\frac{27}{x}+\frac{12}{y}&=&-\frac{15}{2}\end{array}$

$\overline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-\frac{20}x\;=\;-\frac{40}6\;\;\;}$

Löse nun die Gleichung $-\frac{20}x\;=\;-\frac{40}6$ , indem du Kehrbrüche bildest.

$\displaystyle -\frac{20}{x}$	$=$	$\displaystyle -\frac{40}{6}$
$\displaystyle -\frac{x}{20}$	$=$	$\displaystyle -\frac{6}{40}$	$\displaystyle \cdot\left(-20\right)$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{6\cdot20}{2\cdot20}$
	↓	Kürze.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{6}{2}$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 3$

Setze $x$ nun in eine der obigen Gleichungen ein, z.B. in $(\text{II})$ , und löse nach $y$ auf.

$\displaystyle \left(\text{II}\right)\ \ \ \frac{4}{y}+\frac{5}{2}$	$=$	$\displaystyle \frac{9}{x}$
	↓	Setze $x=3$ ein.
$\displaystyle \frac{4}{y}+\frac{5}{2}$	$=$	$\displaystyle \frac{9}{3}$	$\displaystyle -\frac{5}{2}$
$\displaystyle \frac{4}{y}$	$=$	$\displaystyle \frac{9}{3}-\frac{5}{2}$
$\displaystyle \frac{4}{y}$	$=$	$\displaystyle \frac{18}{6}-\frac{15}{6}$
$\displaystyle \frac{4}{y}$	$=$	$\displaystyle \frac{3}{6}$
$\displaystyle \frac{4}{y}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}$
	↓	Bilde Kehrbrüche.
$\displaystyle \frac{y}{4}$	$=$	$\displaystyle \frac{2}{1}$	$\displaystyle \cdot4$
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 8$

Gib die Lösungsmenge an. $L=\left\{\left(x\;\left|\;y\right.\right)\right\}=\left\{\left(3\;\left|\;8\right.\right)\right\}$

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$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}(\text I)\;\;\frac{4}{3x+1}=\frac{2}{3y-13}\\(\text{II})\;\frac 2{5x-10}=\frac{4}{7y-6}\end{array}$

wobei $x\notin\left\{-\frac{1}{3};2\right\}$ und $y\notin\left\{\frac{13}{3};\frac{6}{7}\right\}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme kannst du mit dem Einsetzungsverfahren, Gleichsetzungsverfahren oder Additionsverfahren lösen.

Das gegebene nicht-lineare Gleichungssystem kannst du jedoch in ein lineares Gleichungssystem umwandeln.

Gegeben: $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}(\text{I})\;\;\frac{4}{3x+1}=\frac{2}{3y-13}\\(\text{II})\;\frac 2{5x-10}=\frac{4}{7y-6}\end{array}$

Forme $(I)$ und $(II)$ so um, dass beide Gleichungen keinen Bruch mehr beinhalten.

$\displaystyle \left(\text{I}\right)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{4}{3x+1}$	$=$	$\displaystyle \frac{2}{3y-13}$	$\displaystyle \cdot\left(3x+1\right)\cdot\left(3y-13\right)$
	↓	Multipliziere mit den Nennern.
$\displaystyle 4\cdot\left(3y-13\right)$	$=$	$\displaystyle 2\cdot\left(3x+1\right)$
$\displaystyle \left(\text{I}'\right)\ \ \ \ \ \ \ \ 12y-52$	$=$	$\displaystyle 6x+2$

$\displaystyle \left(\text{II}\right)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{2}{5x-10}$	$=$	$\displaystyle \frac{4}{7y-6}$	$\displaystyle \cdot\left(5x-10\right)\cdot\left(7y-6\right)$
	↓	Multipliziere mit den Nennern.
$\displaystyle 2\cdot\left(7y-6\right)$	$=$	$\displaystyle 4\cdot\left(5x-10\right)$
$\displaystyle \left(\text{II}'\right)\ \ \ \ \ 14y-12$	$=$	$\displaystyle 20x-40$

Das lineare Gleichungssystem lautet also:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}(\text{I}')\;\;12y-52=6x+2\\(\text{II}')\;14y-12=20x-40\end{array}$

Nun kannst du die bekannten Verfahren für die Lösung des Gleichungssystems anwenden.

Lösung mithilfe des Einsetzungsverfahren

Mit dem Einsetzungsverfahren kommst du auf diese Lösung:

Gegeben: $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}(\text I')\;\;12y-52=6x+2\\(\text{II}')\;14y-12=20x-40\end{array}$

Forme $(\text{I}')$ so um, dass nur noch $x$ auf einer Seite steht.

$\displaystyle \left(\text{I}'\right)\ \ \ \ \ 12y-52$	$=$	$\displaystyle 6x+2$	$\displaystyle -2$
$\displaystyle 12y-54$	$=$	$\displaystyle 6x$	$\displaystyle :6$
$\displaystyle \left(\text{I}''\right)\ \ \ \ \ \ \ \ 2y-9$	$=$	$\displaystyle x$

Setze $x=2y-9$ in $(\text{II}')$ ein.

$\displaystyle \left(\text{II}'\right)\ \ \ 14y-12$	$=$	$\displaystyle 20x-40$
	↓	Setze $x=2y-9$ ein.
$\displaystyle 14y-12$	$=$	$\displaystyle 20\cdot\left(2y-9\right)-40$
	↓	Löse nun nach $y$ auf.
$\displaystyle 14y-12$	$=$	$\displaystyle 40y-180-40$
$\displaystyle 14y-12$	$=$	$\displaystyle 40y-220$	$\displaystyle -14y+220$
$\displaystyle 208$	$=$	$\displaystyle 26y$	$\displaystyle :26$
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 8$

Setze $y=8$ in $(\text I')$ ein, um $x$ zu berechnen.

$\displaystyle \left(\text{I}'\right)\ \ x$	$=$	$\displaystyle 2y-9$
	↓	Setze $y=8$ ein.
	$=$	$\displaystyle 2\cdot8-9$
	$=$	$\displaystyle 16-9$
	$=$	$\displaystyle 7$

Gib die Lösungmenge an. $L=\left\{\left(x\left|y\right.\right)\right\}=\left\{\left(7\left|8\right.\right)\right\}$

Zusatz: Überprüfe deine Lösung durch eine Probe

Setze $x=7$ und $y=8$ in deine Gleichungen $(\text I)$ und $(\text{II})$ ein und prüfe, ob die Gleichung stimmt.

$\displaystyle (\text I)\;\;\frac{4}{3x+1}$	$=$	$\displaystyle \frac{2}{3y-13}$
	↓	Setze $x=7$ und $y=8$ ein.
$\displaystyle \frac{4}{3\cdot7+1}$	$=$	$\displaystyle \frac{2}{3\cdot8-13}$
$\displaystyle \frac{4}{21+1}$	$=$	$\displaystyle \frac{2}{24-13}$
$\displaystyle \frac{4}{22}$	$=$	$\displaystyle \frac{2}{11}$
$\displaystyle \frac{2}{11}$	$=$	$\displaystyle \frac{2}{11}\ \ \ \ \checkmark$

$\displaystyle (\text{II})\;\frac 2{5x-10}$	$=$	$\displaystyle \frac{4}{7y-6}$
	↓	Setze $x=7$ und $y=8$ ein.
$\displaystyle \frac 2{5\cdot 7-10}$	$=$	$\displaystyle \frac{4}{7\cdot 8-6}$
$\displaystyle \frac 2{35-10}$	$=$	$\displaystyle \frac{4}{56-6}$
$\displaystyle \frac 2{25}$	$=$	$\displaystyle \frac{4}{50}$
$\displaystyle \frac{2}{25}$	$=$	$\displaystyle \frac{2}{25}\ \ \ \ \ \ \ \checkmark$

Beide Gleichungen sind richtig, also stimmt unsere Lösung.

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$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrcl}(\text I)&\frac{3}{2x-1}-\frac{8}{3y+2}&=&-\frac{1}{5}\\\left(\text{II}\right)&\frac5{2x-1}+\frac4{3y+2}&=&\frac8{15}\end{array}$

wobei $x \neq \frac 12$ und $y \neq -\frac 23$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineares Gleichungssystem

Lineare Gleichungssysteme kannst du mit dem Einsetzungsverfahren, Gleichsetzungsverfahren oder Additionsverfahren lösen.

Probiere diese Verfahren für dieses nicht-lineare Gleichungssystem aus.

Lösung mithilfe des Additionsverfahren

Mit dem Additionsverfahren kommst du auf diese Lösung:

Gegeben: $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrcl}(\text I)&\frac3{2x-1}-\frac8{3y+2}&=&-\frac{1}{5}\\\left(\text{II}\right)&\frac5{2x-1}+\frac4{3y+2}&=&\frac{8}{15}\end{array}$

Die Gleichung $(\text{II})$ enthält den Term $\frac{4}{3y+2}$ und die Gleichung $(\text I)$ ein Vielfaches von $\frac{4}{3y+2}$ und zwar $-\frac{8}{3y+2}$ . Nimm also $(\text{II})$ mal $2$ und addiere dann die Gleichungen, um den Term $\frac{8}{3y+2}$ zu eliminieren.

$\displaystyle \left(\text{II}\right)\ \ \frac{5}{2x-1}+\frac{4}{3y+2}$	$=$	$\displaystyle \frac{8}{15}\ \ \ \ \$	$\displaystyle \cdot2$
$\displaystyle \left(\text{II}'\right)\ \ \frac{10}{2x-1}+\frac{8}{3y+2}$	$=$	$\displaystyle \frac{16}{15}$

Das neue Gleichungssystem lautet also:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrcl}(\text I)&\frac3{2x-1}-\frac8{3y+2}&=&-\frac{1}{5}\\\left(\text{II}'\right)&\frac{10}{2x-1}+\frac8{3y+2}&=&\frac{16}{15}\end{array}$

$(\text I)+(\text{II}')$ :

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrcl}(\text I)&\frac3{2x-1}-\frac8{3y+2}&=&-\frac{1}{5}\\+\left(\text{II}'\right)&\frac{10}{2x-1}+\frac8{3y+2}&=&\frac{16}{15}\end{array}$

$\overline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{13}{2x-1}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;-\frac{1}5+\frac{16}{15}\;\;\;}$

Löse nun die durch die Addition entstandene Gleichung nach $x$ auf.

$\displaystyle \frac{13}{2x-1}$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{5}+\frac{16}{15}$
$\displaystyle \frac{13}{2x-1}$	$=$	$\displaystyle -\frac{3}{15}+\frac{16}{15}$
$\displaystyle \frac{13}{2x-1}$	$=$	$\displaystyle \frac{13}{15}$
	↓	Bilde die Kehrbrüche.
$\displaystyle \frac{2x-1}{13}$	$=$	$\displaystyle \frac{15}{13}$	$\displaystyle \cdot13$
$\displaystyle 2x-1$	$=$	$\displaystyle 15$	$\displaystyle +1$
$\displaystyle 2x$	$=$	$\displaystyle 16$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 8$

Setze $x$ nun in eine der obigen Gleichungen ein, z.B. in $(\text{I})$ , und löse nach $y$ auf.

$\displaystyle \left(\text{I}\right)\ \ \frac{3}{2x-1}-\frac{8}{3y+2}$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{5}$
	↓	Setze $x=8$ ein.
$\displaystyle \frac{3}{2\cdot8-1}-\frac{8}{3y+2}$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{5}$
$\displaystyle \frac{3}{15}-\frac{8}{3y+2}$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{5}$
$\displaystyle \frac{1}{5}-\frac{8}{3y+2}$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{5}$	$\displaystyle -\frac{1}{5}$
$\displaystyle -\frac{8}{3y+2}$	$=$	$\displaystyle -\frac{2}{5}$
	↓	Bilde den Kehrbruch.
$\displaystyle -\frac{3y+2}{8}$	$=$	$\displaystyle -\frac{5}{2}$	$\displaystyle \cdot\left(-8\right)$
$\displaystyle 3y+2$	$=$	$\displaystyle \frac{5\cdot8}{2}$
$\displaystyle 3y+2$	$=$	$\displaystyle 20$	$\displaystyle -2$
$\displaystyle 3y$	$=$	$\displaystyle 18$	$\displaystyle :3$
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 6$

Gib die Lösungsmenge an, dabei zuerst die Lösung für $x$ , dann für $y$ .

$L=\left\{\left(8\;\left|\;6\right.\right)\right\}$

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