Aufgaben mit zwei Unbekannten - lernen mit Serlo!

Bestimme die Lösungsmengen folgender linearer Gleichungssysteme.

Gib die Lösungsmenge in der Form $(x; y)$ in das Eingabefeld ein. Beispiel: $(- 2,5; 1)$

$\begin{array}{lrcll} (I) & 2 y & = & 2 x - 40 \\ (II) & 3 x & = & 10 - 2 y \end{array}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Gleichungssysteme
Lineare Gleichungssysteme kannst du mit dem Einsetzungsverfahren, Gleichsetzungsverfahren oder Additionsverfahren lösen.
Mit den verschiedenen Lösungsverfahren kannst du wie folgt die Lösung berechnen. Das Einsetzungsverfahren eignet sich hier aber am Besten.
Einsetzungsverfahren
Hier die Lösung mit dem Einsetzungsverfahren:
Gegeben: $\begin{array}{l} (I) 2 y = 2 x - 40 \\ (II) 3 x = 10 - 2 y \end{array}$
Gleichung $(I)$ ist nach $2 y$ aufgelöst. Dieser Term kommt auch in Gleichung $(II)$ vor. Setze also die Gleichung $(I)$ in $(I I)$ ein.
$(II) 3 x$ $=$ $10 - 2 y$
↓
Aus Gleichung $(I)$ : $2 y = 2 x - 40$ einsetzen.
$3 x$ $=$ $10 - (2 x - 40)$
↓
Löse die Klammer auf.
$3 x$ $=$ $10 - 2 x + 40$ $+ 2 x$
↓
Löse nach $x$ auf.
$5 x$ $=$ $50$ $: 5$
$x$ $=$ $10$
Um $y$ zu finden, setze den Wert von $x$ in $(I)$ ein.
$(I) 2 y$ $=$ $2 x - 40$
↓
Setze $x = 10$ ein.
$2 y$ $=$ $2 \cdot 10 - 40$
$2 y$ $=$ $20 - 40$
$2 y$ $=$ $- 20$ $: 2$
$y$ $=$ $- 10$
Gib die Lösungsmenge an, dabei zuerst die Lösung für $x$ , dann für $y$ eintragen.
$L = {(x | y)} = {(10 | - 10)}$
Lösung mithilfe der anderen Verfahren
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$\begin{array}{l} (I) \frac{1}{2} x - \frac{3}{5} y = 3 \\ (II) \frac{1}{4} x + y = 8 \end{array}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Gleichungssysteme
Lineare Gleichungssysteme kannst du mit dem Einsetzungsverfahren, Gleichsetzungsverfahren oder Additionsverfahren lösen.
Mit den verschiedenen Lösungsverfahren kannst du wie folgt die Lösung berechnen. Das Einsetzungsverfahren eignet sich hier am Besten.
Einsetzungsverfahren
Hier die Lösung mit dem Einsetzungsverfahren:
Gegeben: $\begin{array}{l} (I) \frac{1}{2} x - \frac{3}{5} y = 3 \\ (II) \frac{1}{4} x + y = 8 \end{array}$
Forme $(II)$ so um, dass auf der einen Seite $y$ steht.
$(II) \frac{1}{4} x + y$ $=$ $8$ $- \frac{1}{4} x$
$(II’) y$ $=$ $8 - \frac{1}{4} x$
Setze $y = 8 - \frac{1}{4} x$ in $(I)$ ein und löse nach $x$ auf.
$(I) \frac{1}{2} x - \frac{3}{5} y$ $=$ $3$
↓
Setze $y = 8 - \frac{1}{4} x$ ein.
$\frac{1}{2} x - \frac{3}{5} \cdot (8 - \frac{1}{4} x)$ $=$ $3$
$\frac{1}{2} x - \frac{24}{5} + \frac{3}{20} x$ $=$ $3$ $+ \frac{24}{5}$
$\frac{1}{2} x + \frac{3}{20} x$ $=$ $3 + \frac{24}{5}$
↓
Berechne die Brüche.
$\frac{10}{20} x + \frac{3}{20} x$ $=$ $3 + 4 \frac{4}{5}$
$\frac{13}{20} x$ $=$ $7 \frac{4}{5}$ $\cdot \frac{20}{13}$
$x$ $=$ $12$
Setze $x = 12$ in $(II’)$ ein.
$(II’) y$ $=$ $8 - \frac{1}{4} x$
↓
Setze $x = 12$ ein.
$=$ $8 - \frac{1}{4} \cdot 12$
$=$ $8 - 3$
$=$ $5$
Gib die Lösungsmenge an, dabei zuerst die Lösung für $x$ , dann für $y$ .
$L = {(12 | 5)}$
Lösung mithilfe anderer Verfahren
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CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann → Was bedeutet das?

$(II) 3 x$	$=$	$10 - 2 y$
	↓	Aus Gleichung $(I)$ : $2 y = 2 x - 40$ einsetzen.
$3 x$	$=$	$10 - (2 x - 40)$
	↓	Löse die Klammer auf.
$3 x$	$=$	$10 - 2 x + 40$	$+ 2 x$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$5 x$	$=$	$50$	$: 5$
$x$	$=$	$10$

$(I) 2 y$	$=$	$2 x - 40$
	↓	Setze $x = 10$ ein.
$2 y$	$=$	$2 \cdot 10 - 40$
$2 y$	$=$	$20 - 40$
$2 y$	$=$	$- 20$	$: 2$
$y$	$=$	$- 10$

$(II) \frac{1}{4} x + y$	$=$	$8$	$- \frac{1}{4} x$
$(II’) y$	$=$	$8 - \frac{1}{4} x$

$(I) \frac{1}{2} x - \frac{3}{5} y$	$=$	$3$
	↓	Setze $y = 8 - \frac{1}{4} x$ ein.
$\frac{1}{2} x - \frac{3}{5} \cdot (8 - \frac{1}{4} x)$	$=$	$3$
$\frac{1}{2} x - \frac{24}{5} + \frac{3}{20} x$	$=$	$3$	$+ \frac{24}{5}$
$\frac{1}{2} x + \frac{3}{20} x$	$=$	$3 + \frac{24}{5}$
	↓	Berechne die Brüche.
$\frac{10}{20} x + \frac{3}{20} x$	$=$	$3 + 4 \frac{4}{5}$
$\frac{13}{20} x$	$=$	$7 \frac{4}{5}$	$\cdot \frac{20}{13}$
$x$	$=$	$12$

$(II’) y$	$=$	$8 - \frac{1}{4} x$
	↓	Setze $x = 12$ ein.
	$=$	$8 - \frac{1}{4} \cdot 12$
	$=$	$8 - 3$
	$=$	$5$

Einsetzungsverfahren

Lösung mithilfe der anderen Verfahren

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Einsetzungsverfahren

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