Aufgaben mit zwei Unbekannten - lernen mit Serlo!

Bestimme die Lösungsmengen folgender linearer Gleichungssysteme.

Gib die Lösungsmenge in der Form $(x; y)$ in das Eingabefeld ein. Beispiel: $(- 2,5; 1)$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lrcll}(\text I)&2y&=&2x-40\\(\text {II})&3x&=&10-2y\end{array}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Gleichungssysteme

Mit den verschiedenen Lösungsverfahren kannst du wie folgt die Lösung berechnen. Das Einsetzungsverfahren eignet sich hier aber am Besten.

Hier die Lösung mit dem Einsetzungsverfahren:

Gegeben: $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}(\text I)\;2y=2x-40\\(\text{II})\;3x=10-2y\end{array}$

Gleichung $(\text I)$ ist nach $2 y$ aufgelöst. Dieser Term kommt auch in Gleichung $(\text{II})$ vor. Setze also die Gleichung $(I)$ in $(I I)$ ein.

$\displaystyle \left(\text{II}\right)\ \ \ \ \ 3x$	$=$	$\displaystyle 10-\textcolor{orange}{2y}$
	↓	Aus Gleichung $(\text I)$ : $\textcolor{orange}{2y=2x-40}$ einsetzen.
$\displaystyle 3x$	$=$	$\displaystyle 10-(\textcolor{orange}{2x-40})$
	↓	Löse die Klammer auf.
$\displaystyle 3x$	$=$	$\displaystyle 10-2x+40$	$\displaystyle +2x$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle 5x$	$=$	$\displaystyle 50$	$\displaystyle :5$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 10$

Um $y$ zu finden, setze den Wert von $x$ in $(\text{I})$ ein.

$\displaystyle \left(\text{I}\right)\ \ \ \ 2y$	$=$	$\displaystyle 2\textcolor{green}{x}-40$
	↓	Setze $\textcolor{green}{x=10}$ ein.
$\displaystyle 2y$	$=$	$\displaystyle 2\cdot\textcolor{green}{10}-40$
$\displaystyle 2y$	$=$	$\displaystyle 20-40$
$\displaystyle 2y$	$=$	$\displaystyle -20$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle -10$

Gib die Lösungsmenge an, dabei zuerst die Lösung für $x$ , dann für $y$ eintragen.

$L=\left\{\left(x\left|y\right.\right)\right\}=\left\{\left(10\;\left|\;-10\right.\right)\right\}$

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$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}(\text I)\;\;\frac 12 x-\frac35y=3\\(\text{II})\;\frac 14x+y=8\end{array}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Gleichungssysteme

Mit den verschiedenen Lösungsverfahren kannst du wie folgt die Lösung berechnen. Das Einsetzungsverfahren eignet sich hier am Besten.

Hier die Lösung mit dem Einsetzungsverfahren:

Gegeben: $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}(I)\;\;\frac 12x-\frac{3}5y=3\\(\text{II})\;\frac 14x+y=8\end{array}$

Forme $(\text{II})$ so um, dass auf der einen Seite $y$ steht.

$\displaystyle (\text {II})\;\;\;\; \frac 14 x+y$	$=$	$\displaystyle 8\;\;\;$	$\displaystyle -\frac{1}{4}x$
$\displaystyle \left(\text{II'}\right)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y$	$=$	$\displaystyle 8-\frac 14 x$

Setze $y=8-\frac{1}{4}x$ in $(\text I)$ ein und löse nach $x$ auf.

$\displaystyle \left(\text{I}\right)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{1}{2}x-\frac{3}{5}y$	$=$	$\displaystyle 3$
	↓	Setze $y=8-\frac 14 x$ ein.
$\displaystyle \frac{1}{2}x-\frac{3}{5}\cdot\left(8-\frac{1}{4}x\right)$	$=$	$\displaystyle 3$
$\displaystyle \frac{1}{2}x-\frac{24}{5}+\frac{3}{20}x$	$=$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle +\frac{24}{5}$
$\displaystyle \frac{1}{2}x+\frac{3}{20}x$	$=$	$\displaystyle 3+\frac{24}{5}$
	↓	Berechne die Brüche.
$\displaystyle \frac{10}{20}x+\frac{3}{20}x$	$=$	$\displaystyle 3+4\ \frac{4}{5}$
$\displaystyle \frac{13}{20}x$	$=$	$\displaystyle 7\ \frac{4}{5}$	$\displaystyle \cdot\frac{20}{13}$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 12$

Setze $x = 12$ in $\left(\text{II'}\right)$ ein.

$\displaystyle \left(\text{II'}\right)\ \ y$	$=$	$\displaystyle 8-\frac{1}{4}x$
	↓	Setze $x = 12$ ein.
	$=$	$\displaystyle 8-\frac{1}{4}\cdot12$
	$=$	$\displaystyle 8-3$
	$=$	$\displaystyle 5$

Gib die Lösungsmenge an, dabei zuerst die Lösung für $x$ , dann für $y$ .

$L=\left\{\left(12\;\left|\;5\right.\right)\right\}$