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Kombinations- und Rätselaufgaben mit natürlichen Zahlen

1

Stelle mit vier Vieren und den dir bekannten Rechenzeichen die Zahlen von 0 bis 9 dar.

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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Grundrechenarten

9 Gleichungen aufstellen. z.B.:

0=4+4440=4+4-4-4

1=4:4+441=4:4+4-4

2=4:4+4:42=4:4+4:4

3=(4+4+4):43=\left(4+4+4\right):4

4=(44):4+44=\left(4-4\right):4+4

5=(44+4):45=\left(4\cdot4+4\right):4

6=(4+4):4+46=\left(4+4\right):4+4

7=4+44:47=4+4-4:4

8=4+4+448=4+4+4-4

9=4+4+4:49=4+4+4:4

2

Auf einer Uhr finden sich die zwölf Zahlen von Eins bis Zwölf.

  1. Bilde aus allen zwölf Zahlen einen Rechenausdruck, der Null ergibt. Versuche, mehrere Lösungen zu finden. Was haben alle deine Lösungen gemeinsam?

  2. Lässt sich aus den sechs geraden Zahlen 2, 4, 6, 8, 10 und 12 ein Rechenausdruck bilden, der Null ergibt?

  3. Lässt sich aus den Zahlen 1 bis 11 bzw. 1 bis 10 ein Rechenausdruck bilden, der Null ergibt?

  4. Die Uhr zerbricht beim Herunterfallen in drei Stücke. Kann es sein, dass die Summe der Zahlen auf jedem Teil gleich ist?

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Teilaufgabe a

z. B.: 12 + 11 + 10 + 6 ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 7 ? 8 ? 9 = 0

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = 78

? Summe der Plus- und Minusglieder muss jeweils 39 ergeben. Es gibt immer mindestens 4 und höchstens 8 Plusglieder.

Teilaufgabe b

2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 = 42

? Summe der Plus- und Minusglieder müsste jeweils 21 ergeben, was als Summe gerader Zahlen nicht möglich ist.

Teilaufgabe c

11 + 10 + 9 + 3 ? 1 ? 2 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8 = 0

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = 66

? Summe der Plus- und Minusglieder muss jeweils 33 ergeben. Es gibt immer mindestens 4 und höchstens 7 Plusglieder.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55

? Summe der Plus- und Minusglieder müsste jeweils 27,5 ergeben, was als Summe natürlicher Zahlen nicht möglich ist.

Teilaufgabe d

Möglich:

Bild zu Aufgabe 1

3

Iris betrachtet Zahlenschlangen von besonderer Form: Der Kopf besteht aus einer zweistelligen, der Körper aus einer dreistelligen Zahl. Weder beim Kopf noch beim Körper ist die erste Ziffer Null.

Beispiele: 20 - 118, 71 - 901

  1. Wie viele Schlangen dieser Form gibt es?

  2. Schlangen, deren ,,Kopfzahlen” und ,,Körperzahlen” jeweils dieselbe Quersumme haben, gehören zur selben Familie. So sind z. B. die Schlangen 23-123 und 50-222 in derselben Familie. Wie viele Schlangen gehören zu dieser Familie?

  3. Iris findet eine Familie, die aus genau sechs Schlangen besteht. Kannst du auch eine solche Familie angeben? Schreibe deine Familie auf!

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Teilaufgabe a

Kopf: Zahlen von 10 bis 99, also 90 Zahlen,

Körper: Zahlen von 100 bis 999, also 900 Zahlen

? 90 · 900 = 81 000 Zahlen

Teilaufgabe b

Kopf: 14, 23, 32, 41, 50

Körper:

6 Permutationen der Ziffern in der Zahl 123,

3 Permutationen der Ziffern in der Zahl 114, Zahlen 222 und 600,

2 · 5 = 10 Permutationen der beiden hinteren Ziffern der Zahlen 501, 402, 303, 204, 105

? 21 Körperzahlen

? 5 · 21 = 105 Schlangen

Teilaufgabe c

Hier gibt es mehrere Lösungen, z. B. Schlangen mit Quersumme 2 bei ,,Kopf- und Körperzahl”, Schlangen mit Quersumme 6 bei der ,,Kopfzahl” und 1 bei der ,,Körperzahl”.

4

In einer Zielscheibe mit konzentrischen Ringen erhält man für den innersten Ring 87 Punkte und für die nach außen darauffolgenden Ringe 73, 59 und 31 Punkte.

Bei dieser Zielscheibe wurden mit dem Pfeil genau 301 Punkte erzielt. Finde heraus, wie oft in welche Ringe getroffen wurde.

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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Grundrechenarten

31 + 31 + 31 + 31 + 31 + 59 + 87 = 301

31 + 31 + 31 + 31 + 31 + 73 + 73 = 301

31 + 31 + 31 + 31 + 59 + 59 + 59 = 301

5

Bestimme alle zweistelligen natürlichen Zahlen x, welche zugleich folgende Bedingungen erfüllen:

  • x ist größer als 60,

  • x hat genau vier Teiler,

  • x ist ungerade,

  • vertauscht man bei x die beiden Ziffern, so erhält man eine Primzahl.

Begründe, warum du die gesuchten Zahlen schneller findest, wenn du dich nicht streng an die vorgegebene Reihenfolge der Bedingungen hältst.

Begründe, warum die vierte Bedingung die 60er und 80er Zahlen ausschließt.

In welcher Reihenfolge führen die Bedingungen deiner Meinung nach am schnellsten zur Lösung?

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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Natürliche Zahlen

Die Zahlen 9191 und 9595_{ } erfüllen alle geforderten Eigenschaften. Eine zu frühe Einbeziehung der zweiten Bedingung ist wenig effektiv. Zahlen mit den Endziffern 66_{ } und 88 sind durch 22 teilbar. Nach dem Vertauschen wird die Endziffer zur Zehnerziffer. Damit schließt die vierte Bedingung die 6060er und 8080er Zahlen aus.

6

Es stehen die Ziffern 0, 1, 2, . . . , 9 jeweils einmal zur Verfügung. Bilde Rechenausdrücke mit dem jeweils größten und kleinsten Wert unter Verwendung

  1. aller Ziffern und eines Pluszeichens.

  2. aller Ziffern und eines Minuzeichens.

  3. aller Ziffern, eines Plus- und eines Minuszeichens.

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Teilaufgabe a

Z. B. größter Summenwert: 97531 + 86420 = 183951, 96531 + 87420 = 183951, 87530 + 96421 = 183951

z. B. kleinster Summenwert: 13579 + 20468 = 34047, 10579 + 23468 = 34047, 13468 + 20579 = 34047

Teilaufgabe b

größte Differenz: 987654321 ? 0 = 987654321

kleinste Differenz: 50123 ? 49876 = 247

Teilaufgabe c

größter Wert: 98765432 + 1 ? 0 = 98765433

kleinster Wert: Bis auf Umstellungen gibt es 84 verschiedene Lösungen mit dem Ergebnis 0. Drei davon sind z. B.:

264 + 789 ? 1053 = 0

284 + 769 ? 1053 = 0

246 + 789 ? 1035 = 0

7

Schreibe drei natürliche Zahlen auf, von denen die zweite um 2 und die dritte um 4 größer ist als die erste, z. B. (13,15,17).

  1. Dividiere jede der drei aufgeschriebenen Zahlen durch 3 und notiere die Reste.

  2. Welche Aussage kann man in allen Beispielen über die auftretenden Reste machen? Begründe: Wenn von drei natürlichen Zahlen die zweite um 2 und die dritte um 4 größer ist als die erste, dann ist eine der Zahlen durch 3 teilbar.

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a.

Z. B. (20,22,24) liefert die Reste (2,1, 0)

b.

Es bleiben immer je einmal die Reste 0, 1 und 2. Von drei Zahlen, die ausgewa ?hlt wurden, ist eine durch drei teilbar.

  1. Fall: Erste Zahl durch drei teilbar, qed

  2. Fall: Erste Zahl lässt bei Division durch 3 den Rest 1 ? die zweite Zahl lässt bei Division durch 3 den Rest 0, qed

  3. Fall: Erste Zahl lässt bei Division durch 3 den Rest 2 ? die zweite Zahl lässt bei Division durch 3 den Rest 1 ? die dritte Zahl lässt bei Division durch 3 den Rest 0, qed

8

Stelle mit den Zahlen 25, 9, 11 und 4, verschiedene Terme auf und berechne sie.

  1. Bei mindestens drei Termen soll das Ergebnis mindestens 0 und höchstens 10 sein.

  2. Bei mindestens drei Termen soll das Ergebnis mindestens 100 und höchstens 120 sein.

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Terme aufstellen:

  1. 4+9=13\displaystyle 4+9=13
  2. 4+11=15\displaystyle 4+11=15
  3. 4+25=29\displaystyle 4+25=29
  4. 9+11=20\displaystyle 9+11=20
  5. 9+25=34\displaystyle 9+25=34
  6. 4+9+11+25=49\displaystyle 4+9+11+25=49

Teilaufgabe a.

Z. B:

  • 2549=91\displaystyle 25\cdot4-9=91
  • 259114=1\displaystyle 25-9-11-4=1
  • 491125=0\displaystyle 4\cdot9-11-25=0

Teilaufgabe b.

Z. B:

  • 254+119=102\displaystyle 25\cdot4+11-9=102
  • 9114+25=120\displaystyle 9\cdot11-4+25=120
  • 254+9+110=110\displaystyle 25\cdot4+9+11^0=110
9
  1. Nenne die größte vierstellige Zahl, die genau eine 9 enthält.

  2. Nenne die größte vierstellige Zahl, die genau eine 8 enthält.

  3. Nenne die größte vierstellige Zahl, die keine Ziffer zweimal enthält.

  4. Nenne die kleinste vierstellige Zahl, die keine Ziffer zweimal enthält.

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Die größte viertellige Zahl ist 9999. Verändere diese so wenig wie möglich.

1.

9888

Ersetzte alle Stellen bis auf einen durch die nächstgrößte Ziffer 8. Die eine 9 steht auf der Tausenderstelle, damit die Zahl möglichst groß bleibt.

2.

9998

Ändere nur die kleinste Stelle, also die Einerstelle. Nimm dafür die nächstgrößte Ziffer 8.

3.

9876

Nimm die vier größten Ziffern 6,7,8 und 9. Schreibe sie in absteigender Reihenfolge.

4.

1023

Nimm die vier kleinsten Ziffern 0,1,2 und 3. Sortiere sie aufsteigend, wobei die 0 erst an zweiter Stelle stehen darf, da die Zahl sonst dreistellig ist.

10

Untersuche die Teilbarkeit folgender Summen:

a) Summe drei aufeinanderfolgender Zahlen.

b) Summe fünf aufeinanderfolgender Zahlen.

c) Summe vier aufeinanderfolgender Zahlen.

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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen:

Schreibe dir ein paar Beispiele auf. Schaue, ob es Zahlen gibt, durch die jede deiner Summen teilbar ist.

Wenn du eine oder mehrere solche Teiler gefunden hast, versuche es ganz allgemein zu zeigen.

Lösung Teilaufgabe a)

Schreibe dir gern ein paar Beispiele auf und überlege dir, durch welche Zahlen die Summen teilbar sind.

Beispiel

Summe teilbar durch

2+3+4 = 9

1, 3, 9

15+16+17 = 48

1, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 48

109+110+111 = 330

1, 2, 3, 5, 6, 10, 11, 15, 22, 30, 33, 55, 66, 110, 165, 330

Alle Beispiele sind durch 11 und durch 33 teilbar.

Das gilt auch für jede beliebige Summe dreier aufeinanderfolgender Zahlen! Wenn nZn\in \mathbb{Z} deine Zahl ist, ist die nachfolgende Zahl um 11 größer, also n+1n+1. Die darauffolgende Zahl ist n+2n+2.

Die Summe der drei auffeinanderfolgenden Zahlen ist also:

n+(n+1)+(n+2)=3n+3\displaystyle n+(n+1)+(n+2)=3n+3

Hier kannst du die 33 ausklammern. Also ist 3n+3=3(n+1)3n+3=3\cdot(n+1) durch 33 teilbar.

Lösung Teilaufgabe b)

Schreibe dir gern ein paar Beispiele auf und überlege dir, durch welche Zahlen die Summen teilbar sind.

Beispiel

Summe teilbar durch

2+3+4+5+6 = 20

1, 2, 4, 5, 10, 20

13+14+15+16+17 = 75

1, 3, 5, 15, 25, 75

107+108+109+110+111 = 545

1, 5, 109, 545

Alle Beispiele sind durch 11 und durch 55 teilbar.

Das gilt auch für jede beliebige Summe fünf aufeinanderfolgender Zahlen! Wenn nZn\in \mathbb{Z} deine Zahl ist, ist die nachfolgende Zahl um 11 größer, also n+1n+1. Die darauffolgende Zahl ist n+2n+2. Die nächste n+3n+3,... .

Die Summe der drei auffeinanderfolgenden Zahlen ist also:

n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+(n+4)=5n+10\displaystyle n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+(n+4)=5n+10

Hier kannst du die 55 ausklammern. Also ist 5n+10=5(n+2)5n+10=5\cdot(n+2) durch 55 teilbar.

Lösung Teilaufgabe c)

Schreibe dir gern ein paar Beispiele auf und überlege dir, durch welche Zahlen die Summen teilbar sind.

Beispiel

Summe teilbar durch

2+3+4+5 = 14

1, 2, 7, 14

15+16+17+18 = 66

1, 2, 3, 6, 11, 22, 33, 66

109+110+111+112 = 442

1, 2, 13, 17, 26, 34, 221, 442

Alle Beispiele sind durch 11 und durch 22 teilbar.

Das gilt auch für jede beliebige Summe dreier aufeinanderfolgender Zahlen! Wenn nZn\in \mathbb{Z} deine Zahl ist, ist die nachfolgende Zahl um 11 größer, also n+1n+1. Die darauffolgende Zahl ist n+2n+2, die nächste n+3n+3.

Die Summe der drei auffeinanderfolgenden Zahlen ist also:

n+(n+1)+(n+2)+(n+3)=4n+6\displaystyle n+(n+1)+(n+2)+(n+3)=4n+6

Hier kannst du die 44 nicht ausklammern aber zumindest den Faktor 22. Also ist 4n+6=2(2n+3)4n+6=2\cdot(2n+3) durch 22 teilbar.

11

Bei einer Anordnung von Würfeln addiert man alle sichtbaren Augenzahlen, die nicht durch den Tisch oder Nachbarwürfel verdeckt sind.

  1. Es werden drei Spielwürfel übereinander zu einem Turm aufgebaut. Wie groß ist die Augensumme?

Wie muss man die Würfel in diesem Turm anordnen, damit die Augensumme maximal wird?

Wie groß ist die maximale Augensumme bei einem Turm mit vier, fünf und n Würfel?

  1. Es werden drei, vier, fünf und n Würfel nebeneinander in eine Reihe gelegt.

Wie groß ist dann die maximale Augensumme?

  1. Es werden acht Würfel zu einem quadratischen Rahmen gelegt. Wie groß ist die maximale Augensumme?

  2. Es werden neun, sechzehn, und n2n^2 Würfel zu einem Quadrat gelegt. Wie groß ist die maximale Augensumme?

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Teilaufgabe a

Die Augensumme gegenüberliegender Würfelseiten beträgt immer 7. Daher erhält man von den beiden unteren Würfeln jeweils einen Beitrag von 14 zur Augensumme. Vom obersten Würfel erhält man von den vertikalen Seitenflächen ebenfalls einen Beitrag von 14 zur Augensumme. Die Augensumme beträgt folglich 14 + 14 + die Augenzahl der Fläche die nach oben zeigt.

Um die maximale Augensumme zu erreichen muss beim obersten Würfel die 6 oben liegen.

? Die maximale Augensumme beträgt bei 3 Würfeln: 3 · 1 4 + 6 = 4 8

Die maximale Augensumme bei 4 Würfeln: 4 · 14 + 6 = 62

Die maximale Augensumme bei 5 Würfeln: 5 · 14 + 6 = 76

Die maximale Augensumme bei n Würfeln: n · 14 + 6.

Teilaufgabe b

Von den inneren Würfeln der Reihe sind zwei gegenüberliegende Seiten mit der Augensumme 7 und eine weitere Seite mit maximal 6 Augen sichtbar. Von den Würfeln am Ende der Reihe sind zwei Seiten verdeckt.

drei Würfel: Die maximale Augensumme beträgt 13 + 2 · 18 = 49. vier Würfel: Die maximale Augensumme beträgt 2 · 13 + 2 · 18 = 62.

fünf Würfel: Die maximale Augensumme beträgt 3 · 13 + 2 · 18 = 75.

n Würfel: Die maximale Augensumme beträgt (n ? 2) · 13 + 2 · 18.

Teilaufgabe c

Von den vier Eckwürfeln sind drei Seiten sichtbar, von denen keine Seiten gegenüberliegen (6 + 5 + 4 = 15).

Von den vier anderen Würfeln sind ebenfalls drei Seiten sichtbar, von denen jedoch zwei gegenüberliegen (7 + 6 = 13).

Somit beträgt die maximale Augensumme bei 8 Würfeln 4 · 13 + 4 · 15 = 112

Teilaufgabe d

neun Würfel: Die maximale Augensumme beträgt 4 · 11 + 4 · 15 + 6 = 110

16 Würfel: Die maximale Augensumme beträgt 4 · 2 · 11 + 4 · 15 + 6 · 4 = 172

n2 Würfel: Die maximale Augensumme beträgt 4 · (n ? 2) · 11 + 4 · 15 + 6 · (n ? 2)2

12

Die Summe der geraden natürlichen Zahlen kleiner als 10001000 werden mit AA bezeichnet.

Was ist die Summe der ungerade natürlichen Zahlen unterhalb von 10001000 in Abhängigkeit von AA?

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Summe der geraden Zahlen unterhalb von 10001000:

A=2+4++996+998 A=2+4+…+996+998

Summe der ungeraden Zahlen unterhalb von 10001000:

B=1+3++997+999B=1+3+…+997+999

Es gibt Zahlenpärchen: 1,2;3,4;;997,9981,2 ; 3,4 ; … ; 997,998. Bei jedem dieser Pärchen ist die Zahl aus BB um 11 kleiner.

Es gibt 499499 solcher Paare. Die Zahl 999999 bleibt übrig, da 10001000 nicht in AA enthalten ist.

B=A4991+999=A+500\Rightarrow B=A-499\cdot 1+999=A+500