Aufgaben zur Prozentrechnung lassen sich auf unterschiedliche Weisen lösen. In diesem Artikel findet man die wichtigsten Formeln mit Erklärungen und Beispielen. Eine alternative Lösungsmethode ist das Lösungsverfahren mittels Dreisatz.

Für eine grundsätzliche Anschauung zum Prozentzeichen und seiner Bedeutung siehe Prozent. Hier werden auch die Fachbegriffe Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz erklärt.

Eine detaillierte Einführung in all diese Begriffe gibt es in dem Kurs Einführung in Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz.

Formeln für die Prozentrechnung

In den Formeln zur Prozentrechnung werden hier die folgenden Zeichen benutzt:

W: Prozentwert
G: Grundwert
p: Prozentsatz

Um den Prozentwert, den Grundwert, oder den Prozentsatz zu berechnen braucht man sich nur eine Pyramide merken (in der Graphik kommt die gleiche Pyramide drei Mal vor).

Berechnungen - Graphik

Sucht man zum Beispiel den Grundwert, so muss man ihn nur mit dem Finger zudecken (grauer Kreis in der oberen Pyramide). Übrig bleibt die Formel

%%G = \dfrac{W}{p}%%

(Der Strich unter dem %%W%% bedeutet also eine Division.)

Ganz genau so kann man den Prozentsatz, oder den Prozentwert finden, indem man sie in der Pyramide zudeckt.

Zusammengefasst lauten die Formeln:

Grundwert

$$G = \frac{W}{p}$$

Prozentsatz

$$p = \frac{W}{G}$$

Prozentwert

$$W = p\cdot G$$

Bemerkung

Leider ist die Abkürzung für die drei Größen Prozentwert, Grundwert und Prozentsatz nicht immer gleich, es gibt viele alternative Bezeichnungen (z.B. Prozentwert %%PW%%, Grundwert %%GW%%, ...).

Achtung

  • Wenn der Prozentsatz %%5\% %% ist, ist %%p = 0,05%% und nicht %%5%%.
  • Wenn der Prozentsatz %%5\% %% ist, wird in manchen Schularten für %%p%% in den Formeln %%\frac{5\%}{100\%}%% eingesetzt.

Fragestellungen

Der Prozentwert W gibt Antwort auf Fragen, wie:

  • "Wieviele Schüler sind %%25\% %% von %%24%% Schülern?"

Der Grundwert G gibt Antwort auf Fragen, wie:

  • "Wenn %%6%% Schüler %%25\% %% der Klasse sind, wie viele Schüler hat dann die ganze Klasse?"

Der Prozentsatz p gibt Antwort auf Fragen, wie:

  • "Wieviel Prozent machen %%6%% Schüler von %%24%% Schülern aus?"
  • "Wieviel sind %%3\% %% von %%100%% Euro?"
  • "Wenn Sie beim Kauf eines Autos %%500€%% Rabatt bekommen haben und dies %%15\% %% Rabatt auf den Kaufpreis entspricht, wie hoch war dann der Kaufpreis für das Auto?"
  • "Wenn der Gewinn eines Unternehmens im Vorjahr %%10.000€%% betrug und der Gewinn dieses Jahr bei %%12.000€%% liegt, wieviel Prozent Gewinn hat das Unternehmen erwirtschaftet?"

Beispielaufgaben zur Prozentrechnung

Doch wie wendet man die Formeln zur Lösung von Aufgaben zur Prozentrechnung an? Folgende Beispiele erklären, wie man den Prozentwert, Grundwert oder Prozentsatz berechnet.

Hinweis: Der Artikel Prozentrechnung mittels Dreisatz löst die gleichen Aufgaben auf eine andere Art und Weise.

Prozentwert gesucht

Wie viel € sind %%30\% %% von %%250\,€%% ?

Einsetzen in die Prozentformel

$$W=p\cdot G=30\%\cdot250\,€=75\,€$$

Antwort

%%30\% %% von %%250\,€%% sind %%75\,€%%

Grundwert gesucht

Eine Ware wurde um %%20\% %% verbilligt und kostet jetzt %%160\,€%%. Was kostete sie vorher?

Einsetzen in die Prozentformel

Der Prozentwert W gibt den Anteil am Grundwert an. Da die Ware um %%20\% %% verbilligt wurde, kostet sie nur noch %%80\%\;%% des Ausgangspreises, also des Grundwerts.

$$G=\frac Wp=\frac{160\,€}{80\%}= \frac {160\,€}{0,80}=200\,€$$

Antwort

Sie kostete vorher %%200\,€%%

Prozentsatz gesucht

Von den %%25%% Schülern haben %%8%% zu Hause eine Katze. Wie viel Prozent der Klasse sind das?

Einsetzen in die Prozentformel

$$p=\frac WG=\frac8{25}= 0,32 = 32\%$$

Antwort

Es sind %%32\%\;%%

Übungsaufgaben

Berechne den Prozentsatz. Wie viel Prozent sind ...

Berechne den Grundwert mittels Formel.

Berechne den Prozentwert. Wie viel sind ...

Weitere Aufgaben: Aufgaben zu Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz

Mehr Informationen zum Thema "Rechnen mit Prozenten" findest Du hier:

Weitere Aufgaben zum Thema "Rechnen mit Prozenten" findest Du hier:

Kommentieren Kommentare

Renate 2016-12-12 10:42:56
"FINDEN" VON PROZENTANGABEN
Unter "Beispielaufgaben zur Prozentrechnung" stand der Satz "Folgende Beispiele erklären, wie man den Prozentwert, Grundwert und Prozentsatz findet.". Ich habe das "findet" jetzt zu "berechnet" geändert.

Aber: Gerade das "Finden" der Angaben im Aufgabentext ist für Schüler oft das Problem, mehr als das Einsetzen in die Formeln und das Ausrechnen.
Vielleicht sollte man in den Lösungen der Beispiele diesem Problem etwas mehr Rechnung tragen:
- z. B. "gegeben" und "gesucht" hinschreiben o.ä.

Und vielleicht wäre auch an dieser Stelle nochmals ein Link / Hinweis auf den Artikel "Prozent", in dem die Begriffe erklärt sind, sinnvoll, was meint ihr?

Viele Grüße
Renate
Nish 2016-12-12 12:39:08
Stimme dir auch hier in allen Punkten zu. Ich hab im Abschnitt "Formeln für die Prozentberechnung" ein alternatives Layout hinzugefügt (nur bei Prozentsatz), weil ich mit dem bisherigen Layout nicht zufrieden bin. Was meinst du?

LG,
Nish
SebSoGa 2016-12-16 12:49:32
Was haltet ihr von meiner Lösung?
LG
Sebastian
Nish 2016-12-23 13:29:11
Finden (Benni & ich) deine Graphik richtig gut! Wolltest du die Formeln nochmal explizit hinschreiben oder hast du Sie bewusst weggelassen? Was ist mit den Erklärungen zu den Dreiecken?

LG,
Nish
SebSoGa 2016-12-30 22:25:00
Ups, das hatte ich komplett vergessen. Was haltet ihr von der aktuellen Version?

Liebe Grüße
Sebastian
Nish 2017-01-01 15:38:41
Ich find's sehr gut :) Wir sollten nochmal über den ganzen Artikel schauen, da 2 von 3 eingebundenen Aufgaben nicht mit den Formeln gelöst worden sind und Renate's Feedback könnte wir auch mal anpacken, wobei ich mir nicht mehr sicher bin, ob ich gegeben und gesucht direkt angeben möchte, v.a. da das Gesuchte ja schon angegeben ist. Beim Verlinken sollten wir die Überschriften nicht verlinken, sondern nur wenn die Begriffe im Text vorkommen (hab damals es mir wohl nicht ordentlich angeschaut).

LG,
Nish
Renate 2017-01-02 08:32:53
Hallo SebSoGa, hallo Nish, entschuldigt, dass ich mich erst jetzt hier wieder melde - ja, ich bin jetzt, nachdem die Formeln und die Erklärungen doch wieder dabei stehen, mit der geänderten graphischen Version auch einverstanden,
- vielen Dank an SebSoGa!

Allerdings würde ich noch in Erwägung ziehen bzw. vorschlagen, die Reihenfolge zu ändern: nämlich erst die Formeln bringen, und dann das Formeldreieck (mit Erklärung natürlich) als Merk- oder "Umstell"-Hilfe für die Formeln.

Denn schließlich braucht man das Formeldreieck ja nicht zwingend, wenn man "Prozentrechnung mittels Formeln", wie der Titel des Artikels lautet, betreiben will; und vielleicht verwendet es daher auch nicht jeder Lehrer, der mit den Formeln arbeitet.

Was haltet ihr davon?
Gruß
Renate
Antwort abschicken
Renate 2016-12-12 09:52:18
ZUR UNEINHEITLICHKEIT DER BEZEICHNUNGEN
Im Artikel wird - zu Recht - auf das Problem verwiesen, dass die Abkürzungen keineswegs einheitlich überall gleich verwendet werden.

Der Satz "Wenn der Prozentsatz 5% ist, wird in manchen Schularten für p in den Formeln %%\frac{5%}{100%}%%eingesetzt." ist jedoch irreführend:
%%\frac{5%}{100%}%% ist nämlich mathematisch einfach dasselbe wie 0,05, und stellt damit überhaupt kein Problem dar.
Problematisch aber ist, dass in der Tat in manchen Schularten (und damit auch in den zugehörigen Büchern und Formelsammlungen) für einen Prozentsatz von 5% für p der Wert 5 verwendet wird; damit lautet dann zum Beispiel die Formel für den Prozentwert
%%P=G\cdot \frac{p}{100}%%.

Das sollten wir irgendwie noch versuchen zu berücksichtigen bzw. zumindest deutlich zu machen.
Viele Grüße
Renate
Nish 2016-12-12 12:33:37
Hallo Renate,

stimme dir voll zu. Ich habe wieder im Qualitätsmanagement-Dokument eine Bemerkung zum Eintrag dieses Artikels hinzugefügt ("siehe Kommentare von Renate...") , damit jdn., der Zeit hat, diese Verbesserungen vornehmen kann.

LG,
Nish
Antwort abschicken
Zu article Prozentrechnung mittels Formeln: Verbesserungsvorschlag
franzi13013 2016-07-12 15:22:12
Man könnte statt 3 Formeln auch eine Formel angeben (zumindest als Merkhilfe)
Die anderen beiden ergeben sich ja aus einfachen Umformungen.
(Oder man gibt für die Umformungen alternativ als Dreieck an)
SebSoGa 2016-08-05 09:31:22
Hey Franzi, wir haben heute Graphiken zu dem Formeldreieck gemacht, was hältst du davon?
Liebe Grüße
Sebastian
Antwort abschicken
Zu article Prozentrechnung mittels Formeln: Aufgaben ohne Aufgabenstellung
SebSoGa 2016-07-13 10:19:50
Hallo Serlo-Team,

die ersten drei Aufgaben im Spoiler stehen ganz alleine ohne konkrete Aufgabenstellung da.
Kann jemand die Aufgabenstellung vom entsprechenden Aufgabenordner kopieren?

Liebe Grüße
Sebastian
Zu article Prozentrechnung mittels Formeln: Verbesserungsvorschläge
SebSoGa 2016-05-03 14:49:14
Dieser Artikel ist bereits sehr gelungen! Ich habe nur ein paar kleine Anmerkungen, die ihn ein bisschen zugänglicher machen könnten.
- Im Einführenden Abschnitt wird zum Artikel "Prozent" verlinkt. Man sollte dabei auch erwähnen, dass dort die Definitionen der Begriffe “Grundsatz”, “Prozentsatz” und “Grundwert” gefunden werden können. Der Artikel setzt nämlich voraus, dass man sie versteht.
- Den Abschnitt mit den Formeln könnte man in eine farbige Graphik umwandeln. Dies würde ihn weniger "textlastig" erscheinen lassen.
- Die Fragestellungen könnten auch mit Illustrationen bestückt werden (Pie charts, oder ein Bild von der Schulklasse zum Beispiel).
- Die Beispiele könnten alle unter einer großen Überschrift “Beispiele” zusammengefasst werden. Kleinere Überschriften mit den einzelnen Begriffen “Prozentberechnung”, “Grundwertberechnung”, und “Prozentsatzberechnung” sehen meiner Meinung nach weniger "bedrohlich" aus.

Liebe Grüße
Sebastian
franzi13013 2016-07-12 15:46:55
Ich habe versucht deine Vorschläge umzusetzen.
Die bunte Grafik und die Illustrationen fehlen noch.
SebSoGa 2016-07-13 10:16:18
Danke Franzi, sieht schon viel besser aus!