Aufgaben zu Differentialgleichungen

Die gegebene Differenzialgleichung $y^{\mathrm{\prime }}-3xy=0y\text{'}-3xy=0$ wird in der differentiellen Form geschrieben:

${\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}-3xy=0\Rightarrow {\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}=3xy\backslash dfrac\{\backslash mathrm\{d\}y\}\{\backslash mathrm\{d\}x\}-3xy=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash dfrac\{\backslash mathrm\{d\}y\}\{\backslash mathrm\{d\}x\}=3xy$

Trennung der Variablen:

Alle Terme, die $yy$ enthalten, kommen auf die linke Seite der Gleichung und alle Terme mit $xx$ kommen auf die rechte Seite der Gleichung.

Dann folgt:

${\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{y}}=3x\mathrm{d}x\backslash dfrac\{\backslash mathrm\{d\}y\}\{y\}=3x\backslash ;\backslash mathrm\{d\}x$

Integration:

Auf beiden Seiten der Gleichung wird integriert:

${\displaystyle \int \frac{1}{y}\mathrm{d}y={\displaystyle \int 3x\mathrm{d}x}}\backslash displaystyle\; \backslash int\; \backslash dfrac\{1\}\{y\}\backslash mathrm\{d\}y=\backslash displaystyle\; \backslash int3x\backslash ;\backslash mathrm\{d\}x$

Die Stammfunktion von ${\displaystyle \frac{1}{y}}\backslash dfrac\{1\}\{y\}$ ist $\ln \mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }+c_1\backslash ln|y|+c\_1$.

Die Stammfunktion von $3x3x$ ist ${\displaystyle \frac{3}{2}}{x}^2+c_2\backslash dfrac\{3\}\{2\}x^2+c\_2$.

Löse nun die Gleichung nach $yy$ auf:

Der konstante Faktor $\pm e^C\backslash pm\; e^C$ durchläuft alle reellen Zahlen $D\mathrm{\ne }0D\backslash neq\; 0$.

Da aber auch $y=0y=0$ eine Lösung der Differenzialgleichung ist, erhält man die Funktionenschar $y=D\cdot e^{\frac{3}{2}{x}^2}y=D\backslash cdot\; e^\{\backslash frac\{3\}\{2\}x^2\}$ mit $D\in \mathbb{R}D\backslash in\; \backslash mathbb\{R\}$ als allgemeine Lösung.

Die Lösung der gegebenen Differenzialgleichung lautet:

Dargestellt sind beispielsweise die Graphen für $D=\mathrm{0,5},D=\mathrm{1,5}D=0\{,\}5,\; D=1\{,\}5$ und $D=\mathrm{2,5}D=2\{,\}5$.

Setze $(1\mathrm{\mid }1)(1|1)$ in $y=D\cdot e^{\frac{3}{2}{x}^2}y=D\backslash cdot\; e^\{\backslash frac\{3\}\{2\}x^2\}$ ein:

$1=D\cdot e^{\frac{3}{2}\cdot 1^2}\Rightarrow D={\displaystyle \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}}=e^{-\frac{3}{2}}1=D\backslash cdot\; e^\{\backslash frac\{3\}\{2\}\backslash cdot\; 1^2\}\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;D=\backslash dfrac\{1\}\{\; e^\{\backslash frac\{3\}\{2\}\}\}=e^\{-\backslash frac\{3\}\{2\}\}$

Die spezielle Lösungsfunktion $yy$, die durch den Punkt $(1\mathrm{\mid }1)(1|1)$ verläuft, lautet:

Die folgende Abbildung dient nur zur Veranschaulichung: