Trennung der Variablen

Lösungsverfahren für alle separierbaren DGL der Form $y^{'} = f (x) \cdot g (y)$
nur zur Lösung von nichtlinearen Differentialgleichungen zu empfehlen
Gleichung so umformen, dass auf der linken Seite nur Glieder stehen, die $y$ enthalten und rechts nur solche, die $x$ enthalten. Anschließend auf beiden Seiten einzeln integrieren.

Was ist Trennung der Variablen?

Trennung (oder Separation) der Variablen ist ein Lösungsverfahren für gewöhnliche Differentialgleichungen, das zur Lösung aller Differentialgleichungen verwendet werden kann, die sich in folgender Form darstellen lassen:

$y^{'} = f (x) \cdot g (y)$

In diesem Fall heißt die Differentialgleichung separierbar.

Bemerkung:

Sowohl lineare, als auch nichtlineare Differentialgleichungen können separierbar sein. Allerdings ist das Lösungsverfahren der Trennung der Variablen aufgrund der hohen Fehleranfälligkeit nur zur Lösung nichtlinearer Differentialgleichungen zu empfehlen. Zur Lösung linearer Differentialgleichungen bieten sich sicherere Methoden, wie beispielsweise der Exponentialansatz an. Aus diesem Grund beschränken wir uns in diesem Artikel auf die Lösung nichtlinearer Differentialgleichungen mithilfe von Trennung der Variablen.

Beispiel:

$y^{'} = x^{2} \cdot y^{2}$ ist separierbar und entspricht der obenstehenden, allgemeinen Form: auf der linken Seite steht $y^{'}$ und auf der rechten Seite steht ein Produkt aus einer Funktion von $x$ (hier: $f (x) = x^{2}$ ) mit einer Funktion von $y$ (hier: $g (y) = y^{2}$ ).

$y^{'} - \frac{x}{y^{4}} = 0$ ist separierbar, weil man diese Gleichung umschreiben kann zu: $y^{'} = \frac{x}{y^{4}} \to y^{'} = x \cdot \frac{1}{y^{4}}$

$y^{'} = 1 + y^{2}$ ist separierbar. Hier ist $f (x) = 1$ und $g (y) = 1 + y^{2}$ , denn dann ergibt das Produkt dieser beiden Funktionen den rechten teil der Gleichung.

$y^{'} = x - 3 \sqrt{y}$ ist hingegen nicht separierbar, weil auf der rechten Seite kein Produkt aus einer Funktion von $x$ und einer Funktion von $y$ steht, sondern eine Subtraktion.

Das Besondere an separierbaren Differentialgleichungen ist nämlich, dass man diese so umformen kann, dass auf jeder Seite der Gleichung nur Terme einer Variablen stehen. Das macht deren Lösung besonders einfach, da man einfach jede Seite für sich integrieren kann.

Vorgehen

Prüfe, ob die Bedingung $y^{'} = f (x) \cdot g (y)$ erfüllt ist.
Wenn ja, forme die Gleichung so um, dass auf der linken Seite nur Glieder mit $y$ stehen und auf der rechten Seite nur solche mit $x$ (Trennung der Variablen).
Schreibe $y^{'}$ um zu $\frac{d y}{d x}$ . Dies ist eine gleichwertige, alternative Darstellung der ersten Ableitung von $y$ nach $x$ und macht die nächsten Schritte etwas deutlicher.
Multipliziere die Gleichung mit $d x$ . Jetzt hast du die Variablen vollständig getrennt, weil nun auch das $d x$ auf der $x$ -Seite ist.
Nun kannst du beide Seiten getrennt integrieren.
Stelle nach $y$ um. Dies ist eine Lösung der Differentialgleichung. Prüfe zudem, ob die triviale Nulllösung, d.h. $y = 0$ ebenfalls eine Lösung der Differentialgleichung ist und notiere sie gegebenenfalls.

Bemerkung:

Wir behandeln $\frac{d y}{d x}$ hier so, als wäre es ein Bruch (z.B. durch das Multiplizieren mit $d x$ ), obwohl es sich hier um die sogenannte Leibniz-Notation der Ableitung - also einfach eine andere Schreibweise der Ableitung - handelt.

Der Missbrauch dieser Notation als Bruch ist mathematisch nicht einwandfrei, sondern dient allein als Merkregel zur Veranschaulichung der Rechenschritte. Es lässt sich allerdings vielfach beweisen, dass die eigentlich inkorrekte Rechnung mit $\frac{d y}{d x}$ dennoch die richtigen Ergebnisse liefert.

Allgemein:

Gegeben sei die Differentialgleichung $y^{'} = f (x) \cdot g (y)$ . Die Bedingung aus Schritt 1 ist daher selbstverständlich erfüllt.

$y^{'}$	$=$	$f (x) \cdot g (y)$	$: g (y)$
	↓	Schritt 2: Wir schreiben die Gleichung um, sodass links nur Glieder vorkommen, die $y$ enthalten und rechts nur solche, die $x$ enthalten. Dafür teilen wir durch $g (y)$ .

$\frac{y^{'}}{g (y)}$	$=$	$f (x)$	$y^{'} = \frac{d y}{d x}$
	↓	Schritt 3: Wir schreiben $y^{'}$ nun zu $\frac{d y}{d x}$ um.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{g (y)}$	$=$	$f (x)$
	↓	Zur Auflösung des unübersichtlichen Doppelbruches können wir diesen umschreiben: $\frac{d y}{d x} \cdot \frac{1}{g (y)} = \frac{d y}{g (y) \cdot d x}$

$\frac{d y}{g (y) \cdot d x}$	$=$	$f (x)$	$\cdot d x$
	↓	Schritt 4: Um $d x$ aus dem Nenner der linken Seite auf die rechte Seite (und damit auf die $x$ -Seite) zu bekommen, müssen wir die Gleichung mit $d x$ multiplizieren

$\frac{d y}{g (y)}$	$=$	$f (x) d x$	$\int$
	↓	Weil wir die Variablen nun vollständig getrennt haben, können wir nun beide Seiten getrennt voneinander integrieren.

\int \frac{d y}{g (y)}

=

\int f (x) d x

Würden wir nun für $f (x)$ und $g (y)$ explizite Funktionen einsetzen, könnten wir die Integrale noch berechnen. Hierbei treten Integrationskonstanten auf, die du auf keinen Fall weglassen darfst. Denn die Integrationskonstanten sind Teil der allgemeinen Lösung der Differentialgleichung.

Beispiel:

Gegeben sei die Differentialgleichung $y^{'} = x^{2} \cdot \frac{1}{2} y^{2}$ .

Diese Differentialgleichung ist separierbar, weil links - wie in der allgemeinen Form - nur $y^{'}$ steht und rechts ein Produkt einer Funktion $f (x) = x^{2}$ mit einer Funktion $g (y) = \frac{1}{2} y^{2}$ steht. Wir wollen diese Differentialgleichung nun lösen.

$y^{'}$	$=$	$x^{2} \cdot \frac{1}{2} y^{2}$	$: \frac{1}{2} y^{2}$
	↓	Schritt 2: Wir formen die Gleichung um, sodass alle Glieder mit $y$ links und alle Glieder mit $x$ rechts stehen. Hierfür teilen wir durch $\frac{1}{2} y^{2}$ , um dieses Glied nach links zu bekommen

$\frac{y^{'}}{\frac{1}{2} y^{2}}$	$=$	$x^{2}$
	↓	Im Nenner links steht nun $\frac{1}{2}$ . Diesen Doppelbruch können wir umschreiben zu $\frac{2 y^{'}}{y^{2}}$ , weil geteilt durch $\frac{1}{2}$ ist dasselbe wie mit $2$ zu multiplizieren.

$\frac{2 y^{'}}{y^{2}}$	$=$	$x^{2}$	$y^{'} = \frac{d y}{d x}$
	↓	Schritt 3: Wir schreiben $y^{'}$ um.

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{y^{2}}$	$=$	$x^{2}$
	↓	Den Doppelbruch im Zähler können wir umformen, sodass wir einen einfachen Bruch erhalten: $2 \frac{d y}{d x} \cdot \frac{1}{y^{2}} = \frac{2 d y}{y^{2} \cdot d x}$ . Erklärung: Wir teilen den Zähler, also $2 \frac{d y}{d x}$ , ja durch $y^{2}$ und das ist dasselbe wie den Zähler mit $\frac{1}{y^{2}}$ zu multiplizieren.

$\frac{2 d y}{y^{2} d x}$	$=$	$x^{2}$	$\cdot d x$
	↓	Schritt 4: mit $d x$ multiplizieren

$\frac{2 d y}{y^{2}}$	$=$	$x^{2} d x$	$\int$
	↓	Schritt 5: Nun können wir beide Seiten integrieren

\int_{}^{} \frac{2}{y^{2}} d y

=

\int x^{2} d x

$- \frac{2}{y} + C_{1}$	$=$	$\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$	$- C_{1}, : (- 2)$
	↓	Integrationskonstanten nicht vergessen! Schritt 6: Gleichung nach $y$ umstellen. Dafür eliminieren wir $\frac{1}{y}$ auf der linken Seite, sodass wir im nächsten Schritt nach $y$ auflösen können.

$\frac{1}{y}$	$=$	$- \frac{1}{6} x^{3} + \frac{1}{2} C_{1} - \frac{1}{2} C_{2}$	$K e h r b r u c h$
	↓	Um nach $y$ aufzulösen, bilden wir auf beiden Seiten der Gleichung den Kehrbruch. Die beiden Integrationskonstanten auf der rechten Seite können wir außerdem zu einer Konstante $C$ zusammenfassen, weil $\frac{1}{2} C_{1} - \frac{1}{2} C_{2}$ ja dennoch nur irgendeine reelle Zahl $C$ ist.

$y$	$=$	$\frac{1}{- \frac{1}{6} x^{3} + C}$
	↓	Im Nenner lässt sich nun $\frac{1}{6}$ ausklammern. Dies dürfen wir tun, weil $C$ irgendeine reelle Zahl ist, es bei der allgemeinen Lösung aber nicht darauf ankommt, welchen Zahlenwert diese Konstante annimmt. Deshalb können wir auch unbeschwert $\frac{1}{6}$ aus $C$ ausklammern. Es verändert sich hierbei zwar der Zahlenwert der Konstante, aber der Wert von $C$ ist uns ja sowieso egal. Damit lässt sich die gebrochen rationale Funktion übersichtlicher schreiben:

y

=

- \frac{6}{x^{3} + C}

Das ist die allgemeine Lösung der Differentialgleichung. Wir überprüfen nun noch, ob die Nulllösung ebenfalls eine Lösung der Differentialgleichung ist. Dies ist der Fall, beim Einsetzen von $y = y^{'} = 0$ in die obige Differentialgleichung erhält man die richtige Aussage $0 = 0$ . In diesem Fall ist die Nulllösung sogar schon in der allgemeinen Lösung der Differentialgleichung enthalten, nämlich für den Fall $C = \infty$ . Insofern müssen wir die Nulllösung nicht extra notieren.

Tipp: Am besten die Lösung nochmal ableiten und anschließend in die Differentialgleichung einsetzen, um die Lösung zu überprüfen:

$y^{'}$	$=$	$6 {(x^{3} + C)}^{- 2} \cdot 3 x^{2}$
	↓	Kettenregel. Nun setzen wir $y$ und $y^{'}$ in die obige DGL ein.

$\frac{18 x^{2}}{{(x^{3} + C)}^{2}}$	$=$	$x^{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot {(- \frac{6}{x^{3} + C})}^{2}$
	↓	Die rechte Seite können wir noch etwas vereinfachen:

$\frac{18 x^{2}}{{(x^{3} + C)}^{2}}$	$=$	$\frac{36 \cdot \frac{1}{2} \cdot x^{2}}{{(x^{3} + C)}^{2}}$
	↓	Dies ist identisch und damit unsere Lösung richtig.

Beispiel:

Lösen der Differentialgleichung:

$5 x \sqrt{y}$	$=$	$y^{'}$	$: \sqrt{y}$
	↓	Schritt 1: Die Bedingung für die Lösbarkeit einer DGL mithilfe von Trennung der Variablen ist erfüllt ( $f (x) = 5 x$ , $g (y) = \sqrt{y}$ ). Um die Variablen zu trennen, teilen wir durch $\sqrt{y}$

$\frac{y^{'}}{\sqrt{y}}$	$=$	$5 x$
	↓	Schritt 3: Umschreiben von $y^{'}$

$\frac{d y}{\sqrt{y} d x}$	$=$	$5 x$	$\cdot d x$
	↓	Schritt 4: Multiplizieren mit $d x$

$\frac{d y}{\sqrt{y}}$	$=$	$5 x d x$	$\int$
	↓	Schritt 5: beidseitig integrieren

\int_{}^{} \frac{d y}{\sqrt{y}}

=

\int_{}^{} 5 x d x

$2 \sqrt{y} + C_{1}$	$=$	$\frac{5}{2} x^{2} + C_{2}$	$- C_{1}, : 2$
	↓	Wir eliminieren nun $\sqrt{y}$

$\sqrt{y}$	$=$	$\frac{5}{4} x^{2} - C_{1} + C_{2}$
	↓	Die Integrationskonstanten können wir wieder zu einer gemeinsamen Konstante verschmelzen. Außerdem quadrieren wir die Gleichung, um die Wurzel wegzubekommen.

$y$	$=$	$\frac{25}{16} x^{4} + C$
	↓	Die Konstante müssen wir nicht quadrieren, weil auch $C^{2}$ eine konstante Zahl wäre. Eine weitere Lösung ist die Nulllösung, die wir bei der Angabe der Lösung nicht vergessen dürfen!

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