Lösungsverfahren für alle separierbaren DGL der Form
nur zur Lösung von nichtlinearen Differentialgleichungen zu empfehlen
Gleichung so umformen, dass auf der linken Seite nur Glieder stehen, die enthalten und rechts nur solche, die enthalten. Anschließend auf beiden Seiten einzeln integrieren.
Was ist Trennung der Variablen?
Bemerkung:
Sowohl lineare, als auch nichtlineare Differentialgleichungen können separierbar sein. Allerdings ist das Lösungsverfahren der Trennung der Variablen aufgrund der hohen Fehleranfälligkeit nur zur Lösung nichtlinearer Differentialgleichungen zu empfehlen. Zur Lösung linearer Differentialgleichungen bieten sich sicherere Methoden, wie beispielsweise der Exponentialansatz an. Aus diesem Grund beschränken wir uns in diesem Artikel auf die Lösung nichtlinearer Differentialgleichungen mithilfe von Trennung der Variablen.
Beispiel:
ist separierbar und entspricht der obenstehenden, allgemeinen Form: auf der linken Seite steht und auf der rechten Seite steht ein Produkt aus einer Funktion von (hier: ) mit einer Funktion von (hier: ).
ist separierbar, weil man diese Gleichung umschreiben kann zu:
ist separierbar. Hier ist und , denn dann ergibt das Produkt dieser beiden Funktionen den rechten teil der Gleichung.
ist hingegen nicht separierbar, weil auf der rechten Seite kein Produkt aus einer Funktion von und einer Funktion von steht, sondern eine Subtraktion.
Das Besondere an separierbaren Differentialgleichungen ist nämlich, dass man diese so umformen kann, dass auf jeder Seite der Gleichung nur Terme einer Variablen stehen. Das macht deren Lösung besonders einfach, da man einfach jede Seite für sich integrieren kann.
Vorgehen
Bemerkung:
Wir behandeln hier so, als wäre es ein Bruch (z.B. durch das Multiplizieren mit ), obwohl es sich hier um die sogenannte Leibniz-Notation der Ableitung - also einfach eine andere Schreibweise der Ableitung - handelt.
Der Missbrauch dieser Notation als Bruch ist mathematisch nicht einwandfrei, sondern dient allein als Merkregel zur Veranschaulichung der Rechenschritte. Es lässt sich allerdings vielfach beweisen, dass die eigentlich inkorrekte Rechnung mit dennoch die richtigen Ergebnisse liefert.
Allgemein:
Gegeben sei die Differentialgleichung . Die Bedingung aus Schritt 1 ist daher selbstverständlich erfüllt.
↓ | Schritt 2: Wir schreiben die Gleichung um, sodass links nur Glieder vorkommen, die enthalten und rechts nur solche, die enthalten. Dafür teilen wir durch . |
↓ | Schritt 3: Wir schreiben nun zu um. |
↓ | Zur Auflösung des unübersichtlichen Doppelbruches können wir diesen umschreiben: |
↓ | Schritt 4: Um aus dem Nenner der linken Seite auf die rechte Seite (und damit auf die -Seite) zu bekommen, müssen wir die Gleichung mit multiplizieren |
↓ | Weil wir die Variablen nun vollständig getrennt haben, können wir nun beide Seiten getrennt voneinander integrieren. |
Würden wir nun für und explizite Funktionen einsetzen, könnten wir die Integrale noch berechnen. Hierbei treten Integrationskonstanten auf, die du auf keinen Fall weglassen darfst. Denn die Integrationskonstanten sind Teil der allgemeinen Lösung der Differentialgleichung.
Beispiel:
Gegeben sei die Differentialgleichung .
Diese Differentialgleichung ist separierbar, weil links - wie in der allgemeinen Form - nur steht und rechts ein Produkt einer Funktion mit einer Funktion steht. Wir wollen diese Differentialgleichung nun lösen.
↓ | Schritt 2: Wir formen die Gleichung um, sodass alle Glieder mit links und alle Glieder mit rechts stehen. Hierfür teilen wir durch , um dieses Glied nach links zu bekommen |
↓ | Im Nenner links steht nun . Diesen Doppelbruch können wir umschreiben zu , weil geteilt durch ist dasselbe wie mit zu multiplizieren. |
↓ | Schritt 3: Wir schreiben um. |
↓ | Den Doppelbruch im Zähler können wir umformen, sodass wir einen einfachen Bruch erhalten: . Erklärung: Wir teilen den Zähler, also , ja durch und das ist dasselbe wie den Zähler mit zu multiplizieren. |
↓ | Schritt 4: mit multiplizieren |
↓ | Schritt 5: Nun können wir beide Seiten integrieren |
↓ | Integrationskonstanten nicht vergessen! Schritt 6: Gleichung nach umstellen. Dafür eliminieren wir auf der linken Seite, sodass wir im nächsten Schritt nach auflösen können. |
↓ | Um nach aufzulösen, bilden wir auf beiden Seiten der Gleichung den Kehrbruch. Die beiden Integrationskonstanten auf der rechten Seite können wir außerdem zu einer Konstante zusammenfassen, weil ja dennoch nur irgendeine reelle Zahl ist. |
↓ | Im Nenner lässt sich nun ausklammern. Dies dürfen wir tun, weil irgendeine reelle Zahl ist, es bei der allgemeinen Lösung aber nicht darauf ankommt, welchen Zahlenwert diese Konstante annimmt. Deshalb können wir auch unbeschwert aus ausklammern. Es verändert sich hierbei zwar der Zahlenwert der Konstante, aber der Wert von ist uns ja sowieso egal. Damit lässt sich die gebrochen rationale Funktion übersichtlicher schreiben: |
Das ist die allgemeine Lösung der Differentialgleichung. Wir überprüfen nun noch, ob die Nulllösung ebenfalls eine Lösung der Differentialgleichung ist. Dies ist der Fall, beim Einsetzen von in die obige Differentialgleichung erhält man die richtige Aussage . In diesem Fall ist die Nulllösung sogar schon in der allgemeinen Lösung der Differentialgleichung enthalten, nämlich für den Fall . Insofern müssen wir die Nulllösung nicht extra notieren.
Tipp: Am besten die Lösung nochmal ableiten und anschließend in die Differentialgleichung einsetzen, um die Lösung zu überprüfen:
↓ | Kettenregel. Nun setzen wir und in die obige DGL ein. |
↓ | Die rechte Seite können wir noch etwas vereinfachen: |
↓ | Dies ist identisch und damit unsere Lösung richtig. |
Beispiel:
Lösen der Differentialgleichung:
↓ | Schritt 1: Die Bedingung für die Lösbarkeit einer DGL mithilfe von Trennung der Variablen ist erfüllt (, ). Um die Variablen zu trennen, teilen wir durch |
↓ | Schritt 3: Umschreiben von |
↓ | Schritt 4: Multiplizieren mit |
↓ | Schritt 5: beidseitig integrieren |
↓ | Wir eliminieren nun |
↓ | Die Integrationskonstanten können wir wieder zu einer gemeinsamen Konstante verschmelzen. Außerdem quadrieren wir die Gleichung, um die Wurzel wegzubekommen. |
↓ | Die Konstante müssen wir nicht quadrieren, weil auch eine konstante Zahl wäre. Eine weitere Lösung ist die Nulllösung, die wir bei der Angabe der Lösung nicht vergessen dürfen! |
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