Aufgaben

Licht einer Frequenz %%1,4 \cdot 10^{15} \mathrm{Hz}%% trifft auf ein Metall und löst in diesem Elektronen aus. Diese besitzen nach dem Austritt eine maximale Energie von %%1,7 \mathrm{eV}%%. Wie groß ist die Austrittsarbeit des Metalls?

Wir nutzen die Formel %%E_{kin_{max}}=h \cdot f - W_A%%.

Da %%W_A%% gesucht ist, müssen wir die Formel nach dieser Größe umstellen.

Zu beiden Seiten wird %%W_A%% addiert und %%E_{kin_{max}}%% wird subtrahiert.

%%W_A=h \cdot f - E_{kin_{max}}%%

Wir setzen die gegeben Werte und die Konstante h ein.

%%W_A = 6,626 \cdot 10^{-34} \mathrm{Js} \cdot 1,4 \cdot 10^{15} \mathrm{Hz} - 1,7 \mathrm{eV} = 9,28 \cdot 10^{-19} \mathrm{\,J} - 1,7 \mathrm{\,eV}%%

Die in J angegebene Energie muss in eV umgerechnet werden, indem sie mit dem Umrechnungsfaktor %%6,24 \cdot 10^{18} \mathrm{\,eV / J}%% multipliziert wird.

%%W_A = 9,28 \cdot 10^{-19} \mathrm{\,J} \cdot 6,24 \cdot 10^{18} \mathrm{\,eV / J} - 1,7 \mathrm{\,eV}= 4,1 \mathrm{\, eV}%%

Man kann die Austrittsarbeit natürlich auch in J angeben, dazu muss man mit dem Umrechnungsfaktor %%1,602\cdot 10^{-19} \mathrm{\, J / eV}%% multiplizieren.

Dies ergibt %%W_A=4,1 \mathrm{eV} \cdot 1,602\cdot 10^{-19} \mathrm{\, J / eV} = 6,6 \cdot 10^{-19} \mathrm{J}%%

Auf eine Caesium-Platte trifft Licht einer Wellenlänge %%\lambda=480 \mathrm{nm}%%. Caesium besitzt eine Austrittsarbeit von %%W_A=1,94 \mathrm{eV}%%. Wie hoch ist die kinetische Energie der austretenden Elektronen und wie schnell sind sie maximal?

Wir nutzen %%E_{kin_{max}}=h \cdot f - W_A%%. Da jedoch die Wellenlänge und nicht die Frequenz gegeben ist, muss deren Zusammenhang %%f= \frac{c}{\lambda}%% noch in die erste Formel eingesetzt werden.

Dann ergibt sich die untere Formel, in die wir die gegebenen Werte einsetzen können. Man muss beachten, dass die Austrittsarbeit in %%\mathrm{eV}%% angegeben ist. Zum Rechnen müssen wir dies in %%\mathrm{J}%% umrechnen, d.h. wir müssen den Wert mit dem Umrechnungsfaktor %%1,602 \cdot 10^{-19} \mathrm {\,\frac{J}{eV}}%% multiplizieren.

%%\begin{align} E_{kin_{max}} &= \frac{h \cdot c}{\lambda}-W_A \\ &= \frac{6,626 \cdot 10^{-34} \mathrm{Js} \cdot 2,998 \cdot 10^{8} \mathrm{\frac{m}{s}}}{480 \cdot 10^{-9} \mathrm{m}}-1,94 \mathrm{eV} \cdot 1,602 \cdot 10^{-19} \mathrm {\,\frac{J}{eV}} \\ &= 1,031 \cdot 10^{-19} \mathrm{J}=0,64 \mathrm{eV} \end{align}%%

Mit der bekannten Gleichung für die kinetische Energie %%E_{kin}= \frac {1}{2} \cdot m \cdot v^2%% können wir die Geschwindigkeit der schnellsten Elektronen berechnen, indem wir die Formel nach v umstellen.

%%2 \cdot E_{kin}= m \cdot v^2%%

Wir multiplizieren mit 2.

%%\frac{2 \cdot E_{kin}}{m}= v^2%%

Teilen dann durch die Masse.

%%\sqrt{\frac{2 \cdot E_{kin}}{m}}= v%%

Und ziehen schließlich die Wurzel.

Jetzt können wir die Werte einsetzen. Die Masse eines Elektrons ist dabei %%9,109 \cdot 10^{-31} \mathrm{kg}%%.

%%v=\sqrt{\frac{2 \cdot 1,031 \cdot 10^{-19} \mathrm{J}}{9,109 \cdot 10^{-31} \mathrm{kg}}}=475692,9 \mathrm{\frac{m}{s}}%%

Das Spektrum des sichtbaren Lichtes erstreckt sich von rund %%770 \mathrm{nm} - 390 \mathrm{nm}%%. Gegeben ist eine Tabelle mit verschiedenen Metallen und ihrer Austrittsarbeit %%W_A%%. Aus welchem Metall können mit sichtbarem Licht Elektronen ausgelöst werden?

Metall

%%W_A%%

Aluminium

4,20 eV

Barium

2,52 eV

Cadmium

4,04 eV

Caesium

1,94 eV

Platin

5,36 eV

Wir wissen, dass %%E=h \cdot f= \frac{h \cdot c}{\lambda}%% gilt. Die Energie des Lichtes ist also bei höherer Frequenz größer, bei größerer Wellenlänge jedoch geringer. Somit hat Licht einer kleinen Wellenlänge mehr Energie als Licht einer großen Wellenlänge. D.h. wir betrachten die kleinstmögliche Wellenlänge von sichtbarem Licht, um möglichst viel Energie zum Auslösen der Elektronen zu haben.

Für %%390 \mathrm{nm}%% ergibt sich die Energie als:

%%E=\frac{h \cdot c}{\lambda}=\frac{6,626 \cdot 10^{-34} \mathrm{Js} \cdot 2,998 \cdot 10^{8} \mathrm{\frac{m}{s}}}{390 \cdot 10^{-9} \mathrm{m}}=5,093 \cdot 10^{-19} \mathrm{J}=3,18 \mathrm{eV}%%

Man rechnet von %%\mathrm{J}%% in %%\mathrm{eV}%% um, indem man die Energie in %%\mathrm{J}%% mit dem Umrechnungsfaktor %%6,24 \cdot 10^{18} \mathrm{\,\frac{eV}{ J}}%% multipliziert.

Nun vergleicht man diese Energie mit den gegebenen Austrittsarbeiten. Da zum Auslösen die Energie des Lichtes mindestens der Austrittsarbeit entsprechen muss, können nur bei Barium und Caesium Elektronen mit sichtbarem Licht ausgelöst werden.

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